第二章矩阵 要求 1)理解矩阵的概念。掌握一些特殊矩阵及其性质,如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角 矩阵、对称矩阵等 2)掌握矩阵的基本运算及其运算规则,如线性运算、乘法运算、矩阵行列式运算等: 3)理解逆矩阵概念,掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件,了解伴随矩阵概念 4)掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,掌握用初等变换求逆 矩阵的方法 5)掌握矩阵的分块运算 21矩阵 知识点:矩阵的定义,一些特殊矩阵 定义1(矩阵)由m×n个实数an排成的一个m行n列的矩形数表 称之为m×n矩阵,位置(i,J)上的元素,一般用an表示(强调两个足标的意义) 矩阵可简记为 或A={an}或A={an}mn 例1含有n个未知数x1,x2,…,xn、m个方程的线性方程组 ax,+a,,+.+ax,=b a2x+a2x2+…+a2nxn=b2 把an和b按原顺序可以组成一个m×(m+1)矩阵 amI am2 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述:反之,一个矩阵也完全刻划了一个方程组
19 第二章 矩阵 要求： 1） 理解矩阵的概念。掌握一些特殊矩阵及其性质，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角 矩阵、对称矩阵等； 2）掌握矩阵的基本运算及其运算规则，如线性运算、乘法运算、矩阵行列式运算等； 3）理解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件，了解伴随矩阵概念； 4）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆 矩阵的方法。 5）掌握矩阵的分块运算。 2.1 矩阵 知识点：矩阵的定义，一些特殊矩阵 定义 1（矩阵） 由 m n 个实数 ij a 排成的一个 m 行 n 列的矩形数表 m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 ， 称之为 m n 矩阵，位置（ i , j ）上的元素，一般用 ij a 表示（强调两个足标的意义）。 矩阵可简记为 Amn 或 { } A = aij 或 A = aij mn { } . 例 1 含有 n 个未知数 n x , x , , x 1 2 、m 个方程的线性方程组 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 把 ij a 和 i b 按原顺序可以组成一个 m (n +1) 矩阵： m m mn m n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 。 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组
2-123 如已知某方程组对应于下列矩阵12-30。写出该方程组, 方矩阵若m=n,称A为n阶(方)矩阵,也可记作An(强调矩阵的(主)对角线,) 而a1,a2,…,an称之为对角元素;(反主对角线)。 当m=n=1时,即A=(a1),此时矩阵退化为一个数a1 同型矩阵具有相同行数和相同列数的矩阵,称之为同型矩阵。 矩阵相等若同型矩阵A={an}bmm和B={b}mxn在对应位置上的元素都相等,即 J 零矩阵所有元素都为零的矩阵,称之为零矩阵。一般记作O;或Omn 注意,不同型的零矩阵是不相等的 三角矩阵设A={an}是n阶矩阵 1)若A的元素满足an=0,Vi>j,称A是上三角矩阵; 2)若A的元素满足 a.=0,Vi< 称A是下三角矩阵; au a1 0 和A=21a2 0 A 对角矩阵若元素满足an=0,Vi≠j:其形状是 0 A 00 记作A=diag{a1,a2,…,am}=dig{an} 数量矩阵:对角元素为常数的对角矩阵,记作K,即K=dag(k)
19 如 已知某方程组对应于下列矩阵 − − 1 3 1 1 1 2 3 0 2 1 2 3 。写出该方程组， 方矩阵 若 m = n ，称 A 为 n 阶（方）矩阵，也可记作 An . （强调矩阵的（主）对角线，） 而 a a ann , , , 11 22 称之为对角元素；（反主对角线）。 当 m = n =1 时，即 ( ) A = a11 ， 此时矩阵退化为一个数 11 a . 同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。 