第三章n维向量 要求 1)理解向量的概念,理解向量的线性组合、线性表示的概念 2)理解向量组线性相关与线性无关的概念,了解线性相关性的一些重要结论 3)理解向量组的极大线性无关组和秩的概念:理解矩阵秩的概念。 4)了解向量组等价的概念,了解向量组的秩和矩阵秩的关系以及有关秩的一些性质 5)掌握用初等变换求向量组的极大线性相关组、秩和矩阵秩的方法。 6)了解向量空间等的概念。 3.1n维向量 知识点:向量的概念及其基本运算 定义1(向量)由n个(实)数a1,a2…,an组成的有序数组,称作n维(实)向量(用 希腊字母a,B,…来表示),记作 其中第i个数a1称为向量a的(第i个)分量。或记作a={a1}n或a={a1}, 用R表示n维实向量的全体;用C"表示n维复向量的全体 n维行向量。n维列向量。(在讨论向量概念和性质时,行向量和列向量是完全一样的)。 n维行向量即为1×n的矩阵,n维列向量是n×1矩阵。本课程采用列向量a形式 利用转置,a表示一个行向量,也有a (联系三维空间中的有向线段或点的坐标,直观理解向量的概念)
43 第三章 n 维向量 要求： 1） 理解向量的概念，理解向量的线性组合、线性表示的概念； 2）理解向量组线性相关与线性无关的概念，了解线性相关性的一些重要结论； 3）理解向量组的极大线性无关组和秩的概念；理解矩阵秩的概念。 4）了解向量组等价的概念，了解向量组的秩和矩阵秩的关系以及有关秩的一些性质。 5）掌握用初等变换求向量组的极大线性相关组、秩和矩阵秩的方法。 6) 了解向量空间等的概念。 3.1 n 维向量 知识点：向量的概念及其基本运算 定义 1 （向量） 由 n 个（实）数 a a an , , 1 2, 组成的有序数组，称作 n 维（实）向量（用 希腊字母 , , 来表示），记作 ( , , , ) = a1 a2 an ， 其中第 i 个数 i a 称为向量 的（第 i 个）分量。或记作 ai n = { } 或 { } = ai , 用 n R 表示 n 维实向量的全体；用 n C 表示 n 维复向量的全体。 n 维行向量。n 维列向量。（在讨论向量概念和性质时，行向量和列向量是完全一样的）。 = n a a a 2 1 ， n 维行向量即为 1 n 的矩阵，n 维列向量是 n1 矩阵。本课程采用列向量 形式 利用转置， T 表示一个行向量，也有 ( ) T n n a a a a a a 1 2 2 1 = = 。 （ 联系三维空间中的有向线段或点的坐标，直观理解向量的概念）
向量是矩阵的特殊形式,因此向量也有下列概念和性质。 定义2 ={a;}n,β={b}n是二个n维向量 1)向量相等若a1=b,i=1,…,n,称向量a和向量尸相等 2)零向量所有分量都为零的向量。一般记作;或bn注意,B2≠ 3)负向量称向量-a={-a1}为向量a的负向量。 4)向量加法称向量y=a+B={(1+b}n为向量a和向量B的和, 向量减法向量a和向量B的减法)定义为a和(-B)的加法:y=a-B=a+(-B) 5)数乘向量设k是一个数。称向量ka=ak={ka}n为向量a和数k的数乘向量 把矩阵的加法、数乘等运算法则移到向量上,同样成立: a +a (2)(a+B)+y=a+(B+y) (3)a+b=a a-a=e (4) k(a+B)=ka+kB: (k+/a=ka +la (5) (kD)a=k(la) 6 a;(-1)a (7)若ka=,则或k=0或a=。 (8)设Ⅰ是n阶单位矩阵,则Ia=a。 例1设a1=(2-1),a2=(2-31)y,a3=(41-1),计算2a1+a2并判 别a3与a1,a2的关系 解1+a2=(41-1y。且a3=2a1+a2.或等价地2a1+a2+(-1)a=0
