第一学期第十二次课 第三章§1,§2n阶方阵的行列式 311平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 在解析几何中已证明,给定二维向量空间中的单位正交标架,设向量a,B的坐标分别为 (a12a2)和(b1,b2),则由向量a,B张成的平行四边形的有向面积为a1b2-a2b1,这里记为; 给定三维空间内右手单位正交标架,设向量a,B,y的坐标分别为(a1,a2a3)、(b,b2,b2)和 (c1:c2c3),则由向量α,B,y张成的平行六面体的有向体积为 (a, b -a,bG+(ab-ab)c2+(a, b, -,6)c3 我们引入如下记号:对于二阶方阵A=(a1a21.定义A=a2-41:对于三 阶方阵A=a21a2a2,定义4=a1 十 不难发现,A(有向面积与有向体积)满足以下三条性质 (1)、如果A的某行或某列换为两个向量的线性组合ka+1B,则A=|A4|+|4|,其 中441分别为把该行(列)换为a,B所得的n阶方阵: (2)、如果A不满秩,则4=0 (3)、当A为单位矩阵时,A=1 312利用上述三条性质定义n阶方阵的行列式函数的det 定义线性函数 若f:M(K)→K满足如下条件:对K”中任意向量a1,a2,…an,a(写成横排形式) 以及K中任意数k,Ⅴi=1,2,…,n,都有 f ka=kf a 则称∫为Mn(K)上的一个行线性函数 设g:Mn(K)→>K满足如下条件 对K中任意向量B,B2…,Bn,B(写成竖排形式)以及K中任意数 2 都有
第一学期第十二次课 第三章 §1，§2 n 阶方阵的行列式 3.1.1 平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 在解析几何中已证明，给定二维向量空间中的单位正交标架，设向量 , 的坐标分别为 1 2 ( , ) a a 和 1 2 ( , ) b b ，则由向量 , 张成的平行四边形的有向面积为 1 2 2 1 a b a b − ，这里记为； 给定三维空间内右手单位正交标架，设向量 , , 的坐标分别为 1 2 3 ( , , ) a a a 、 1 2 3 ( , , ) b b b 和 1 2 3 ( , , ) c c c ，则由向量 , , 张成的平行六面体的有向体积为 1 2 2 1 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) a b a b c a b a b c a b a b c − + − + − 。 我们引入如下记号：对于二阶方阵 11 12 21 22 a a A a a = ，定义 A a a a a = − 11 22 12 21 ；对于三 阶方阵 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = ，定义 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 a a a a a a A a a a a a a a a a = − + 。 不难发现， A （有向面积与有向体积）满足以下三条性质： （1）、如果 A 的某行或某列换为两个向量的线性组合 k l + ，则 A A A = +1 2 ，其 中 1 2 A A, 分别为把该行（列）换为 , 所得的 n 阶方阵； （2）、如果 A 不满秩，则 A = 0 ； （3）、当 A 为单位矩阵时， A =1。 3.1.2 利用上述三条性质定义 n 阶方阵的行列式函数的 det 定义 线性函数 若 : ( ) n f M K K → 满足如下条件：对 n K 中任意向量 1 2 , , , , n (写成横排形式) 以及 K 中任意数 k， =i n 1, 2, , ，都有 1 i n f + = 1 i n f + 1 n f ； 1 i n f k = 1 i n kf ， 则称 f 为 ( ) M K n 上的一个行线性函数。 设 : ( ) n g M K K → 满足如下条件 对 n K 中任意向量 1 2 , , , , n （写成竖排形式）以及 K 中任意数 k， =j n 1, 2, , ， 都有
g(A,B2…,B+B,…,Bn)=g(A,B2,…,B,…,Bn)+g(A1,B2,…,B…Bn) g(A,B2,…,kB,…,Bn)=kg(A,B2,…,B,…,Bn) 则称g为Mn(K)上的一个列线性函数。 同样地,行(列)线性函数的定义还可以写作 ∈ at al ∫ka+la|= 8(B1,B2…,kB+lB,…,Bn)=kg(B,B2,…,B1…,Bn)+lg(B1,B2,…,B,…,Bn) 容易证明它们与上面定义的等价性。 定义反对称线性函数 记号如上,若列线性函数f满足 则称f为列反对称函数 定理设∫:Mn(K)→K为列线性函数,则下述四条等价: i)、∫反对称 1)、f( =0 iv)、若M不满秩,则f(M)=0。 证明i)→i)若∫反对称,则 a,)=-f(a 于是f(ax1 i)→iⅲ)若∫(a12…,a,…,a,…,an)=0,由于∫列线性,则 f(a1;…,a1+kan…;a1…an)=f(a,…,…,a1…an)+(an,…an2…;a1…an) f(a 若f( ),则由已知 不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。若记M的列向量为ax,a2…,an, 则必存在一个a,满足a=∑ka,,其中k∈K,于是
