第一章行列式 要求 1)理解行列式的定义与性质:掌握三阶行列式的对角线计算方法 2)利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单n阶行列式 3)掌握克莱姆法则。 1.1排列与逆序 知识点:排列;逆序;对换 排列 定义1(排列)n个(不同)自然数1,2…n组成的一个有序数组p1p2,…Pn称作 为n级排列,其中每个自然数P1称作(第i个)元素。 如213是一个3级排列。强调“有序” 那么1,2,3可以有多少种不同的排列呢?一一列出,共有6种。 乘法原理 3个自然数共有3×2×1=3!=6种不同排列。 用Pn表示所有n级不同排列的种数。故B3=3!=6;。不难得到 Pn=n(n-1)…2.1=n! 、逆序 标准顺序n个不同自然数按从小到大自然顺序的排列,称之为(n级)排列的标准顺序。 如123是一个(3级)标准顺序的排列 定义2(逆序)在p1P2…Pn中,若有P,>P2(S<t),则称P,与P1构成该排列的 个逆序(数):一个排列中,所有逆序的总数,称作该排列的逆序数,记作((PP2…pn)。 奇排列当r(P1P2…Pn)为奇数时,称P1P2…Pn为奇排列。 偶排列当τ(P1P2…Pn)为偶数或零时,称P1P2…Pn为偶排列 例如231是偶排列:321奇排列 逆序数的计算方法:设P1P2…Pn是一个n级排列。定义该排列中某个元素P1的逆
1 第一章 行列式 要求： 1） 理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法； 2）利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单 n 阶行列式。 3）掌握克莱姆法则。 1.1 排列与逆序 知识点: 排列; 逆序; 对换。 一、 排列 定义 1（排列） n 个（不同）自然数 1,2, , n 组成的一个有序数组 p p pn , , , 1 2 称作 为 n 级排列，其中每个自然数 i p 称作（第 i 个）元素。 如 213 是一个 3 级排列。 强调 “有序”. 那么 1，2，3 可以有多少种不同的排列呢？一一列出，共有 6 种。 乘法原理 3 个自然数共有 3 21= 3!= 6 种不同排列。 用 Pn 表示所有 n 级不同排列的种数。故 P3 = 3!= 6 ；。不难得到： Pn = n(n −1)2 1= n! . 二、逆序 标准顺序 n 个不同自然数按从小到大自然顺序的排列，称之为（ n 级）排列的标准顺序。 如 123 是一个（3 级）标准顺序的排列。 定义 2（逆序） 在 p1 p2 pn 中，若有 p p (s t ) s t ，则称 ps 与 pt 构成该排列的一 个逆序（数）；一个排列中，所有逆序的总数，称作该排列的逆序数，记作 ( ) p1 p2 pn 。 奇排列 当 ( ) p1 p2 pn 为奇数时，称 p1 p2 pn 为奇排列。 偶排列 当 ( ) p1 p2 pn 为偶数或零时，称 p1 p2 pn 为偶排列。 例如 231 是偶排列；321 奇排列。 逆序数的计算方法： 设 p1 p2 pn 是一个 n 级排列。定义该排列中某个元素 pi 的逆
序数为:在P1P2…P-1中比P2大的个数,记为t1。于是 P1P2…P n=∑ 例1计算r(32415)和(n·(n-1)(n-2)…2·1)。 解r(32415)=4 r(n·(n-1)·(n-2)…2·1)=0+1+2+…+(n-2)+(n-1) 三、对换 定义3(对换)在某个n阶排列中,任意对换两个元素的位置(如对换P,与P,的位置), 其余元素不动,称作该排列的一个对换。可记作 B…p…p…pn-Pnp…p…p…pn 定理1对换改变排列的奇偶性 例如:r(123)=0,偶排列,123-2)→213.奇排列。 证明(1)相邻位置元素的对换。设 并设t1=S1,1+2=S2,对换之后,q,p的逆序数分别是 l+2 S2, p<q S1+1,p<q 两个元素逆序数之和在两个排列中相差1,其余没有变化,故两个排列的奇偶性不同 (2)任意位置元素的对换。设 q…bk pb1…b 该对换可以分解成 先作m+1次相邻元素的对换:a1…aC1…Cn9pb…b
