《线性代数》第五章 特征值问题及二次型

第五章特征值问题及二次型 要求: 1)理解矩阵特征值特征向量的概念:掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法 2)理解相似矩阵的概念及性质,掌握矩阵对角化的充分必要条件。 3)理解向量的内积与正交的概念:掌握向量组正交化过程:理解正交矩阵的概念。 4)理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质:会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩 5)了解二次型及其矩阵表示;了解二次型的标准型。 6)会用正交变换法和配方法化二次型为标准型 7)了解二次型的秩、惯性定理、正定性:掌握正定矩阵的判别。 51矩阵的特征值问题 知识点:矩阵特征值特征向量的概念:计算矩阵特征值特征向量的方法。矩阵特征值的一些 基本性质。 定义1(特征值特征向量)设A是n阶方阵,若存在数λ和非零向量x,使得 Ax=dx 则称A为A的特征值,称x为A的属于(或对应于)的特征向量。有时也称(,x)是A 的特征对 注意特征值特征向量是针对方阵定义的。另外零向量⊙总满足(1)式,但6不是特征向量。 (1)可写成 (I-A)x=8 设A=(an),对于固定的,(2)是关于x的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是 (3)

77 第五章 特征值问题及二次型 要求： 1）理解矩阵特征值特征向量的概念；掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法。 2）理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充分必要条件。 3） 理解向量的内积与正交的概念；掌握向量组正交化过程；理解正交矩阵的概念。 4）理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质；会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩 阵。 5）了解二次型及其矩阵表示；了解二次型的标准型。 6）会用正交变换法和配方法化二次型为标准型。 7）了解二次型的秩、惯性定理、正定性；掌握正定矩阵的判别。 5.1 矩阵的特征值问题 知识点：矩阵特征值特征向量的概念；计算矩阵特征值特征向量的方法。矩阵特征值的一些 基本性质。 定义 1 （特征值特征向量）设 A 是 n 阶方阵，若存在数  和非零向量 x，使得 A x =  x (1) 则称  为 A 的特征值，称 x 为 A 的属于(或对应于)  的特征向量。有时也称（  ，x）是 A 的特征对。 注意特征值特征向量是针对方阵定义的。另外零向量  总满足(1)式，但  不是特征向量。 (1)可写成 (I − A) x= (2) 设 A =( ij a )，对于固定的  ，(2)是关于 x 的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 I − A = n n nn n n a a a a a a a a a − − − − − − − − −    ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 =0 (3)

(3)是关于A的一元n次方程,称为方阵A的特征方程,而它左端的n次多项式 f(4)=f()=-4 称为A的特征多项式。表明A的特征值是特征方程(3)的根或f4()的零点。n次多项式恰 有n个零点,故n阶方阵A恰有n个特征值。但需注意两点: )n个特征值中有可能是相同的,称为重特征值,即是f(4)=0的重根。如单位矩阵 2)即便A为实方阵,其特征值也可能是复数。例如/0 则 10 22+1 A的特征值为λ=±√-1=±i.但根据多项式理论,实矩阵的复特征值是成对出现的 定理1设礼,2…是A-n)的n个特征值,则 °)∑λ 2)∏14=|4 证明由条件-4=(2-1)A-2)…(A-) (4) 2-C∑4)m+…+(-1)”∏4 另一方面,由行列式定义,|/-4中含有”的只有一项: d1=(2-a1)-a2)…(-am)= 且在-4中,-也只出现在d中,故1°)成立:在(4)式中令=0,2°)成立 推论1方阵A可逆当且仅当它的特征值全不为0。 定理2设是A=(an)的特征值,5是对应的特征向量,则