1 2 1 2 1 2 ( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) j n j n n g g g + = + ； 1 2 1 2 ( , , , , , ) ( , , , , , ) j n j n g k kg = ， 则称 g 为 ( ) M K n 上的一个列线性函数。 同样地，行（列）线性函数的定义还可以写作 k l K , ，有 1 i n f k l + = 1 i n kf + 1 n lf 和 1 2 1 2 1 2 ( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) j n j n n g k l kg lg + = + 。 容易证明它们与上面定义的等价性。 定义 反对称线性函数 记号如上，若列线性函数 f 满足 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) i j n j i n f f = − ， 则称 f 为列反对称函数。 定理 设 : ( ) n f M K K → 为列线性函数，则下述四条等价： i）、 f 反对称； ii）、 1 ( , , , , , , ) 0 n f = ； iii）、 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) i j j n i j n f k f + = ； iv）、若 M 不满秩，则 f M( ) 0 = 。 证明 i） ii） 若 f 反对称，则 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) n n f f = − ， 于是 1 ( , , , , , , ) 0 n f = 。 ii） iii） 若 1 ( , , , , , , ) 0 n f = ，由于 f 列线性，则 1 1 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) ( , , , , , , ). i j j n i j n j j n i j n f k f kf f + = + = iii） iv） 若 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) i j n i j n f k f = ，则由已知， 不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。若记 M 的列向量为 1 2 , , , n， 则必存在一个 i ，满足 1 n i j j j j i k = = ，其中 j k K ，于是
f(m=f( k iv)→i)矩阵(a1…g…a…an)不满秩,则f(a,…a,…,a,…an)=0 1)→i)若f( )=0,则 f(a B,…a+B…an)=0 于是 B f(a12…,B, 0 则有f(a1…,a,…,B,…,an)=-f(a1…,B…a,…an)。证毕 定义函数∫:Mn(K)→K被称为一个行列式函数,当且仅当∫满足下列3条性质 1、∫列线性; 、∫反对称 3、f(E)=1 233行列式函数的存在性与唯一性 引理设∫和g为烈现行反对称函数,A,B∈M(K)。则若经过相同的初等列变换化 为A和B,则 f(A)=g(A)兮f(A)=g(B1)。 证明由初等变换的可逆性,只需证“→”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。 定理行列式函数存在且唯 证明首先证明若行列式函数存在,则唯一。设∫,g:Mn(K)→>K是行列式函数,若 A不满秩,则∫(A)=0=g(4);若A满秩,则A可以经过初等列变换化为E f(E)=1=g(E),于是由引理f(A)=g(A),即∫和g在Mn(K)上取值相等,于是 f∫=g。唯一性证毕。 再证明行列式函数的存在性。定义函数det如下:设A=(a1)∈M1(K),定义 -d 设在集合Mn1(K)内函数det(A)已定义,那么,对 定义de4)=a1M1-a1M12+…+(-1)“anM12=∑a14}其中M表示划去A的第