2 序数为：在 p1 p2 pi−1 中比 pi 大的个数，记为 i t 。于是 ( ) p1 p2 pn = = + + + = n i n i t t t t 1 1 2 . 例 1 计算 (32415) 和 (n (n −1)(n − 2) 2 1) 。 解 (32415) = 4 。 2 ( 1) ( ( 1) ( 2) 2 1) 0 1 2 ( 2) ( 1) − − − = + + + + − + − = n n n n n n n 。 三、 对换 定义 3（对换） 在某个 n 阶排列中，任意对换两个元素的位置（如对换 ps 与 t p 的位置）， 其余元素不动，称作该排列的一个对换。可记作 p1 ps pt pn ⎯(⎯ps ,⎯pt )→ p1 pt ps pn . 定理 1 对换改变排列的奇偶性。 例如： (123) = 0 ，偶排列， 123 ⎯(1⎯,2)→ 213. 奇排列。 证明 （1）相邻位置元素的对换。设 a1 al pqb1 bm ⎯( p⎯,q)→ a1 alqpb1 bm . 并设 , , 1 1 2 2 t s t s l+ = l+ = 对换之后， q, p 的逆序数分别是 , 1, , , , 1, 1 1 2 2 2 1 + = − + = + s p q s p q t s p q s p q t l l 两个元素逆序数之和在两个排列中相差 1，其余没有变化，故两个排列的奇偶性不同。 （2）任意位置元素的对换。设 a1 al pc1 cmqb1 bk ⎯( p⎯,q)→ l m pb bk a1 a qc1 c 1 . 该对换可以分解成： 先作 m +1 次相邻元素的对换： l mqpb bk a1 a c1 c 1 ；
再作m次相邻元素的对换:a1…aqG1…Cmph…b 共2m+1次相邻位置对换,由(1),两个排列的奇偶性不同。 推论1任意n级排列PP2…Pn,都可以对换成标准顺序排列1·2…n,且对换次数的奇 偶性与排列PP2…Pn具有相同的奇偶性。 例2把32415对换成标准顺序的排列。 32415312435412345是一个偶排列 强调:不一定成立r(32415)=2,事实上,(32415)=4。 12行列式的定义 知识点:n阶行列式的定义(通过三阶行列式的三个特征引进) 2阶、3阶行列式 由22=4个数,按下列形式排成2行2列的方形 其被定义为一个数 =a, a22-a12a21 由33=9个数组成的3行3列的3阶行列式,则按下列形式定义为一个数 a21a2a2=a12a3+a22a1+a23 1242al31-412332-al12a21433 一般2阶,3阶行列式的计算可按对角线法得到。 例3(1)计算1-50的值 (2)求23x=0的根
3 再作 m 次相邻元素的对换： l m pb bk a1 a qc1 c 1 共 2m +1 次相邻位置对换，由（1），两个排列的奇偶性不同。 ■ 推论 1 任意 n 级排列 p1 p2 pn ，都可以对换成标准顺序排列 1 2n ，且对换次数的奇 偶性与排列 p1 p2 pn 具有相同的奇偶性。 例 2 把 32415 对换成标准顺序的排列。 解 32415 12435 12345 ⎯(1⎯,3)→ ⎯(3⎯,4)→ 是一个偶排列。 强调：不一定成立 (32415)= 2 ，事实上， (32415) = 4 。 1.2 行列式的定义 知识点: n 阶行列式的定义（通过三阶行列式的三个特征引进）； 一、2 阶、3 阶行列式 由 2 4 2 = 个数，按下列形式排成 2 行 2 列的方形 21 22 11 12 a a a a ， 记作 D2 其被定义为一个数： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − ， 由 3 9 3 = 个数组成的 3 行 3 列的 3 阶行列式，则按下列形式定义为一个数 D3 = 13 22 31 11 23 32 12 21 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 一般 2 阶, 3 阶行列式的计算可按对角线法得到。 例 3 （1）计算 1 2 1 1 5 0 3 0 1 − − 的值。 （2）求 0 4 9 2 3 1 1 1 2 = x x 的根
301 解(1) 50|=22 23x|=(x-2)x-3)=0 12-1 49x 三阶行列式定义的特征 (1)共有3!=6项相加,其结果是一个数 (2)每项有3个数相乘:a1na2n2a3p2,而每个数取自不同行不同列,即行足标固定为 123,列足标则是1,2,3的某个排列pP2P3 (3)每项的符号由列足标排列PP2P2的奇偶性决定,即符号是(-1)pp)。 故三阶行列式可写成 ∑( 二、n阶行列式 定义4(行列式)由n2个数组成的n行n列的n阶行列式定义如下: 其中∑表示对所有n阶排列P1P2…Pn的种数进行相加,共有P=n!项。(i,j) 位置上的元素用an表示。an称作对角元素。一般可记作Dn(或D);det(an 强调:(1)n阶行列式的定义具有类似的三项特征, (2)位置与位置上的元素区别。 特别,定义一阶行列式(即n=1)为:a1=a1