矩阵相等 若同型矩阵 A = aij mn { } 和 B = bij mn { } 在对应位置上的元素都相等，即 a b , i 1, , m; j 1, , n, ij = ij = = 零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作 O；或 Omn . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。 三角矩阵 设 { } A = aij 是 n 阶矩阵。 1）若 A 的元素满足 a i j ij = 0, ，称 A 是上三角矩阵； 2）若 A 的元素满足 a i j ij = 0, 称 A 是下三角矩阵； = nn n n a a a a a a A 0 0 0 22 2 11 12 1 和 = an an ann a a a A 1 2 21 22 11 0 0 0 。 对角矩阵 若元素满足 a i j ij = 0, ；其形状是 = ann a a A 0 0 0 0 0 0 22 11 ， 记作 { , , } { } A = diag a11 a22, ann = diag aii . 数量矩阵：对角元素为常数的对角矩阵，记作 K， 即 K = diag (k)
单位矩阵对角元素为1的对角矩阵,记作Ⅰ或Ⅰ(n阶),即 零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用 22矩阵的基本运算 知识点:矩阵的加(减)法、数乘、乘法、转置和矩阵的行列式:伴随矩阵 加(减)法 定义2(矩阵加法)设A={an}和B={b}是m×n的矩阵,A与B的加法(或称 和),记作A+B,定义为一个m×n的矩阵 a+b a2+b C=ic,)=A+B=421+b21 a,, + amI+bm am,+bm2 +b 例2设 B 02 计算A+B:若已知C=A+B,求出a,b,C,d 负矩阵设A={an}nx,称矩阵-A={-an}为矩阵A的负矩阵。 a,1-b b 矩阵的减法:A-B=A+(-B)= D21 a2n- l m2 72
19 单位矩阵 对角元素为 1 的对角矩阵，记作 I 或 n I （ n 阶），即 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 I 。 零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于 0 和 1 在数的运算中所起的作用。 2.2 矩阵的基本运算 知识点：矩阵的加（减）法、数乘、乘法、转置和矩阵的行列式；伴随矩阵。 一、 加（减）法 定义 2 （矩阵加法）设 { } A = aij 和 { } B = bij 是 m n 的矩阵，A 与 B 的加法（或称 和），记作 A+B，定义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A + B + + + + + + + + + = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 . 例 2 设 − = 0 2 5 1 A , − = 0 4 2 1 B , = b d a c C ， 计算 A + B ；若已知 C = A+ B， 求出 a,b,c,d . 负矩阵 设 A = aij mn { } ，称矩阵 { } − A = −aij 为矩阵 A 的负矩阵。 矩阵的减法: A − B = A + (−B) − − − − − − − − − = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1
由定义,容易验证矩阵的加法满足下列运算法则(其中A,B,C,O为同型矩阵)。 (1)交换律A+B=B+A (2)结合律(A+B)+C=A+(B+C (3) A+0=A (4) A-A=0 二、数乘 定义3(矩阵数乘)数λ与矩阵A={an}mxn的乘积(称之为数乘),记作AA或A,定 义为一个m×n的矩阵 C=ic,)=hA=A2- 2a, ha22 由定义,数乘运算满足下列运算法则(设A,B,O是同型矩阵,A,是数) (1)数对矩阵的分配律A(A+B)=AA+AB (2)矩阵对数的分配律(+4)A=AA+A (3)结合律 (4)A=A(A) (4) 0·A=O 例3 75-4 3-21 且A+2X=B,求矩阵X
19 由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中 A, B, C, O 为同型矩阵）。 （1） 交换律 A + B = B + A （2） 结合律 (A + B) + C = A + (B + C) （3） A+ O = A （4） A− A=O 二、 数乘 定义 3 （矩阵数乘） 数 与矩阵 A = aij mn { } 的乘积（称之为数乘），记作 A 或 A ，定 义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A = A = m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 。 由定义，数乘运算满足下列运算法则（设 A, B, O 是同型矩阵， , 是数）： （1） 数对矩阵的分配律 (A + B) = A + B （2） 矩阵对数的分配律 ( + )A = A + A （3） 结合律 ()A = (A) （4） 0 A=O 例 3 设 − − = 5 4 3 1 5 7 3 1 2 A ， − − = 3 2 1 5 1 9 7 5 4 B 且 A+ 2X = B, 求矩阵 X
