第一学期第十七次课 第四章线性空间与线性变换 §1线性空间的基本概念 411线性空间的定义及例 1、线性空间的定义 定义41线性空间 设Ⅴ是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”(×V→V),又设K为数域, V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“·”(Kx→V) 且“+”与“·”满足如下性质 1、加法交换律Vα,B∈V,有a+B=B+a 2、加法结合律Va,B,y∈V,有(a+B)+y=a+(B+y) 3、存在“零元”,即存在0∈V,使得Va∈V,0+a=a; 4、存在负元,即Va∈V,存在β∈V,使得a+B=0 6、数乘结合律Vk,/∈K,a∈V,都有(k)a=k(la)=l(ka) 7、分配律Vk,l∈K,a∈V,都有(k+l)x=ka+la 8、分配律Vk∈K,a,B∈V,都有k(a+B)=ka+kB, 则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量。注意:线性空间 依赖于“+”和“·”的定义,不光与集合V有关 2、零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常 数的加、乘法类似的性质 命题4.1零元素唯一,任意元素的负元素唯 证明 设0与0均是零元素,则由零元素的性质,有 0=0"+0=0 va∈,设B,B'都是a的负向量,则 B=0+B=(B"+a)+B=B(a+B)=B+0=B, 于是命题得证。由于负向量唯一,我们用一代表a的负向量 定义4.2减法 我们定义二元运算减法“”如下: B定义为a+(-B)
第一学期第十七次课 第四章 线性空间与线性变换 §1 线性空间的基本概念 4.1.1 线性空间的定义及例 1、线性空间的定义 定义 4.1 线性空间 设 V 是一个非空集合，且 V 上有一个二元运算“+”( ) V V V → ，又设 K 为数域， V 中的元素与 K 中的元素有运算数量乘法“ • ”( ) K V V → ， 且“+”与“ • ”满足如下性质： 1、 加法交换律 , V ，有 + = + ； 2、 加法结合律 , , V ，有 ( ) ( ) + + = + + ； 3、 存在“零元”，即存在 0V ，使得 + = V, 0 ； 4、 存在负元，即 V ，存在 V ，使得 + = 0 ； 5、 “1 律” 1• = ； 6、 数乘结合律 k l K V , , ，都有 ( ) ( ) ( ) kl k l l k = = ； 7、 分配律 k l K V , , ，都有 ( ) k l k l + = + ； 8、 分配律 k K V , , ，都有 k k k ( ) + = + ， 则称 V 为 K 上的一个线性空间，我们把线性空间中的元素称为向量。注意：线性空间 依赖于“+”和“ • ”的定义，不光与集合 V 有关。 2、零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常 数的加、乘法类似的性质 命题 4.1 零元素唯一，任意元素的负元素唯一。 证明： 设 0 与 0' 均是零元素，则由零元素的性质，有 0 0' 0 0' = + = ； V ，设 , ' 都是 的负向量，则 = + = + + = + + = + = 0 ( ' ) ' ( ) 0 ， 于是命题得证。由于负向量唯一，我们用− 代表 的负向量。 定义 4.2 减法 我们定义二元运算减法“-”如下： − 定义为 + −( )
命题42线性空间中的加法和数乘满足如下性质: 1、加法满足消去律a+y=B+y→a=B; 2、可移项a+B=y→a=y-B 3、可以消因子ka=B且k≠0,则。_1 4、0●a=0. (-1)a=- 3、线性空间的例子 例 令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K=R,V中加法的定义就是函数 的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间 412线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以 及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价;极大线性无关组 定义43线性组合 给定V内一个向量组a1,a2…a,,又给定数域K内s个数k,k2,…k,,称 kax1+k2a2+…+ka,为向量组a1,a2…a,的一个线性组合 定义4.4线性表出 给定V内一个向量组a,a2…a,,设B是V内的一个向量,如果存在K内s个数 k1,k2,…k,使得β=ka1+k2a2+…+ka,则称向量B可以被向量组a12a2,…,a,线 性表出 定义45向量组的线性相关与线性无关 给定V内一个向量组a,a2…ax,如果对内某一个向量B,存在数域K内不全 为零的数k,k2…k,使得 kax1+k2a2+…+k,a,=0,则称向量组a1,a2,…,a,线性相关 若由方程ka1+k2a2+…+ka,=0必定推出 k1=k2=…=k,=0,则称向量组a12a2…,a,线性无关 命题43设a1,a2…a,∈V,则下述两条等价: 1)a1,a2…a,线性相关; 2)某个∝1,可被其余向量线性表示 证明同向量空间