4 解 （1） 22 1 2 1 1 5 0 3 0 1 = − − （2） ( 2)( 3) 0 4 9 2 3 1 1 1 2 = x − x − = x x 三阶行列式定义的特征： （1） 共有 3！=6 项相加，其结果是一个数； （2） 每项有 3 个数相乘： 1p1 2 p2 3 p3 a a a ，而每个数取自不同行不同列，即行足标固定为 123，列足标则是 1，2，3 的某个排列 p1 p2 p3 ； （3） 每项的符号由列足标排列 p1 p2 p3 的奇偶性决定，即符号是 ( ) 1 2 3 ( 1) p p p − 。 故三阶行列式可写成 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3! ( ) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 ( 1) p p p p p p a a a a a a a a a a a a D = = − 二、 n 阶行列式 定义 4（行列式） 由 2 n 个数组成的 n 行 n 列的 n 阶行列式定义如下： n n p p np n p p p n n nn n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 ! ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 = (−1) ， 其中 n! 表示对所有 n 阶排列 p1 p2 pn 的种数进行相加，共有 P n! n = 项。 （ i , j ） 位置上的元素用 ij a 表示。 ii a 称作对角元素。一般可记作 Dn （或 D ）； det( ) aij 强调： （1） n 阶行列式的定义具有类似的三项特征， （2）位置与位置上的元素区别。 特别，定义一阶行列式（即 n = 1 ）为： a11 = a11
例4在六阶行列式中,项a2431a42a524145应带那种符号。 例5利用行列式的定义证明 000 a31 32 a330-1a2233a44 证明由定义 D4=∑ 考察an的取值,只有形如a12ap2a4p,的项才可能不为零,有3!个。由于P=1已 取定,故P2,P3,P4只有在2,3,4中取值。类似考察a2n2的取值 又由于t(1234)=0,从而成立D4=a12a3a4 例4的结论可推广到一般n阶下三角行列式的计算: 0 a1422…a 类似地,上三角行列式和对角行列式的值也成立同样的结论: 000-2 例如 1×0×(-2)×3=0 00-21 0003 例6证明n阶(反对角)行列式D: 0d1 00 n(n-1) D o d 0 0:00 d.0
5 例 4 在六阶行列式中，项 a23a31a42a56a14a65 应带那种符号。 例 5 利用行列式的定义证明 11 22 33 44 41 42 43 44 31 32 33 21 22 11 4 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a D = = 证明 由定义 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4! ( ) 4 ( 1) p p p p p p p p D = − a a a a 。 考察 1 p1 a 的取值，只有形如 11 2 p2 3 p3 4 p4 a a a a 的项才可能不为零，有 3！个。由于 p1 = 1 已 取定，故 2 p ， 3 p ， 4 p 只有在 2，3，4 中取值。 类似考察 2 p2 a 的取值 。。。 又由于 (1234) = 0 ，从而成立 D4 = a11a22a33a44 。 例 4 的结论可推广到一般 n 阶下三角行列式的计算： nn n n nn a a a a a a a a a 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 = 类似地，上三角行列式和对角行列式的值也成立同样的结论： 例如 1 0 ( 2) 3 0 0 0 0 3 0 0 2 1 0 0 0 2 1 3 0 2 = − = − − − 。 例 6 证明 n 阶（反对角）行列式 D： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 n n d d d d D − = = 2 ( 1) ( 1) − − n n d d dn 1 2
解由定义 D=∑(-)n"nana2n…am2 只有P1=n的项ana2p2…am,才可能不为零,其它都为零。…因此所有n项中只剩 下一项:ann=an=d1·d2…d。由例1,该项的符号是( 例7利用行列式的定义证明 000 证明由定义D=∑(-1nan2a2n…m2 只有P1取1的项ana2n2…am2才可能不为零,这些不为零的项有(m-1)。当P1取定 为1时,P2…,Pn只能在2,…,n中取值。又由于t(1p2…p4)=r(P2…P4),于是 D=∑(-1)a1a2…amn=a1∑(-1)a2n…am 13行列式的基本性质 知识点:行列式的六大性质两个推论(通过例子介绍性质的应用) a1a12 22 转置行列式行列式D的行与列对应互换得到的新行列式,记作D, 若记D中(位置上的元素为b,即成立b2=an。 性质1D=D 证明记D=deb),则b=an由定义
