北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.1 线性空间的基本概念 4.1.4 线性空间的基变换，基的过渡矩阵 4.2子空间与商空间 4.2.1 线性空间的子空间的定义

第一学期第十九次课 414线性空间的基变换,基的过渡矩阵 设VK是n维线性空间,设E1,E2…,En和7,n2…7n是两组基,且 n1=l1E1+l21E2 72=12E1+2E2 nn=lnE1+l2nE2+……+lmE 将其写成矩阵形式 71,n2…,7 E2,…,En 定义411我们称矩阵 T 为从E1,E2,…,En到n22,…,n的过渡矩阵 命题46设在n维线性空间VK中给定一组基E1E2,…,En。T是K上一个n阶方阵。命 (n,2…n)=(E1,E2,…En) 则有n1,n2…,7n是V/K的一组基,当且仅当T可逆。 若n,n2…,nn是线性空间K的一组基,则n,2…线性无关。 考察同构映射 aa仕 24下的华(标字打不上去,我不知道为什么) 构造方程 kσ(n)+k2O(72)+…+ko(7n)=0,其中k∈K,(=1,2,…,n), →(k7+k2n2+…+kn7n)=0 →k7+kn2+…+knn=0

第一学期第十九次课 4.1.4 线性空间的基变换，基的过渡矩阵 设 V/K 是 n 维线性空间，设 1 2 , , , n    和 1 2 , , ,   n 是两组基，且 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n n n n nn n t t t t t t t t t              = + + +   = + + +     = + + + 将其写成矩阵形式 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn t t t t t t t t t             =       ， 定义 4.11 我们称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn t t t t t t T t t t       =       为从 1 2 , , , n    到 1 2 , , ,   n 的过渡矩阵。 命题 4.6 设在 n 维线性空间 V/K 中给定一组基 1 2 , , , n    。T 是 K 上一个 n 阶方阵。命 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) .       n n = T 则有 1 2 , , ,   n 是 V/K 的一组基，当且仅当 T 可逆。 证明： 若 1 2 , , ,   n 是线性空间 V/K 的一组基，则 1 2 , , ,   n 线性无关。 考察同构映射 1 2 : , , , n n  V K      → 在 下的坐 （标字打不上去，我不知道为什么） 构造方程 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n k k k       + + + = ，其中 ,( 1,2, , ) i k K i n  = ， 1 1 2 2 ( ) 0 n n  + + + =     k k k ， 1 1 2 2 0 n n  + + + = k k k   

于是σ(mh),σ(m2),…,o(mn)线性无关 σ()(72),…G(n)构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆; 反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程 kn+k2n2+…+knn=0,其中k∈K,(=1,2…,n), 两边用a作用,得到 kσ(n)+k2(n2)+…+k,(n)=0 k=k2 k.=0 4L5向量的坐标变换公式;K"中的两组基的过渡矩阵 1、向量的坐标变换公式 设VK有两组基为E12E2…En和n1,n2…,n 又设a在E1,E2…,En下的坐标为(an,a2…,an),即 a2 E2,…En 在n,n2…,nn下的坐标为(b1b2…,b),即 a=(nh2n2…,n) 现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即 (n,2,…,n)=(E1,E2…En)T a Y b2 b

1 2 0 n  = = = = k k k 。 于是 1 2 ( ), ( ), , ( )      n 线性无关。 1 2 ( ), ( ), , ( )      n 构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆； 反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程 1 1 2 2 0 n n k k k    + + + = ，其中 ,( 1,2, , ) i k K i n  = ， 两边用  作用，得到 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n k k k       + + + = 。 1 2 0 n  = = = = k k k ， 证毕。 4.1.5 向量的坐标变换公式； n K 中的两组基的过渡矩阵 1、向量的坐标变换公式 设 V/K 有两组基为 1 2 , , , n    和 1 2 , , ,   n ， 又设  在 1 2 , , , n    下的坐标为 (a a a 1 2 , , , n ) ，即 1 2 1 2 ( , , , ) n n a a a           =         ， 在 1 2 , , ,   n 下的坐标为 1 2 ( , , , ) n b b b ，即 1 2 1 2 ( , , , ) n n b b b           =         。 现在设两组基之间的过渡矩阵为 T，即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) .       n n = T 记 1 2 n a a X a       =       ， 1 2 n b b Y b       =      