44 向量是矩阵的特殊形式，因此向量也有下列概念和性质。 定义 2 设 ai n = { } ， bi n = { } 是二个 n 维向量。 1）向量相等 若 ai = bi , i =1, , n， 称向量 和向量 相等。 2）零向量 所有分量都为零的向量。一般记作 ；或 n . 注意， 2 3 . 3）负向量 称向量 ai n − ={− } 为向量 的负向量。 4）向量加法 称向量 ai bi n = + = { + } 为向量 和向量 的和， 向量减法 向量 和向量 的减法）定义为 和 (− ) 的加法： = − = + (−) 。 5）数乘向量 设 k 是一个数。称向量 i n k =k = {ka } 为向量 和数 k 的数乘向量。 把矩阵的加法、数乘等运算法则移到向量上，同样成立： （1） + = + . （2） ( + ) + = + ( + ). （3） + = ； − = . （4） k( + ) = k + k ； (k + l) = k + l . （5） (kl) = k(l). （6） 1 = ； (−1) = − ； 0 = ； k = . （7） 若 k = , 则或 k = 0 或 = 。 （8） 设 I 是 n 阶单位矩阵，则 I = 。 例 1 设 (1 2 1) , (2 3 1) , (4 1 1) , 1 2 3 T T T = − = − = − 计算 21 +2 ；并判 别 3 与 1 2 , 的关系。 解 ( ) T 21 +2 = 4 1 −1 。且 3 = 21 + 2 . 或等价地 21 +2 + (−1)3 =
解释n维向量的乘法问题(以上例说明): aB--无意义; aB--个数(即1×1的矩阵) aB-nxn的矩阵。 3.2向量组的线性相关性 知识点:线性组合,线性表示,向量组的等价,线性相关与线性无关 定义3(线性组合与线性表示)设有向量组():a1a2…,an (1)称向量 la1+l2a2+…+lnan 是向量组(D)的一个线性组合,其中l,l2,…,l是一组数。 (2)若向量B是向量组()的一个线性组合:即存在一组数l,l2,…,ln,使得 B=la,+l,a 则称向量B可以由向量组()线性表示。 如例1中,成立a3=2a1+a2 例2证明任意一个n维向量都可以由向量组I 0 线性表示。向量组I:s,E2,…En称作n维坐标向量组。(联系三维空间的坐标向量) 定义4(向量组等价)若向量组(D):a1,a2,…am中的每一个向量a均可由向量组(I 1,B2…B线性表示,则称组()可由组(Ⅱ)线性表示。若组(D)与组(ID)可相互线 性表示,则称组(I)与(II)等价
45 解释 n 维向量的乘法问题（以上例说明）： ------ 无意义； T ---- 一个数（即 11 的矩阵） T ---- nn 的矩阵。 3.2 向量组的线性相关性 知识点：线性组合，线性表示，向量组的等价，线性相关与线性无关 定义 3（线性组合与线性表示） 设有向量组（I）： m , , , 1 2 . （1） 称向量 m m l 11 + l 22 ++ l 是向量组（I）的一个线性组合，其中 m l , l , , l 1 2 是一组数。 （2）若向量 是向量组（I）的一个线性组合：即存在一组数 m l , l , , l 1 2 ，使得 m m = l 11 + l 2 2 ++ l 则称向量 可以由向量组（I）线性表示。 如例 1 中，成立 3 = 21 + 2 例 2 证明任意一个 n 维向量都可以由向量组 I: = 0 0 1 1 , = 0 1 0 2 , = 1 0 0 , n 线性表示。向量组 I： 1 ， 2 ， n , 称作 n 维坐标向量组。（联系三维空间的坐标向量） 定义 4 （向量组等价） 若向量组（I）： m , , , 1 2 中的每一个向量 i 均可由向量组（II） t , , , 1 2 线性表示，则称组（I）可由组（II）线性表示。若组（I）与组（II）可相互线 性表示，则称组（I）与（II）等价