6 解 由定义 n n p p np n p p p D a a a 1 2 1 2 1 2 ! ( ) = (−1) 只有 p1 = n 的项 p p npn a a a 1 1 2 2 才可能不为零，其它都为零。…. 因此所有 n! 项中只剩 下一项： a na n an d d dn = 1 2( −1) 1 1 2 。由例 1，该项的符号是 2 ( 1) ( 1) − − n n 。. 例 7 利用行列式的定义证明 n nn n n n nn n a a a a a a a a a a a a D 1 22 2 11 1 2 21 22 2 11 0 0 0 = = 证明 由定义 n n p p np n p p p D a a a 1 2 1 2 1 2 ! ( ) = (−1) . 只有 1 p 取 1 的项 p p npn a a a 1 1 2 2 才可能不为零，这些不为零的项有 (n −1)! 。当 1 p 取定 为 1 时， p pn , , 2 只能在 2, , n 中取值。又由于 (1 ) ( ) p2 p4 p2 p4 = ，于是 n n p np n p p D a a a 2 2 11 2 ( 1)! (1 ) ( 1) − = − = n n p np n p p a a a 2 2 2 ( 1)! ( ) 11 ( 1) − − = n nn n a a a a a 1 22 2 11 1.3 行列式的基本性质 知识点: 行列式的六大性质两个推论（通过例子介绍性质的应用）； n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n T a a a a a a a a a D 1 2 12 22 2 11 21 1 = 转置行列式 行列式 D 的行与列对应互换得到的新行列式，记作 T D ， 若记 T D 中 (i, j) 位置上的元素为 bij ，即成立 bij = a ji 。 性质 1 T D = D 。 证明 记 det( ) ij T D = b , 则 bij = a ji . 由定义
D=∑(-1)hnbn…bm=∑(-1)Pan1a2…an 交换和式中各项an1a2…an,的因子an的位置,使得 假设这些因子经过m次的位置对换而完成。于是P1P2…Pn经m次对换成标准排列 1·2……n同时12…n也是经m次对换成q1q2…qn。(例如a31a12a23=a12a23a31是经两 次位置对换而成的,故312-2+123;同时123-2231)。由推论12,p1P2…Pn与 q1q2…qn有相同奇偶性。故 ∑(-1) AP2"Pna2 (-1)9“)a q1"a= 性质表明,对行成立的行列式性质,对列也同时成立。 性质2任意对换行列式的两行(或两列)元素,其值变号。 证明设D=det(an)。交换第S行与第t行元素,得到的新行列式为 bu b b D b,i b, 其中b=a1(i≠S,1,V),b=a,b=ay,()。于是 D=∑(-1)四…b列…bn…bm,=∑(-1n 甲P ∑(-1) P1…p3…P…Pn) 由定理1,r(p1…P,…P1…pn)=(P1…p1…p,…Pn)±1,从而 D=∑(-1)n'an…an…an…an,=-D 推论2两行(或两列)元素对应相同的行列式,其值为零
7 p p p n n p p p p p np n T p p p n n n n D b b b a a a 1 2 ! ( ) 1 2 ! ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 =(−1) =(−1) . 交换和式中各项 ap11ap2 2 apnn 的因子 p i i a 的位置，使得 ap11ap2 2 apnn = q q nqn a a a 1 1 2 2 。 假设这些因子经过 m 次的位置对换而完成。于是 p1 p2 pn 经 m 次对换成标准排列 1 2 n 同时 12n 也是经 m 次对换成 n q q q 1 2 。（例如 a31a12a23 = a12a23a31 是经两 次位置对换而成的，故 312 123 ⎯2→ ；同时 123 231 ⎯2→ ）。由推论 1.2, p1 p2 pn 与 n q q q 1 2 有相同奇偶性。故 D a a a a a a D n n n n q q nq n q q q p p p n n T p p p = − = − = 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ! ( ) 1 2 ! ( ) ( 1) ( 1) ■ 性质表明，对行成立的行列式性质，对列也同时成立。 