78 (3) 是关于  的一元 n 次方程，称为方阵 A 的特征方程，而它左端的 n 次多项式 f () = () A f = I − A 称为 A 的特征多项式。表明 A 的特征值是特征方程(3)的根或 () A f 的零点。n 次多项式恰 有 n 个零点，故 n 阶方阵 A 恰有 n 个特征值。但需注意两点： 1）n 个特征值中有可能是相同的，称为重特征值，即是 () A f = 0 的重根。如单位矩阵。 2）即便 A 为实方阵，其特征值也可能是复数。例如 A =         − 1 0 0 1 ，则 I − A =   1 1 − = 1 2  + . A 的特征值为  =  −1 =  i. 但根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的。 定理 1 设   n , , , 1 2  是 A = ( ) n n aij  的 n 个特征值，则 1º)   = = = n i n i i aii 1 1  = trA 2º) A n i  i = =1  . 证明 由条件 I − A = ( )( ) ( )  1  2  − n − −  （4） =  = − = − +  + − n i i n n n i i n 1 1 1  (  ) ( 1)  另一方面，由行列式定义， I − A 中含有 n  的只有一项： = − −  − = − − + =  1 1 1 11 22 ( )( ) ( ) n n i i i n d  a  a  an n  a  且在 I − A 中， n−1  也只出现在 1 d 中，故 1º)成立；在（4）式中令  = 0 ， 2º）成立。 ■ 推论 1 方阵 A 可逆当且仅当它的特征值全不为 0。 ■ 定理 2 设  是 A = ( ) n n aij  的特征值，  是对应的特征向量，则

1)ξ不再是其它特征值的特征向量 2)(2,5)是A的特征对:进一步,(o(4),5)是()的特征对,其中 q()=a0+a1+…+a,2,(A)=a01+a14+…+a,A 3)若A可逆,则(12,5)是A-的特征对 证明1)假设5=A2=1,A≠H。故(4-1)5=,因为5≠6,A={,矛盾。 2)由A25=25,类似可得A=5,这表明(,)是A4的特征对。进一步有 (A)5=(a0I+a1A+…+a,A)=(a0+a14+…+a32°)5=p(1)5 3)若A可逆,则4≠0。由A5=A,可得A5=(1/A)2 定理3设51,523…,5m分别是A的属于互不相同的特征值A1,A2,…,m的特征向量,则 51,52,…,m线性无关。 证明归纳法。当m=1,结论成立(因51≠)。设m=k时结论成立,当m=k+1,设 a151+a252+…+ak5k+ak+15k1=6, 则A(a151+a1252 ak+5k+)=6,即 a14151+a2252+…+akk5k+ak+1k+15k4=b (2) 将(1)式乘以入41,再减去(2)式得 a1(+-1)1+a2(4+1-2)2+…+a4(+1-A1)k=6 因为51,52,…5线性无关,故a1(4k+1-1)=0,而入+1≠1,所以a1=0,(i=1,2,…,k) 代入(1)式,得ak15k=0因为k1≠日,所以ak1=0,故51,52,…5k线性无关 例1求A=121的特征值和特征向量

79 1）  不再是其它特征值的特征向量； 2）（ k  ， ）是 k A 的特征对；进一步，（ () ， ）是 (A) 的特征对，其中 s s s () = a0 + a1 ++ as ,(A) = a0 I + a1A ++ a A 。 3）若 A 可逆，则（ 1/ ， ）是 −1 A 的特征对。 证明 1）假设  = A =  ，   。故 ( − ) =  ，因为    ， =  ，矛盾。 2）由  2 A   2 = ，类似可得    k k A = ，这表明( k  , )是 k A 的特征对。进一步有 (A)  = ( 0 1 ) s a I + a A ++ as A =（ s a0 + a1 ++ as ) =()  . 3）若 A 可逆，则   0 。由 A =  ，可得  (1/ ) 1 = − A . ■ 定理 3 设    m , , , 1 2  分别是 A 的属于互不相同的特征值    m , , , 1 2  的特征向量，则    m , , , 1 2  线性无关。 证明 归纳法。当 m =1 ，结论成立（因  1  ）。设 m = k 时结论成立，当 m = k +1 ，设 a1 1 + a2 2 ++ ak k + ak+1 k+1 = ， （1） 则 A(a1 1 + a2 2 +ak k + ak+1 k+1 ) = ，即 a11 1 + a22 2 ++ akk k + ak+1k+1 k+1 = （2） 将（1）式乘以 k+1 ，再减去（2）式得 a1 (k+1 − 1 ) 1 + a2 (k+1 − 2 ) 2 ++ ak (k+1 − k ) k = 因为    k , , , 1 2  线性无关，故 ai (k+1 − i ) = 0 ,而 k+1  i ，所以 ai = 0 ，(i = 1,2,  , k) . 代入（1）式，得 ak+1 k+1 = .因为  k+1   ，所以 ak+1 = 0 ，故 1 2 1 , , ,     k+ 线性无关。 ■ 例１ 求 A =           1 1 2 1 2 1 2 1 1 的特征值和特征向量