等价具有以下性质: 1)自身性:向量组与其本身等价 2)对称性:组(Ⅰ)与(I〕)等价,组(I)也与组(I)等价 3)传递性:若向量组(I)与(I)等价,(Ⅱ)与(Ⅲ)等价,则(1)与(I)等价。 例3证明向量组(1):a(2人2=,与坐标向量组I等价。 解由例2,向量组(I)可以由坐标向量组I线性表示。反之,也有 0)-02( =(-1)ax1+2a (-),|=a1+(-1)a 例4设向量组a1=(2-1),a2=(230),a3=(-103) a4=(-2-24),判别a4是否可由a12a2a3线性表示:若可以,求其表示式 解设a4=l1a1+l2a2+l2 解之得l1=-1,l2=0,l3=1,即a4=-a1+a3 定义5(线性相关)对于向量组(I)a2a2…,a,若存在不全为零的数k,k2,…,k,,使得 ka1+k2a2+…+k,a=6 则称向量组(I)线性相关;否则称向量组(I)性无关 否则的等价说法:使得a1,a2…,a线性组合为零的组合系数k1,k2,…,k,必须全为零 如例1中的向量组a1,a2,a3,成立:2a1+a2+(-1)a3=日,线性相关。 注意,(1)线性相关性与向量在向量组的排序无关,ax1,a2,a3与a2,a3,a1具有相同 的线性相关性。(2)解释n=3,三个向量线性相关的几何意义,是这三个向量共面 例5判断向量组a1=(2-1),a2=(230),a3=(-103)的线性相关性
46 等价具有以下性质： 1） 自身性：向量组与其本身等价； 2） 对称性：组（I）与（II）等价，组（II）也与组（I）等价； 3） 传递性：若向量组（I）与（II）等价，（II）与（III）等价，则（I）与（III）等价。 例 3 证明向量组（I）： = = 1 1 , 2 1 1 2 与坐标向量组 I 等价。 解 由例 2，向量组（I）可以由坐标向量组 I 线性表示。反之, 也有 ( 1) 2 , 1 1 2 2 1 ( 1) 0 1 1 1 2 = − + + = − = ( 1) , 1 1 ( 1) 2 1 1 0 2 1 2 = + − + − = = 例 4 设向量组 ( ) T 1 = 1 2 −1 ， ( ) T 2 = 2 3 0 ， ( ) T 3 = −1 0 3 ， ( ) T 4 = − 2 − 2 4 , 判别 4 是否可由 1 2 3 , , 线性表示；若可以，求其表示式。 解 设 4 11 2 2 33 = l + l + l ， 解之得 l 1 = −1,l 2 = 0,l 3 =1 ，即 4 = −1 + 3。 定义 5 (线性相关) 对于向量组（I） s , , , 1 2 ，若存在不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使得 k11 + k22 ++ kss = ， 则称向量组（I）线性相关；否则称向量组（I）性无关。 否则的等价说法：使得 s , , , 1 2 线性组合为零的组合系数 s k , k , , k 1 2 必须全为零。 如例 1 中的向量组 1 2 3 , , , 成立： 21 + 2 + (−1) 3 = ,，线性相关。 注意，（1）线性相关性与向量在向量组的排序无关， 1 2 3 , , 与 2 3 1 , , 具有相同 的线性相关性。（2） 解释 n = 3 ，三个向量线性相关的几何意义，是这三个向量共面。 例 5 判断向量组 ( ) T 1 = 1 2 −1 ， ( ) T 2 = 2 3 0 ， ( ) T 3 = −1 0 3 的线性相关性
解令ka1+k2a2+k1a3=0,解之:k1=k2=k3=0,线性无关 三维空间中的三个坐标向量7,j,k线性无关。事实上有, 例6证明坐标向量组I:E1,E2…,En线性无关。 定理1向量组(1):a1,a2…a,(S≥2)线性相关的充分必要条件是向量组(D)中至少 有一个向量可由其余S-1个向量线性表示 如例1的向量组a1,a2,a3, 该定理的一个等价说法是:向量组(I)线性无关的充分必要条件是向量组(I)中任何一个 向量都不能用(I)中其余向量线性表示。如在三维空间中,三个不共面的向量(线性无关) 中的任何一个向量都不能用其余二个向量线性表示, 例7含有零向量的向量组一定线性相关。 单个向量构成的向量组(D):a,约定:若a=b,则线性相关;若a≠b,线性无关。 例8设向量组a1a2,a3线性无关。证明向量组 B B2 B3 线性无关。 证明令kB1+k2B2+k3B3=日,由a1,a2,C3的线性无关性,解之k=k2=k3=0 向量组B13B2B3线性无关。 定理2设向量组():a1a2,…,a,线性无关,而向量组(I):a1,a2,…ax2B线性相关 则向量B可由向量组(I)线性表示;且表示式唯一