乘法 定义4(矩阵乘法)设A={an}是一个mx矩阵,B={b}是一个S×n矩阵,A与B 的乘法,记作AB,定义为一个m×n的矩阵C=AB={cn},其中 6u+a2b2 由定义,不难看出(强调): (1)只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时,才能定义乘法AB (2)矩阵C=AB的行数是A的行数,列数则是B的列数; (3)矩阵C=AB在(i,j)位置上的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素 的乘积之和 410 例4设矩阵 2102 201 134 求AB和BA 例5任何一个矩阵A与单位矩阵I的乘积仍然等于该矩阵A(假如乘积有意义),即 AI=IA=A。 例6设A是1×n的矩阵(行向量),B是n×1的矩阵(列向量),即 A a), B 求AB和BA
19 三、 乘法 定义 4 （矩阵乘法） 设 { } A = aij 是一个 ms 矩阵， { } B = bij 是一个 s n 矩阵，A 与 B 的乘法，记作 AB，定义为一个 m n 的矩阵 { }ij C = AB = c ，其中 = = + + + = s k i j ai b j ai b j ai sbsj ai kbkj c 1 1 1 2 2 (i =1, 2, , m; j =1, 2, , n ) . 由定义，不难看出（强调）： （1） 只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时，才能定义乘法 AB； （2） 矩阵 C=AB 的行数是 A 的行数，列数则是 B 的列数； （3） 矩阵 C=AB 在 (i , j ) 位置上的元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素 的乘积之和。 例 4 设矩阵 − = 2 1 0 2 1 0 3 1 A ， − = 1 3 4 2 0 1 1 1 3 4 1 0 B . 求 AB 和 BA . 例 5 任何一个矩阵 A 与单位矩阵 I 的乘积仍然等于该矩阵 A（假如乘积有意义），即 A I = I A = A。 如 = = 1 2 2 4 1 2 2 4 0 1 1 0 0 1 1 0 1 2 2 4 例 6 设 A 是 1n 的矩阵（行向量）， B 是 n1 的矩阵（列向量），即 ( ) A = a1 a2 an ， = n b b b B 2 1 ， 求 AB 和 BA
例如A=(20-1),B=1,则AB=2,而B4=20 0 000 例7设矩阵4(24 B 求AB和BA 12 解AB 上述几个例子显示,当AB有意义时,BA不一定有意义(例4):即使AB和BA都 有意义(例6),且有相同的矩阵阶数(例7),AB和BA也不一定相等。因此矩阵乘法不 满足交换律(对一般情况而言)。 若两个矩阵A和B满足 Ab= BA 则称矩阵A和B是可交换的,如 1)单位矩阵与任何(同阶)矩阵可交换,即成立AⅠ=MA 2)任何两个对角矩阵也都是可交换的。(作为习题) 3)一个矩阵与任何(同阶)矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。(作为习题) 例7还显示,当AB=O时,不能推出A≠O或B≠O。进一步,当AB=AC, 且A≠O时,推不出B=C。这表明矩阵乘法也不满足消去律。 但矩阵乘法仍满足分配律和结合律 (1)分配律 A(B+C)=AB+AC:(B+C)A= BA+CA (2)结合律 (AB)C=A(BC) (3)数乘结合律A(AB)=(4)B=A(AB),其中λ是一个数。 (4) Al=A=A