解令-4(2-4)-1x-2-1=(2-4(2-13=0,=4,3==1 对于1=4,解(41-A)x=,得a1=1属于1=4的特征向量全体为ka1 对于石2=A1=1,解(-A)x=0,得无关的a2=1,a3=0.属于石 的特征向量全体为k2a2+k3a3(k2,k3不全为0) 例2求A=-430的特征值和特征向量。 解令1-4=(-2)(A-1)2=0,A1=2,石=2 对于1=2,解(21-A)x=,得a=0。属于1=2的特征向量全体为ka。 对于2=1=1,解(-A)x=0,得B=-2。属于2=2=1的特征向量为kB (强调:对于重特征值,有可能有重数个线性无关的特征值,也有可能没有。) 例3若A=A满足A2=1,证明:A的特征值只能为±1。 证明设(,)为A的特征对,则5=A25=25,于是(1-2)=O,故λ=±1 例4已知A=A3,且/-A,2/-A和3/-A均不可逆。 1)证明:I+2A可逆 2)求4和m4 证明1)由条件知|-4=0,|21-4=0,3-4=0,故1,2,3均为A的特征值, 所以-不是A的特征值。因而+24=2(-51-A=(-2)-51-4≠0

80 解 令 I − A = ( − 4) 1 1 2 1 2 1 1 1 1 − − − − − −   = ( − 4) 2 ( −1) =0，1 = 4，2 = 3 =1. 对于 1 = 4 ，解 (4I − A) x = ，得           = 1 1 1 1 . 属于 1 = 4 的特征向量全体为 1 k 。 对于 2 = 3 =1 ，解 (I − A) x = ，得无关的          − = 0 1 1  2 ，          − = 1 0 1  3 . 属于 2 = 3 =1 的特征向量全体为 2 2 33 k + k .（ 2 3 k , k 不全为 0） 例２ 求 A =           − − 1 0 2 4 3 0 1 1 0 的特征值和特征向量。 解 令 I − A = ( − 2) 2 ( −1) = 0，1 = 2，2 = 3 =1. 对于 1 = 2 ，解 (2I − A) x = ，得           = 1 0 0  .。属于 1 = 2 的特征向量全体为 k 。 对于 2 = 3 =1 ，解 (I − A) x = ，得           − − = 1 2 1  。属于 2 = 3 =1 的特征向量为 k 。 （强调：对于重特征值，有可能有重数个线性无关的特征值，也有可能没有。） 例３ 若 A = Ann 满足 A = I 2 ，证明： A 的特征值只能为  1。 证明 设(  , )为 A 的特征对, 则     2 2 = A = , 于是 (1−  ) =  2 ，故  = 1。 例４ 已知 A = A33 ，且 I − A， 2I − A 和 3I − A 均不可逆。 1）证明： I + 2A 可逆。 2）求 A 和 trA. 证明 1）由条件知 I − A = 0， 2I − A = 0， 3I − A = 0 ，故 1，2，3 均为 A 的特征值， 所以 2 1 − 不是 A 的特征值。因而 0 2 1 ) ( 2) 2 1 2 2( 3 I + A = − − I − A = − − I − A 

2)由定理1知4-4=123=6.mA=∑a=∑=1+2+36 52相似矩阵 知识点:相似矩阵的概念与性质,矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件。 定义2(相似矩阵)对于n阶方阵A,B,若存在可逆阵P,使P-AP=B,则称A相 似于B,记作A~B.(P称为相似变换矩阵) 三条性质 i)A~A.(自反性) ⅱ)若A~B,则B~A.(对称性) ⅲi)若A~B,B~C,则A~C.(传递性) 例5若A~B,则r(A)=r(B) 证明若A~B,则PAP=B.因为P可逆,故P=PP…P。于是有 P1…P2PAPP2…P=B表明A与B等价。故r(A)=r(B) 例6(可作为习题证明:若A~B,则 (i)A-B (i)(A)~(B),((4)是A的多项式) 证明由A~B,成立P-AP=B.故 (i)Bk=P-AP,即A~B (ⅱ)设9(4)=anm+an1m-+a1A+a0,有 p(B)=a B Bm-+∴+a,B =P-(a,A"+amA-+a,A+aoI)P=P-(A)P, EpP(A)-(B)