47 解 令 k11 + k22 + k33 = ，解之： k1 = k 2 = k 3 = 0 ，线性无关。 三维空间中的三个坐标向量 i ， j ， k 线性无关。事实上有， 例 6 证明坐标向量组 n I : , , , 1 2 线性无关。 定理 1 向量组（I）： s , , , 1 2 (s 2) 线性相关的充分必要条件是向量组（I）中至少 有一个向量可由其余 s −1 个向量线性表示。 如例 1 的向量组 1 2 3 , , ， 该定理的一个等价说法是：向量组（I）线性无关的充分必要条件是向量组（I）中任何一个 向量都不能用（I）中其余向量线性表示。如在三维空间中，三个不共面的向量（线性无关） 中的任何一个向量都不能用其余二个向量线性表示， 例 7 含有零向量的向量组一定线性相关。 单个向量构成的向量组（I）： ，约定：若 = ，则线性相关；若 ，线性无关。 例 8 设向量组 1 2 3 , , 线性无关。证明向量组 1 1 2 2 2 3 3 3 1 = + , = + , = + 线性无关。 证明 令 k11 + k22 + k33 = ， 由 1 2 3 , , 的线性无关性，解之 k1 = k2 = k3 = 0 , 向量组 1 2 3 , , 线性无关。 定理 2 设向量组（I）： s , , , 1 2 线性无关，而向量组（II）： 1 ,2 , ,s , 线性相关。 则向量 可由向量组（I）线性表示；且表示式唯一
证明存在不全为零的数k,k2,…k,k1,使得 k,a+k,a ka,+k,+B=6 证k1≠0。否则若k=0,与条件a12a2,…,C,线性无关矛盾。如此有 再证表示式唯一。设有两个表示式 B=P2a1+P2a2+…+P,a,B=qa1+q2a2+…+q,a 由a1,a2,…a,线性无关,可得p1=q1,p2=q2,…,p,=q, 下面可以看到用矩阵初等变换来判别向量组的线性相关性及向量的表示显得更方便 定理3若向量组(I)a,a2…,a,中有部分向量线性相关,则(I)一定线性相关。 该定理等价说法:若向量组a1,a2,…a线性无关,则其任何一部分向量都线性无关。如在 三维空间中,三个坐标向量线性无关(非共面),则其中任何二个向量也线性无关(非共线)。 向量组的线性相关性也可以用齐次线性方程组是否有非零解来判别 判别n维向量组(1)a1,a2…a是否线性相关,即看线性组合 x1C1+xC2+…+x 的系数x1x2,…x,是否全为零。事实上,上式是一个关于未知数x1,x2…x,的齐次线性 方程组。记
48 证明 存在不全为零的数 1 2 1 , , , , s s+ k k k k ，使得 k11 + k22 ++ kss + ks+1 = ， 证 ks+1 0 。否则若 ks+1 = 0 ，与条件 s , , , 1 2 线性无关矛盾。如此有 s s s s s k k k k k k ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 + + + = − + − ++ − 再证表示式唯一。设有两个表示式： = p11 + p2 2 ++ ps s ， = q11 + q2 2 ++ qs s ， 由 s , , , 1 2 线性无关，可得 p = q p = q ps = qs , , , 1 1 2 2 ， ■ 下面可以看到用矩阵初等变换来判别向量组的线性相关性及向量的表示显得更方便。 定理 3 若向量组（I） s , , , 1 2 中有部分向量线性相关，则（I）一定线性相关。 该定理等价说法：若向量组 s , , , 1 2 线性无关，则其任何一部分向量都线性无关。如在 三维空间中，三个坐标向量线性无关（非共面），则其中任何二个向量也线性无关（非共线）。 向量组的线性相关性也可以用齐次线性方程组是否有非零解来判别。 判别 n 维向量组（I） s , , , 1 2 是否线性相关，即看线性组合 x11 + x22 ++ xss = 的系数 s x , x , , x 1 2 是否全为零。事实上，上式是一个关于未知数 s x , x , , x 1 2 的齐次线性 方程组。记 j s a a a nj j j j , 1, , 2 1 = =