于是 (EE2,…,En)X=(n,n2,…n)=[(E1E2…En)TY=(51E2…,En)(TY) 于是,由坐标的唯一性,可以知道X=TY,这就是坐标变换公式 2、K"中两组基的过渡矩阵的求法 我们设K"中两组基分别为 E1=(a1a12…,an) 62=(a212a2…an) En=(an1,an2…,a 和 7=(b1b2…,bn) 72=(b21,b2…,b2n) 7n=(bn1,b2;…,bmn) (n,2…,n)=(E1E2,…En) 按定义,T的第i个列向量分别是n在基E1,E2…En下的坐标 将E1,E2…,En和7n2n2…,7n看作列向量分别排成矩阵 A b21b2 B 则有 B=AT 将A和B拼成刀×2n分块矩阵(A|B),利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则 右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下: (4|B)一行等>(E|T)(“变换”两个字打不上去)

于是 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) [( , , , ) ] ( , , , )( )             n n n n X Y T Y TY = = = 。 于是，由坐标的唯一性，可以知道 X TY = ，这就是坐标变换公式。 2、 n K 中两组基的过渡矩阵的求法 我们设 n K 中两组基分别为 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ). n n n n n nn a a a a a a a a a    = = = 和 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ). n n n n n nn b b b b b b b b b    = = = 而 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) .       n n = T 按定义，T 的第 i 个列向量分别是 i 在基 1 2 , , , n    下的坐标。 将 1 2 , , , n    和 1 2 , , ,   n 看作列向量分别排成矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       ； 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn b b b b b b B b b b       =       ， 则有 B AT = ， 将 A 和 B 拼成 n n 2 分块矩阵 ( A B| ) ，利用初等行变换将左边矩阵 A 化为单位矩阵 E，则 右边出来的就是过渡矩阵 T，示意如下： ( A B E T | | ) ⎯⎯⎯→( ) 行初等 （“变换”两个字打不上去）

§2子空间与商空间 42.1线性空间的子空间的定义 定义4,12子空间 设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集。如果M关于V内的加法与数 乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间。 命题47设V是K上的线性空间,又设一个非空集合W∈V,则W是子空间当且仅当下 述两条成立 i)、W对减法?封闭 ⅱi)、W对于K中元素作数乘封闭 证明: 必要性由定义直接得出 充分性: 各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件。 只需要证明0∈W且对于任意∝∈W,-a∈W,且对加法封闭即可 事实上,由于W关于数乘封闭,则0·a=0∈W;(-1)·a=-a∈W,于是对于 Va,B∈W,a+B=a-(-B)∈W,W关于加法封闭。于是W是V的一个子空间 证毕 事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论 命题48设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基 证明: 设dm=n,dmW=r,(r≤n), 若r=n,则命题为真 若r<n,对n-r作归纳 设E1E2…E为W的一组基,取En∈V\W,则E12E2…,E,En线性无关。于是令 W'={a+ks,|a∈W,k∈K},易见,W是的一个子空间,且dimW"=r+1,此时 n-dimW'=n-r-1,对其用归纳假设即可

§2 子空间与商空间 4.2.1 线性空间的子空间的定义 定义 4.12 子空间 设 V 是数域 K 上的一个线性空间，M 时 V 的一个非空子集。如果 M 关于 V 内的加法与数 乘运算也组成数域 K 上的一个线性空间，则称为 V 的一个子空间。 命题 4.7 设 V 是 K 上的线性空间，又设一个非空集合 W V  ，则 W 是子空间当且仅当下 述两条成立： i）、 W 对减法?封闭； ii）、 W 对于 K 中元素作数乘封闭。 证明： 必要性由定义直接得出； 充分性： 各运算律在 V 中已有，所以 W 满足运算律的条件。 只需要证明 0W 且对于任意  W ， −  W ，且对加法封闭即可。 事实上，由于 W 关于数乘封闭，则 0 0 • =   W ； ( 1) − • = −    W ，于是对于    , W ，    + = − −  ( ) W ，W 关于加法封闭。于是 W 是 V 的一个子空间。 证毕。 事实上，W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论。 命题 4.8 设 W 是 V 的一个有限维子空间，则 W 的任一组基可以扩充为 V 的一组基。 证明： 设 dimV n = ，dimW r = ，( ) r n  ， 若 r n = ，则命题为真； 若 r n  ，对 n r − 作归纳： 设 1 2 , , , r    为 W 的一组基，取 1 \  r+ V W ，则 1 2 1 , , , , r r     + 线性无关。于是令 1 ' { | , } W k W k K = +      r+ ，易见，W’是 V 的一个子空间，且 dim ' 1 W r = + ，此时 n W n r − = − − dim ' 1 ，对其用归纳假设即可