81 ２）由定理 1 知 A = 1 2 3 6 3 1  =   = i= i . trA== n i ii a 1 == 3 i 1 i =1+2+3=6. 5.2 相似矩阵 知识点：相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件。 定义 2 （相似矩阵）对于 n 阶方阵 A, B ，若存在可逆阵 P ，使 P AP = B −1 ，则称 A 相 似于 B ，记作 A ～ B .（ P 称为相似变换矩阵） 三条性质： ⅰ） A ～ A .（自反性） ⅱ）若 A ～ B ，则 B ～ A .（对称性） ⅲ）若 A ～ B ， B ～C ，则 A ～C .（传递性） 例 5 若 A ～ B ，则 r(A) = r(B). 证 明 若 A ～ B ， 则 P AP = B −1 . 因 为 P 可逆，故 P = P1P2 Ps 。于是有 Ps P P AP P Ps = B −1  2 −1 1 −1 1 2  .表明 A 与 B 等价。故 r(A) = r(B). ■ 例 6 (可作为习题)证明：若 A ～ B ，则 （ⅰ） k A ～ k B ； （ⅱ） (A) ～(B) ，（ () 是  的多项式） 证明 由 A ～ B ，成立 P AP = B −1 . 故 （ⅰ） k B = P A P −1 k , 即 k A ～ k B . （ⅱ）设 () = 1 0 1 a a 1 a a m m m m + + + −  −   ，有 (B) = a B a B a B a I m m m m 1 0 1 + 1 + + + − −  = P a A a A a A a I m m m m 1 0 1 1 1 ( + + + − − −  )P = P (A)P 1 − , 即 (A) ～(B)

定理4若A~B,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值也相同 证明由A~B,使PAP=B.故 1-=|pmP-PAP=p(-A)P|=|P-1|-4|P=|-4■ 推论4a若n阶方阵A~A=dag4},则A1,2…n为A的所有n个特征值。 证明因为对角矩阵的特征值即为对角元素 推论4b若A~B,则mA=mB4=|B.(由定理1即得) 若A相似于对角阵A= ,则P-AP=A,即A=PAP-1.于是 =PAP-1.类似可得o(4)=Po(A)P-(参见例5的证明过程).并易得 qp(1) (A)= qp(2) (n) 这样就可以比较简便地计算出A4和q(A)了。(具体例子作为习题 定理5n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证明必要性.存在P,使PAP=A=dig{4}:其中1,A2,…,n为A的n个特征 值。上式可写成AP=PA。记P=(mn,n2,…,mn),则成立 An=an 即7是A的特征向量。因为P可逆,故n2,72,…,n线性无关 充分性.若A有n个线性无关的特征向量n1,2…,n满足A7=n,记 ,n) A=diag,) 由必要性证明的推导过程倒推上去,即可得A相似于对角阵

82 定理 4 若 A ～ B ，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同。 证明 由 A ～ B , 使 P AP = B −1 . 故 I − B = P IP − P AP = P I − A P = P I − A P = I − A − − − −      1 1 1 1 ( ) . ■ 推论 4.a 若 n 阶方阵 A ～  = { } diag i ，则   n , , , 1 2  为 A 的所有 n 个特征值。 证明 因为对角矩阵的特征值即为对角元素。■ 推论 4.b 若 A ～ B ，则 trA = trB, A = B . (由定理 1 即得). ■ 若 A 相似于对角阵  =               n    2 1 ，则 =  − P AP 1 ，即 −1 A = PP . 于是 k A = −1 P P k . 类似可得 1 ( ) ( ) −  A = P  P （参见例 5 的证明过程）. 并易得 , 2 1                = k n k k k                    = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1  n       这样就可以比较简便地计算出 k A 和 (A) 了。（具体例子作为习题） 定理 5 n 阶方阵 A 相似于对角阵的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。 证明 必要性. 存在 P ，使 =  − P AP 1 = { } diag i ；其中   n , , , 1 2  为 A 的 n 个特征 值。上式可写成 AP = P 。记 P = ( )   n , , , 1 2  , 则成立 Ai = ii ， 即 i 是 i 的特征向量。因为 P 可逆，故   n , , , 1 2  线性无关。 充分性. 若 A 有 n 个线性无关的特征向量   n , , , 1 2  满足 Ai = ii ，记 P = ( )   n , , , 1 2  ，  = { } diag i , 由必要性证明的推导过程倒推上去，即可得 A 相似于对角阵。 ■