则上式等价于 a1x1+a12 a21x1+a2 0 an,x,+a,x,+…+ax.=0 方程组称为n×s的齐次线性方程组。其矩阵形式Ax=θ,其中系数矩阵 A ni a 强调,矩阵A(或齐次线性方程组)与向量组a1a2a,的对应关系是 A=(ax1a2…a,)。有了这种对应,判别一个向量组是否线性相关可通过判别齐次线 性方程组是否有非零解得到:这便是下列的定理 定理4n维向量组a12a2,…,a,线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解 下面是方程组有非零解的一个充分条件。 定理3.5若n<S,则齐次线性方程组必有非零解 证明在方程组最后添加n-s个方程,得等价的方程组 a21x1+a2x2 xx2=0 anx1+an2x2+…+anx2=0 0 0·x,+…+0·x。=0 0 显然这一方程组的系数行列式等于零。由定理1.6,方程组有非零解 例9判别向量组的线性相关性
49 则上式等价于 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n ns s s s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x , （1） 方程组称为 n s 的齐次线性方程组。其矩阵形式 A x = ， 其中 系数矩阵 = n n ns s s a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 ，x = s x x x 2 1 ， 强调，矩阵 A （或齐次线性方程组）与向量组 s , , , 1 2 的对应关系是 ( ) A = 1 2 s 。有了这种对应，判别一个向量组是否线性相关可通过判别齐次线 性方程组是否有非零解得到：这便是下列的定理。 定理 4 n 维向量组 s , , , 1 2 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解。 下面是方程组有非零解的一个充分条件。 定理 3.5 若 n s ，则齐次线性方程组必有非零解。 证明 在方程组最后添加 n − s 个方程，得等价的方程组 + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s n n ns s s s s s x x x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x , 显然这一方程组的系数行列式等于零。由定理 1.6，方程组有非零解。 ■ 例 9 判别向量组的线性相关性
2x1+x,-2x3=0 解对应的方程组: +5x2=0 有一组非零解{x2=4。线性相关。 方程组的非零解有无穷多组:对任何x3(称之为方程组的自由变量,也可以选x1或x 作为自由变量。在第五章中我们会看到,方程组的自由变量个数是一定数)的一个值,都可 以得到方程组的一组非零解。 把定理应用到线性相关性上去,便是下列的推论 推论5设n维向量组(D):a12a2,…a,若n<s,则向量组(I)线性相关 推论说得是:向量组中的向量个数超过向量维数时,该向量组一定线性相关。见上例 下面考察向量组在添加(或减少)一个分量后组成的向量组之间的线性相关性。设n维 向量组(1):a1a2…a,其分量形式见前述。现在每个向量a1上添加一个分量,构成n+1 维的向量组(I)a1,a2…a 月+1)j 向量组(Ⅲ)a2a2…,a,的线性相关性取决于(n+1)×S齐次线性方程组是否有非零解, a1x1+a12x2+…+a1x3=0 (2) anx,+an,x2+.+ansx,=0 7(n+x1+a(n+n2x2+…+a(mnx2=0 如此向量组(I)与向量组(I1)的线性相关性可以通过对应方程组的解之间的关系来判别