19 例如 A = ( 2 0 −1)， = 0 1 1 B ， 则 AB = 2 ， 而 − − = 0 0 0 2 0 1 2 0 1 BA 。 . 例 7 设矩阵 − − = = 1 1 2 2 , 1 2 2 4 A B , 求 AB 和 BA . 解 = 0 0 0 0 AB ; − − = 1 2 2 4 BA . 上述几个例子显示，当 AB 有意义时， BA 不一定有意义（例 4）；即使 AB 和 BA 都 有意义（例 6），且有相同的矩阵阶数（例 7）， AB 和 BA 也不一定相等。因此矩阵乘法不 满足交换律(对一般情况而言)。 若两个矩阵 A 和 B 满足 AB = BA 则称矩阵 A 和 B 是可交换的，如 1）单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立 AI = IA。 2）任何两个对角矩阵也都是可交换的。（作为习题） 3）一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。（作为习题） 例 7 还显示，当 AB = O 时，不能推出 A O 或 B O 。进一步，当 AB = AC ， 且 A O 时，推不出 B = C 。这表明矩阵乘法也不满足消去律。 但矩阵乘法仍满足分配律和结合律： （1） 分配律 A(B + C) = AB + AC ； (B +C)A = BA +CA 。 （2） 结合律 (AB)C = A(BC) 。 （3） 数乘结合律 (AB) = (A)B = A(B) , 其中 是一个数。 （4） AI = IA = A
证明矩阵相等的方法:()左右矩阵为同型:(ID左右矩阵在对应位置(i,)上的元素相等 (2)的证明设A={an}是mxs矩阵,B={bn}是s×t矩阵,C={cn}是×n矩阵 则D={d}=AB是m×t矩阵,且dk=∑a1b:而E={en}=BC是sxm矩阵,且 en=∑bc,从而ABC)和A(BC)都是mxn矩阵。再记 P=(ABC=DC,Q=A(BC)=AE。只需证故P=q即可 例8设矩阵A、B是上(下)三角矩阵,则AB亦是上(下)三角矩阵;且AB的对 角元素等于A、B对角元素的乘积。特别,对角矩阵的积仍是对角矩阵。 证明:记C=AB,则c=∑ab,只要证明cn=0,1>j,并cn=anb 1-21 331 如=020,B=0-20 矩阵的幂设A是n阶矩阵,定义 A=AA=AA A+1=A(4) 其中,k是正整数:特别规定A°=I由于乘法成立分配律结合律,有 A=AA,(4)=A, 但由于不成立交换律,故一般(AB)4≠AB 0100 例9设矩阵 B 0001 00A 0000 000 求和B"(n≥4)。(把A推广到一般n阶矩阵)
19 证明矩阵相等的方法：(I) 左右矩阵为同型；(II) 左右矩阵在对应位置 (i, j) 上的元素相等。 （2）的证明 设 { } A = aij 是 ms 矩阵， { } B = bij 是 s t 矩阵， { }ij C = c 是 t n 矩阵， 则 D ={dij} = AB 是 m t 矩阵，且 = = s l dik ailblk 1 ；而 E ={eij} = BC 是 s n 矩阵，且 = = t k lj lk kj e b c 1 ，从而 A(BC) 和 A(BC) 都是 m n 矩阵。再记 P = (AB)C = DC ，Q = A(BC) = AE 。只需证故 pij = qij 即可。 ■ 例 8 设矩阵 A 、 B 是上（下）三角矩阵，则 AB 亦是上（下）三角矩阵；且 AB 的对 角元素等于 A 、 B 对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。 证明：记 C = AB ，则 = = s k ij aikbkj c 1 ，只要证明 c i j ij = 0, ，并 ii aiibii c = 。 如 − = 0 0 3 0 2 0 1 2 1 A ， = − 0 0 2 0 2 0 3 3 1 B ， 矩阵的幂 设 A 是 n 阶矩阵，定义： , , , ( ) 1 2 k 1 k A = A A = AA A = A A + , 其中， k 是正整数；特别规定 A = I 0 . 由于乘法成立分配律结合律，有 k l k l A = A A + ， k l kl (A ) = A ， 但由于不成立交换律，故一般 k k k (AB) A B 。 例 9 设矩阵 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A = , , 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = B 求 4 A 和 B (n 4) n 。（把 A 推广到一般 n 阶矩阵）
四、转置运算 定义5(转置矩阵)设 A'=12.ama2 将A的行和列对应互换得到的nxm矩阵,定义为A的转置矩阵,记作Ar, 由定义可知,(4)=(A),即A在位置(,上的元素是矩阵A在位置(1)上的元素。 例10设矩阵 A=02,B 求(AB),BIA和AB 上述例子成立(AB)2=BA2,而并不成立(AB)y=AB。这是转置运算的性质 矩阵的转置满足下列运算法则: A (2)(A+B)=A+B; (3)(A)=A(A),λ是数 (4)(AB)=BA 定义6(对称矩阵)设A={an}是n阶矩阵。若其元素满足: 若其元素满足: 则称A是反对称矩阵。此时成立an=0Vi