推论5若n阶方阵A的n个特征值互异,则A相似于对角阵。 但须注意本推论的逆不成立。例如上节例1中的A有3个线性无关的特征向量,故A相似 于对角阵。但A的3个特征值不互异。 定理6n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是:对于A的每个k.重特征值A.都有k.个线性无关的特 征向量。即r(-A)=n-k 6.3向量的内积与正交矩阵 知识点:向量的内积与正交;向量组的正交化过程:正交矩阵及其性质。 在空间解析几何中两个向量a,b的内积定义为a“b= I al i bl coso,其中lal, lbl分别是a,b的长度,p是a与b的夹角。若在R3中建立直角坐标系后,向量 a={a,a2a3},b={,b2,b3}的内积的计算公式为ab=∑ab 我们现在把内积定义推广到一般n维实向量。 定义3(向量内积)设a=(a1a2…an),B=(b,b2…bn)∈R",则a与B的内积定 义为: (a,B)=∑ab=a"B 向量的内积满足如下性质: )(a,B)=(Ba):(对称性) i)(k1+k2a2B)=k(a,B)+k2(a2,B);(k1,k2∈R)(线性性) i)(a,a)≥0,且(a,a)=0a=0;:(正定性) (a,0)=(,a) 定义4(向量长度)对于a∈R",a的长度(或模)(记作)定义为:

83 推论 5 若 n 阶方阵 A 的 n 个特征值互异，则 A 相似于对角阵。 ■ 但须注意本推论的逆不成立。例如上节例 1 中的 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 A 相似 于对角阵。但 A 的 3 个特征值不互异。 * 定理 6 n 阶方阵 A 相似于对角阵的充要条件是：对于 A 的每个 i k 重特征值 i 都有 i k 个线性无关的特 征向量。即 i i r( I − A) = n − k . ■ 6.3 向量的内积与正交矩阵 知识点：向量的内积与正交；向量组的正交化过程；正交矩阵及其性质。 在空间解析几何中两个向量 a, b 的内积定义为 a•b =║a║║b║cos  ，其中║a║， ║b║分别是 a, b 的长度，  是 a 与 b 的夹角。若在 3 R 中建立直角坐标系后，向量 a={ , , } a1 a2 a3 ，b= { , , } b1 b2 b3 的内积的计算公式为 a•b = = 3 i 1 aibi . 我们现在把内积定义推广到一般 n 维实向量。 定义 3（向量内积）设 T n n T  = (a1 ,a2 ,  ,an ) , = (b1 ,b2 ,  ,b )  R ，则  与  的内积定 义为： , = = n i aibi 1 =   T . 向量的内积满足如下性质： ⅰ） , = , ；（对称性） ⅱ） k11 + k22 , = k1 1 , + k2 2 , ； ( , ) k1 k2 R （线性性） ⅲ） ,  0;且 , = 0  = ；（正定性） ⅳ） , = , = 0 ； 定义 4（向量长度）对于 n   R ， 的长度（或模）（记作  ）定义为：  = , = = n i ai 1 2