50 − = − = = 5 2 , 1 1 , 1 2 1 2 3 解 对应的方程组： − + = + − = 5 0 2 2 0 1 2 3 1 2 3 x x x x x x 有一组非零解 = = = − 1 4 1 3 2 1 x x x 。 线性相关。 方程组的非零解有无穷多组；对任何 3 x （称之为方程组的自由变量，也可以选 1 x 或 2 x 作为自由变量。在第五章中我们会看到，方程组的自由变量个数是一定数）的一个值，都可 以得到方程组的一组非零解。 把定理应用到线性相关性上去，便是下列的推论。 推论 5 设 n 维向量组（I）： s , , , 1 2 ， 若 n s ，则向量组（I）线性相关。 推论说得是：向量组中的向量个数超过向量维数时，该向量组一定线性相关。见上例。 下面考察向量组在添加（或减少）一个分量后组成的向量组之间的线性相关性。设 n 维 向量组（I）： s , , , 1 2 ，其分量形式见前述。现在每个向量 j 上添加一个分量，构成 n +1 维的向量组（II） s , , , 1 2 ， j s a a a n j nj j j , 1, , ( 1) 1 = = + 。 向量组（II） s , , , 1 2 的线性相关性取决于 (n +1) s 齐次线性方程组是否有非零解， + + + = + + + = + + + = + + + 0 0 0 ( 1)1 1 ( 1)2 2 ( 1) 1 1 2 2 11 1 12 2 1 n n n s s n n ns s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x . （2） 如此向量组（I）与向量组（II）的线性相关性可以通过对应方程组的解之间的关系来判别
显然:如果方程组(1)只有零解,那么方程组(2)不可能有非零解,即只有零解:反之, 若方程组(2)有非零解,则此非零解也是方程组(1)的非零解。上述讨论表明,若原向量 组线性无关,则添加一个分量后构成的向量组也线性无关;若原向量组线性相关,则减少 个分量后构成的向量组也线性相关。上述结论对于添加(或减少)1个分量也成立。于是有 定理6若n维向量组a1,a2,…a线性无关,则在这些向量各添加/个分量所得到的新向 量组也线性无关;若向量组a1a2…,a,线性相关,则在这些向量各减少个分量所得到的 新向量组也线性相关。■ 例如,R中的单位向量组c12E2b3,在每一个向量中任意添加一个分量,构成向量组: 0 则向量组a1,a2a3仍然现行无关。 用矩阵形式也可以描述向量间的线性表示,由此可以方便地来证明一些性质。先考虑 个向量B可由向量组(D):a1,a2,…,a,线性表示: B=la1+la2+…+la,=(x1 Al 其中n×s矩阵A=(a1,α2,…a,),即a1,a2,…,a,是矩阵A的列向量组, l=(1,l2…,1)则是向量。同样,向量组B:月,B2…,月由向量组(1):a1,a2…;a,的 线性表示。设 B1=l1a1+l2a2+…l2a B2=l12a1+l2 B1=l1a1+l2 引进S×t矩阵
51 显然：如果方程组（1）只有零解，那么方程组（2）不可能有非零解，即只有零解；反之， 若方程组（2）有非零解，则此非零解也是方程组（1）的非零解。上述讨论表明，若原向量 组线性无关，则添加一个分量后构成的向量组也线性无关；若原向量组线性相关，则减少一 个分量后构成的向量组也线性相关。上述结论对于添加（或减少） l 个分量也成立。于是有 定理 6 若 n 维向量组 s , , , 1 2 线性无关，则在这些向量各添加 l 个分量所得到的新向 量组也线性无关；若向量组 s , , , 1 2 线性相关，则在这些向量各减少 l 个分量所得到的 新向量组也线性相关。