性质 2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。 证 明 设 det( ) D = aij 。 交 换 第 s 行与第 t 行 元 素 ， 得 到 的 新 行 列 式 为 n n nn n n b b b b b b b b b D 1 2 21 22 2 11 12 1 = ， 其中 b a ( i s,t, j ), b a , b a , ( j ) i j = i j sj = t j t j = sj 。于是 s t n s t n s t n s t n p t p s p n p n p p p p p s p t p n p n p p p p D b b b b a a a a 1 1 1 1 1 ! ( ) 1 ! ( ) = (−1) = (−1) t s n s t n p sp tp np n p p p p a a a a 1 1 1 ! ( ) =(−1) 由定理 1， ( p1 ps pt pn ) = ( p1 pt ps pn ) 1 ，从而 D a a a a D t s n t s n p sp t p np n p p p p = − − = − 1 1 1 ! ( ) ( 1) 。 ■ 推论 2 两行（或两列）元素对应相同的行列式，其值为零
性质3a1n2 na=da a an。(给出具体三阶行列式解释) a 证明由定义, 推论3若行列式中某行(或等列)的元素全为零,则行列式的值为零。 性质4行列式中若有两行(或两列)对应元素成比例,其值为零。 例如 6-4-2=0 性质5行列式成立, a,2 ta a ani an2 (强调:只拆一行,其余行不变)例如 301 30130 12-10+11+1-2+101-2 证明由行列式的定义即得结论 利用性质5和性质4,又可得到下列性质。 性质6r+花r来表示这一过程;若是列,则用记号c1+Ac,来表示,行列式的值不变 r+2r, a
8 性质 3 n n nn s s sn n n n nn s s sn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 = 。（给出具体三阶行列式解释） 证明 由定义， 推论 3 若行列式中某行（或等列）的元素全为零，则行列式的值为零。 性质 4 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零。 例如 0 1 2 1 6 4 2 3 2 1 = − − − − 。 性质 5 行列式成立， n n nn s s s s sn sn n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 1 2 2 11 12 1 + + + n n nn s s sn n n n nn s s sn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 = + . （强调：只拆一行，其余行不变）例如 1 1 1 1 5 0 3 0 1 0 1 2 1 5 0 3 0 1 0 1 1 1 2 1 1 5 0 3 0 1 1 2 1 1 5 0 3 0 1 + − − = − + + − + = − − − 证明 由行列式的定义即得结论。 ■ 利用性质 5 和性质 4，又可得到下列性质。 性质 6 t s r + r 来表示这一过程；若是列，则用记号 t s c + c 来表示，行列式的值不变， n n n n t s t s t n s n s s s n n r r n n n n t t t n s s s n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a t s 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 + + + ===== +
01 如 50=22,第二行的元素加上第三行元素的两倍(强调,第三行元素本身并 301 不改变值),则有 3-1-2=3+0+6-(-1)-0-(-12)=22。 例7计算行列式D-004 的值。 0241 2032 解将D化至上三角行列式。这一过程一般是从左到右逐列逐列进行的 5678 例8计算行列式D= 的值。(特征:行之间有公差) 9101112 13141516 1234 34 5678 0 9101112 (2+(-1)F;F+(-1)) 9101112 13141516 4444 b+ b 例9证明D=a2+b2b2+c2c2+a2=2×a2b2c2 a3+b3b3+c3c3+a3 b 证明第一列元素分别加上第二、第三列元素,再提取第一列的公因子2 a1+b1+C1b1+C1c1+a1 D=2×a2+b+c2b2+c2c2+a2|(2+(-1)c;c3+(-1)c1 +b2+C b +a3 a,+6,+C b 2×|a2+b2+c2-a2-b(c+c2;C+c3)2×e2-a2-b|=2×a2b2c2 +b3 b, c