量的长度满足如下性质: 1°|a20:且|l=0a=0:(正定性) ka=|k(k∈R)(齐次性) a,B)≤kal:( Cauchy不等式) a1∑a1∑b2 4P+川≤l+f:(三角不等式) (1°,2°的证明用定义;4°利用3°来证明。3°证明如下) 证明当a,B线性相关时,则存在k∈C,使得β=ka或a=kB.若B=ka则 (a, B)=ka, ka)=k(a, a)=ka, a) aB =a, aXB, B= k(a, a)2=k (a, ay 对于a=B类似可证。故当a,B线性相关时,|(a,B)=|: 设a,B线性无关,则M∈R,y=a+1B≠日,由性质ⅲ),(y,y)=(+1,a+1) 0,即(a,a)+2(a,B)+(B,P2>0,即二次实系数方程 (aa)+2a,px+(B,B2=0没有实根故4a,B)2-4(aaNB,B)<0,于是Ka, 当a≠O,B≠θ时 02y≤1.于是引入如下定义: 定义5(向量的夹角)对于a,B∈R",当a≠0,B≠0时,定义a,B的夹角为 (a,B) p=arccos aB (0≤q≤丌) 若(a,B)=0,则称a与B正交,记为a⊥B,这时g= 性质: 1)b⊥a,a∈R

84 向量的长度满足如下性质： 1º   0 ；且  = 0  = ；（正定性） 2º k = k  ;(k  R) （齐次性） 3º ,    ； （Cauchy 不等式） 即    = = =  n i i n i i n i aibi a b 1 2 1 2 1 4º  +    +  ； （三角不等式） （1º，2º的证明用定义；4º利用 3º来证明。3º证明如下） 证明 当 , 线性相关时，则存在 k C ，使得  = k 或  = k . 若  = k 则 , = , k = k , = k ,   , , , , 2 2 = = k = k 对于  = k 类似可证。故当 , 线性相关时， , =   ； 设 , 线性无关，则 t R， =  + t   ，由性质ⅲ），  , =  + t, + t ＞ 0 ， 即 2 , + 2 , t + , t ＞ 0 ，即二次实系数方程 2 , + 2 , t + , t =0 没有实根,故 4 , 4 , , 2 − ＜0，于是 ,  ＜   ■ 当   ,   时， 1 ,      . 于是引入如下定义： 定义 5（向量的夹角）对于 n ,  R ，当   ,   时，定义 , 的夹角为：      , = arccos ，(0     ) 若 , = 0 ，则称  与  正交，记为  ⊥  ，这时 2   = . 性质： 1） n  ⊥,  R ;

2)对于a,B∈R",若a⊥B,则|+|2=1k+.(勾股定理 长度为1的向量称为单位向量。非零向量a≠的单位化:ma,几何意义:同方向 上的单位向量。 正交向量组:两两正交的一组非零向量:标准正交向量组:由单位向量组成的正交向量组。 定理7若a1a2,…Om是正交向量组,则a12a2,…,am线性无关 证明设k1a1+k2a2+…+knam=6.用a1与两边作内积得: (a,ka1+k2a2+…+knxm})=(a1,0)=0(=1.2…,m) 由于a1a2…;an正交,即得:k,a,ax)=0,而(a1,a1)≠0,于是k=0.故无关。 正交基:由正交向量组构成的向量空间的基 标准正交基:由标准正交向量组构成的向量空间的基。 定理8在R"中,若a12a2,…,an线性无关(m≥2),则a12a2,…an与某个正交向量组 月,B2,…,Bn等价。且a1…a,与B1…B1等价(2≤t≤m) 证明令B=a1:B2=a2+kB1(k1为待定系数),要使B2⊥B1,则有求成立 (B,B2)=(B,a2+k1B)=(月B,a2)+k1(B1,B)=0 B2a2) 由于月=a1≠0(线性无关),故(1,B)≠0,从而取k=VB,B)·又从上式可得 a1=B1,a2=B2-kB1 表明a1,a2与B1,月2等价 般已求得正交向量组B1,…,B-1与a12…,a1-1等价(2≤≤m).令