■ 例如， 3 R 中的单位向量组 1 2 3 , , ，在每一个向量中任意添加一个分量，构成向量组： = = = a b c 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 1 2 3 ， 则向量组 1 2 3 , , 仍然现行无关。 用矩阵形式也可以描述向量间的线性表示，由此可以方便地来证明一些性质。先考虑一 个向量 可由向量组（I）： s , , , 1 2 线性表示： ( ) = + + + = s s s s l l l l l l 2 1 11 22 1 2 . = A l 其 中 n s 矩 阵 ( , , , ) A = 1 2 s ， 即 s , , , 1 2 是矩阵 A 的 列 向 量 组 ， l T s (l ,l , ,l ) = 1 2 则是向量。 同样，向量组 B t : , , , 1 2 由向量组（I）： s , , , 1 2 的 线性表示。设 = + + + = + + + = + + t t t st s s s s s l l l l l l l l l 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 , 引进 s t 矩阵
l21l2 L 12…1 则上式可以写成 (B1,B2,…,B)=(a1,a2…a,)L, B=AL 特别当t=1时,即一个向量由一组向量线性表示, 这就是说,若向量组B,B2,…,B1可由向量组∝1,a2,…,a,线性表示,则存在s×t矩阵 L,使得上式成立;反之,若上式成立,则B1,B2,…月一定可由a1,ax2…,a,线性表示 例10判别向量组a1=(10),a2=(-10)和向量组 E1=(00),2=(010)的等价性 (a1a2)=(1c2 2 12 由于矩阵 非奇,成立(1E2)=(ax1a2) 所以两向量组等价 定理7若向量组():B,B2…,B可由向量组(D):a,a2…a,线性表示,且s<t, 则向量组(I)线性相关 证明存在s×t矩阵L,成立B=AL。考虑齐次线性方程组Lx=b.由于s<t,方程 有非零解x。故成立 Bx=ALx=A0=6 由于Bx=有非零解,故向量组(m1):B,B2…B线性相关。 推论7若向量组(I):B,B2,…,B1可由向量组(D):a1,a2,…a,线性表示,且向量组 (I1)线性无关,则t≤s
52 = s s st t t l l l l l l l l l L 1 2 21 22 2 11 12 1 ， 则上式可以写成 (1 ,2 , ,t ) = ( 1 ,2 , ,s )L ， 即 B = AL , 特别当 t =1 时，即一个向量由一组向量线性表示， 这就是说，若向量组 t , , , 1 2 可由向量组 s , , , 1 2 线性表示，则存在 s t 矩阵 L，使得上式成立；反之，若上式成立，则 t , , , 1 2 一定可由 s , , , 1 2 线性表示。 例 10 判别向量组 ( ) ( ) T T 1 = 1 1 0 ,2 = 1 −1 0 和向量组 ( ) ( ) T T 1 = 1 0 0 , 2 = 0 1 0 的等价性。 解 ( ) ( ) − = 1 1 1 2 1 2 1 2 。 由于矩阵 1 −1 1 2 非奇，成立 ( ) ( ) − = 1 1 1 2 3 1 1 2 1 2 ， 所以两向量组等价 定理 7 若向量组（II）： t , , , 1 2 可由向量组（I）： s , , , 1 2 线性表示，且 s t ， 则向量组（II）线性相关。 证明 存在 s t 矩阵 L，成立 B = AL 。考虑齐次线性方程组 L x = . 由于 s t ，方程 有非零解 x 。故成立 B x = AL x = A = 。 由于 B x = 有非零解，故向量组（II）： t , , , 1 2 线性相关。 ■ 推论 7 若向量组（II）： t , , , 1 2 可由向量组（I）： s , , , 1 2 线性表示，且向量组 （II）线性无关，则 t s