命题 4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质： 1、 加法满足消去律 + = + = ； 2、 可移项 + = = − ； 3、 可以消因子 k = 且 k 0 ，则 1 k = ； 4、 0 0, • = k • = 0 0, ( 1) − = − 。 3、线性空间的例子 例 4.1 令 V 表示在 ( , ) a b 上可微的函数所构成的集合，令 K = ，V 中加法的定义就是函数 的加法，关于 K 的数乘就是实数遇函数的乘法，V 构成 K 上的线性空间。 4.1.2 线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以 及等价表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性无关组 定义 4.3 线性组合 给定 V 内一个向量组 1 2 , , , s ，又给定数域 K 内 s 个数 1 2 , , , s k k k ，称 1 1 2 2 s s k k k + + + 为向量组 1 2 , , , s 的一个线性组合； 定义 4.4 线性表出 给定 V 内一个向量组 1 2 , , , s ，设 是 V 内的一个向量，如果存在 K 内 s 个数 1 2 , , , s k k k ，使得 1 1 2 2 s s = + + + k k k ，则称向量 可以被向量组 1 2 , , , s 线 性表出。 定义 4.5 向量组的线性相关与线性无关 给定 V 内一个向量组 1 2 , , , s ，如果对 V 内某一个向量 ，存在数域 K 内不全 为零的数 1 2 , , , s k k k ，使得 1 1 2 2 0 s s k k k + + + = ，则称向量组 1 2 , , , s 线性相关； 若由方程 1 1 2 2 0 s s k k k + + + = 必定推出 1 2 0 s k k k = = = = ，则称向量组 1 2 , , , s 线性无关。 命题 4.3 设 1 2 , , s V ，则下述两条等价： 1） 1 2 , , s 线性相关； 2）某个 i 可被其余向量线性表示。 证明同向量空间
定义46线性等价 给定V内两个向量组 B1,B2…,B (Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(I) 线性表示,则称两向量组线性等价。 定义47极大线性无关部分组 给定Ⅴ内一个向量组a1,a2…a,如果它有一个部分组a1,a1,…a1满足如下条 (i)、a..Q .线性无关 (ⅱ)、原向量组中任一向量都能被a1,a2…,a1线性表示 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。 由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到Kn 的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立 定义48向量组的秩 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该 向量组的秩。 例42求证:向量组(4,e)}的秩等于2(其中入≠2) 证明: 方法一: 设k1k2∈R,满足ke+k2ex=0,则k,e=-k2e,假若k,k2不全为零,不 妨设k≠0,则有e4=-,,而由于41≠l2,等号左边为严格单调函数,矛盾于等 k 号右边为常数。于是 k1=k2=0。 所以e,e线性无关,向量组的秩等于2 证毕 方法二:若在(a,b)上ke4x+k2ebx=0, 两端求导数,得 ke+,hex=0 以x=c∈(a,b)代入
定义 4.6 线性等价 给定 V 内两个向量组 1 2 , , , r （Ⅰ）， 1 2 , , , s （Ⅱ）， 如果（Ⅰ）中任一向量都能被（Ⅱ）线性表示，反过来，（Ⅱ）中任一向量都能被（Ⅰ） 线性表示，则称两向量组线性等价。 定义 4.7 极大线性无关部分组 给定 V 内一个向量组 1 2 , , , s ，如果它有一个部分组 1 2 , , , r i i i 满足如下条 件： （i）、 1 2 , , , r i i i 线性无关； （ii）、原向量组中任一向量都能被 1 2 , , , r i i i 线性表示， 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。 由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到 n K 的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成立。 定义 4.8 向量组的秩 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量，其向量数目成为该 向量组的秩。 例 4.2 求证：向量组 1 2 , x x e e 的秩等于 2（其中 1 2 ） 证明： 方法一： 设 1 2 k k, ，满足 1 2 1 2 0 x x k e k e + = ，则 1 2 1 2 x x k e k e = − ，假若 1 2 k k, 不全为零，不 妨设 1 k 0 ，则有 1 2 ( ) 2 1 x k e k − = − ，而由于 1 2 ，等号左边为严格单调函数，矛盾于等 号右边为常数。于是 1 2 k k = = 0。 所以 1 2 , x x e e 线性无关，向量组的秩等于 2。 证毕。 方法二：若在 ( , ) a b 上 1 2 1 2 0 x x k e k e + = ， 两端求导数，得 1 2 1 1 2 2 0 x x k e k e + = ， 以 x c a b = ( , ) 代入
0, Me+k, (+2)c c (2-1)≠0 ge 于是k=k2=0 证毕
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 0, 0. c c c c k e k e k e k e + = + = 而 1 2 1 2 2 2 ( ) 2 1 1 2 ( ) 0 c c c c c e e e e e + = − ， 于是 1 2 k k = = 0 。 证毕