85 2) 对于 n ,  R , 若  ⊥  ，则 2 2 2  +  =  +  .（勾股定理） 长度为 1 的向量称为单位向量。非零向量   的单位化：   1 ，几何意义：同方向 上的单位向量。 正交向量组：两两正交的一组非零向量；标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组。 定理 7 若    m , , , 1 2  是正交向量组，则    m , , , 1 2  线性无关。 证明 设 k11 + k2 2 ++ km m =  . 用  i 与两边作内积得： i ,k11 + k22 ++ km m = i , = 0 (i = 1,2,  ,m) . 由于    m , , , 1 2  正交，即得： ki i ,i = 0 ，而 i ,i  0 ，于是 ki = 0 . 故无关。 ■ 正交基：由正交向量组构成的向量空间的基； 标准正交基：由标准正交向量组构成的向量空间的基。 定理 8 在 n R 中，若    m , , , 1 2  线性无关 (m  2) ，则    m , , , 1 2  与某个正交向量组    m , , , 1 2  等价。且  t  t , , , , 1  与 1  等价 (2  t  m) 证明 令 1 =1 ；  2 2 11 = + k （ 1 k 为待定系数）， 要使  2 ⊥ 1 ，则有求成立 1 , 2 = 1 ,2 + k11 = 1 ,2 + k1 1 ,1 = 0 . 由于 1 =1   （线性无关），故 1 ,1  0 ，从而取 1 1 1 2 1 , ,     k = − 。又从上式可得 1 = 1 ，2  2 11 = − k . 表明 1 2 1 2  , 与 , 等价。 一般已求得正交向量组 1 1 , ,    t− 与 1 1 , ,   t− 等价 (2  t  m) . 令

B1=a1+k1B1+…+k1B 由月⊥月(=1…,1-1)的要求,用B1与上式两边作内积得:0=(B,a)+k,(月,B).于是 可求得k≈(B1,1(=1…-1),即 B, B B , a,.(B, B B1,B) (B-,B B 易见B1,…,B1是正交向量组,且由B1…,B-1与a1,…,a1-1等价及上式,可得B1,…,B1与 C1,…,a1等价。 定理10的证明给出了将一个线性无关的向量组ax1,a2,…,an正交化的步骤: B1=a1 B2 (B1,a2 (月,B P (B,, am) P Bm-1,am) B B Bm-I,B, 如果再将正交向量组BB2,…,Bn单位化,即令 B 1. 则n,…,n是与1,α2…,∝n等价的标准正交向量组 由上述过程把一个线性无关的向量组a1,a2,…,an化为与a1,a2,…,an等价的标准 正交向量组71,…,m的过程称为施密特( Schmidt)正交化方法 例7设a1=(,1,1),a2=(-1,1,0),a3=(-1,0,1),将a1a2,a3化为R3 的一个标准正交基 解易见(1a)=0.(=2,3),故a1⊥a1(=2,3),以下将a2a3正交化。令B2=a2

86 t = t + 1 1 + + t−1 t−1   k   k  ， 由  t ⊥  i (i = 1,  ,t −1) 的要求， 用  i 与上式两边作内积得： i t i i i 0 =  , + k  , .于是 可求得 i i i t i k     , , = − (i = 1,  ,t −1) ，即 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , − − − − = − − − t t t t t t t t              . 易 见   t , , 1  是 正 交 向量 组， 且 由 1 1 , ,    t− 与 1 1 , ,    t− 等 价 及 上式 ，可 得   t , , 1  与  t , , 1  等价。 ■ 定理 10 的证明给出了将一个线性无关的向量组    m , , , 1 2  正交化的步骤： 1 =1 ； 1 1 1 1 2 2 2 , ,       =  − ；  1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , − − − − = − − − m m m m m m m m              如果再将正交向量组    m , , , 1 2  单位化，即令 i i i    = (i = 1,2,  ,m) 则   m , , 1  是与    m , , , 1 2  等价的标准正交向量组。 由上述过程把一个线性无关的向量组    m , , , 1 2  化为与    m , , , 1 2  等价的标准 正交向量组   m , , 1  的过程称为施密特（Schmidt）正交化方法. 例 7 设 (1, 1, 1) , ( 1, 1, 0) , ( 1, 0, 1) , 1 2 3 T T T  =  = −  = − 将 1 2 3  , , 化为 3 R 的一个标准正交基。 解 易见 , 0,( 2,3) 1 i = i = ，故 ,( 2,3) 1 ⊥i i = ，以下将 2 3  , 正交化。令  2 = 2