9 如 22 1 2 1 1 5 0 3 0 1 = − − ，第二行的元素加上第三行元素的两倍（强调，第三行元素本身并 不改变值），则有 3 0 6 ( 1) 0 ( 12) 22 1 2 1 3 1 2 3 0 1 = + + − − − − − = − − − 。 例 7 计算行列式 2 0 3 2 0 2 4 1 0 0 4 1 2 1 1 1 − − − − D = 的值。 解 将 D 化至上三角行列式。这一过程一般是从左到右逐列逐列进行的。 例 8 计算行列式 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 D = 的值。 （特征：行之间有公差） 解 0 4 4 4 4 9 10 11 12 4 4 4 4 1 2 3 4 ( ( 1) ; ( 1) ) 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 r2 + − r1 r4 + − r3 = 。 例 9 证明 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b c c a a b b c c a D + + + + + + + + + = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 a b c a b c a b c = 证明 第一列元素分别加上第二、第三列元素，再提取第一列的公因子 2 2 ( ( 1) ; ( 1) ) 2 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 c c c c a b c b c c a a b c b c c a a b c b c c a D + − + − + + + + + + + + + + + + = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ( ; ) 2 c a b c a b c a b c c c c a b c a b a b c a b a b c a b − − − − − − + + + + − − + + − − + + − − 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 a b c a b c a b c =
x aa 例10计算行列式aax a的值。(特征:行和相等) aaa 解第一列的元素分别加上第二列、…、第η列元素(的1倍),再抽去第一列的公因子 aa D=[x+(n-1)a]1ax 1 aa 上三角化即可D=[x+(n-1)ax-a)y-1 0 0 0 例11证明 b b 例如, =5×2=10 1-101 证明记上式左端行列式为C,右端行列式分别记为A= det(a)和B=det(b 将行列式A化至下三角行列式 Pll A=(-1)° P 同样,将行列式B化至下三角行列式: 0 B=(-1) =(-)q1…q qmm 现对C的前k行元素作与化A为下三角的同样运算(不影响后m行的元素),再对后m行
10 例 10 计算行列式 a a a x a a x a a x a a x a a a 的值。 （特征：行和相等） 解 第一列的元素分别加上第二列、…、第 n 列元素（的 1 倍），再抽去第一列的公因子 a a x a x a x a a a a a D x n a 1 1 1 1 = [ + ( −1) ] 。 上三角化即可 1 [ ( 1) ]( ) − = + − − n D x n a x a 例 11 证明 m mm m k kk k m mk m mm k m k kk k b b b b a a a a c c b b c c b b a a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 = 例如， 5 2 10 0 1 2 1 1 1 3 2 1 1 0 1 1 2 2 1 1 1 0 0 3 2 0 0 = = − − = − − − ； 证明 记上式左端行列式为 C ，右端行列式分别记为 det( ) A = aij 和 det( ) B = bij 。 将行列式 A 化至下三角行列式： kk s k kk s p p p p p A 11 1 11 ( 1) 0 = (−1) = − ； 同样，将行列式 B 化至下三角行列式： mm t m mm t q q q q q B 11 1 11 ( 1) 0 = (−1) = − 。 现对 C 的前 k 行元素作与化 A 为下三角的同样运算（不影响后 m 行的元素），再对后 m 行