1 1 ( ) ( , , , , ) 0 n j j n j j i f M f k = = = 。 iv） ii） 矩阵 ( 1 n ) 不满秩，则 1 ( , , , , , , ) 0 n f = 。 ii） i） 若 1 ( , , , , , , ) 0 n f = ，则 1 ( , , , , , , ) 0 n f + + = ， 于是 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) 0 n n f f + = ， 则有 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) n n f f = − 。证毕 定义 函数 : ( ) n f M K K → 被称为一个行列式函数，当且仅当 f 满足下列 3 条性质： 1、 f 列线性； 2、 f 反对称； 3、 f E( ) 1 = 。 2.3.3 行列式函数的存在性与唯一性 引理 设 f 和 g 为烈现行反对称函数， , ( ) A B M K n 。则若经过相同的初等列变换化 为 A1 和 B1 ，则 1 1 f A g A f A g B ( ) ( ) ( ) ( ) = = 。 证明 由初等变换的可逆性，只需证“ ”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。 定理 行列式函数存在且唯一。 证明 首先证明若行列式函数存在，则唯一。设 , : ( ) n f g M K K → 是行列式函数，若 A 不满秩，则 f A g A ( ) 0 ( ) = = ；若 A 满秩，则 A 可以经过初等列变换化为 E ， f E g E ( ) 1 ( ) = = ，于是由引理 f A g A ( ) ( ) = ，即 f 和 g 在 ( ) M K n 上取值相等，于是 f g = 。唯一性证毕。 再证明行列式函数的存在性。定义函数 det 如下：设 A a M K = ( 11 1 ) ( ) ，定义 11 det( ) A a = ； 设在集合 1 ( ) M K n− 内函数 det( ) A 已定义，那么，对 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n n n n nn a a a a a a A M K a a a = ， 定义 1 11 11 12 12 1 1 1 1 1 det( ) ( 1) . n n n n i i A a M a M a M a A i + = = − + + − = 其中 Mij 表示划去 A 的第
行和第j列后所剩的n1阶方阵的det值,4为(-1)yM1 用记号4来代表de(4),如果A=(an)∈M(K),可以写成 nl an? 下面要证明上述定义的函数de(A)是行列式函数,从而说明了行列式函数的存在性。 对n作归纳,可分别证明det(E)=1;det(4是列线性函数和det(4)反对称,于是 det(A)是行列式函数。 命题行列式函数是行线性函数 证明对n作归纳 324行列式的六条性质 命题行列式函数满足以下六条性质: ka :|=k 类似地,对行向量,有 3、若A的某列(行)为两列(行)之和,则4为两个相应的行列式之和 4、A不满秩,则|1=0,特别地,A有两行(列)相等,则4=0: 5、将A的一行(列)的若干倍加到B的另一行(列)上去,行列式值不变 6、两行(列)互换,行列式反号
i 行和第 j 列后所剩的 n-1 阶方阵的 det 值， 1 A i 为 1 ( 1)i − M i 。 用记号 A 来代表 det( ) A ，如果 ( ) ( ) A a M K = ij n ，可以写成 11 12 1 21 22 2 1 2 det . n n n n nn a a a a a a A A a a a = = 下面要证明上述定义的函数 det( ) A 是行列式函数，从而说明了行列式函数的存在性。 对 n 作归纳，可分别证明 det( ) 1 E = ； det( ) A 是列线性函数和 det( ) A 反对称，于是 det( ) A 是行列式函数。 命题 行列式函数是行线性函数。 证明 对 n 作归纳。 3.2.4 行列式的六条性质 命题 行列式函数满足以下六条性质： 1、 A A = ' ； 2、 ( ) 11 1 1 21 2 2 1 i n i n ij n n n ni nn a ka a a ka a k a a ka a = ， 类似地，对行向量，有 ( ) 11 21 1 1 2 1 2 n i i in ij n n n n nn a a a ka ka ka k a a a a = ； 3、若 A 的某列（行）为两列（行）之和，则 A 为两个相应的行列式之和； 4、A 不满秩，则 A = 0 ，特别地，A 有两行（列）相等，则 A = 0 ； 5、将 A 的一行（列）的若干倍加到 B 的另一行（列）上去，行列式值不变； 6、两行（列）互换，行列式反号