19 四、 转置运算 定义 5 (转置矩阵) 设 = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 ， = n n mn m m T a a a a a a a a a A 1 2 12 22 2 11 21 1 将 A 的行和列对应互换得到的 nm 矩阵，定义为 A 的转置矩阵，记作 T A ，。 由定义可知， ij ji T (A ) = (A) ，即 T A 在位置 (i, j) 上的元素是矩阵 A 在位置 ( j,i) 上的元素。 例 10 设矩阵 = − − = 3 4 2 1 , 3 2 0 2 4 1 A B , 求 T (AB) ， T T B A 和 T T A B 。 上述例子成立 T T T (AB) = B A ，而并不成立 T T T (AB) = A B 。 这是转置运算的性质。 矩阵的转置满足下列运算法则： （1） A A T T ( ) = ； （2） T T T (A + B) = A + B ； （3） ( ) ( ), T T A = A 是数； （4） ( ) . T T T AB = B A 定义 6 (对称矩阵) 设 { } A = aij 是 n 阶矩阵。若其元素满足： a a i j A A T ij = ji , = ， 若其元素满足： a a i j A A T ij = − ji , = − ， 则称 A 是反对称矩阵。此时成立 a i ii = 0
例如A= 是一个对称矩阵,而B 是一个反对称矩阵 显然,对角矩阵一定是对称矩阵。下面是(反)对称矩阵的一些基本性质 性质1设A,B为(反)对称矩阵,则A±B仍是(反)对称矩阵 但注意,此时AB不一定是(反)对称矩阵 例如A 10/,B 10/但Bs/ 不是对称矩阵。 下列性质的证明都可按对称矩阵的定义证得。 性质2设A、B是对称矩阵,则AB(或BA)是对称矩阵的充分必要条件AB=BA 性质3设A为(反)对称矩阵,则A,AA也是(反)对称矩阵 性质4对任意方矩阵A,则H=(4+4),S=2(4-4)分别是对称矩阵和反对 称矩阵:且A=H+S。 五、矩阵的迹和行列式 定义7矩阵的迹与行列式)设A={a}是n阶矩阵,称r(A=∑a为矩阵A的迹:称 为矩阵A的行列式,记作|A|或det(A)。 性质1tm(AB)=tr(BA)(提示矩阵乘法交换律不成立) 性质2|A|=|4|(由行列式性质1) 性质3|AA|=A”|A|(由矩阵的数盛和行列式性质3 例如A./2 93小即B=3A。而|A|=5,|B上=45,即
19 例如 − = 1 0 1 1 A 是一个对称矩阵，而 − = 1 0 0 1 B 是一个反对称矩阵。 显然，对角矩阵一定是对称矩阵。下面是（反）对称矩阵的一些基本性质。 性质 1 设 A ， B 为（反）对称矩阵，则 A B 仍是（反）对称矩阵。 但注意，此时 AB 不一定是（反）对称矩阵。 例如 = − = 1 0 0 1 , 1 0 1 1 A B ，但 − = 0 1 1 1 AB 不是对称矩阵。 下列性质的证明都可按对称矩阵的定义证得。 性质 2 设 A 、 B 是对称矩阵，则 AB （或 BA ）是对称矩阵的充分必要条件 AB = BA 。 性质 3 设 A 为（反）对称矩阵，则 A A T , 也是（反）对称矩阵。 性质 4 对任意方矩阵 A ，则 ( ) 2 1 T H A + A ， ( ) 2 1 T S A − A 分别是对称矩阵和反对 称矩阵；且 A= H + S 。 五、 矩阵的迹和行列式 定义 7 (矩阵的迹与行列式) 设 { } A = aij 是 n 阶矩阵，称 = = n i A aii tr 1 ( ) 为矩阵 A 的迹；称 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 为矩阵 A 的行列式，记作 | A | 或 det( A) 。 性质 1 tr(AB) = tr(BA). （提示矩阵乘法交换律不成立） 性质 2 | A | | A| T = （由行列式性质 1） 性质 3 | A| | A| n = （由矩阵的数盛和行列式性质 3） 例如 − = 3 1 2 1 A ， − = 9 3 6 3 B ，即 B= 3A 。而 | A |= 5, | B |= 45 ，即
B|=|3A|=32|A=9×5=45成立。初学者容易犯的一个错是:|AA=A|A|。 性质4|AB|=|A‖B|。 证明以3阶矩阵来证明。构造6阶(即2×3阶)行列式: 0 0 000 00bb2b3|-B 0b21b2b23 b3 b32 b33 由例1.11,D=|A‖B|;另一方面,对D做下列变换: a, a ar a,b a,b a,b a2,b a2,,2 a21 第一步:消去b1,b23 a31 a32 a33,b, a3,,2 a31 1000 0 0 0-10b1b2b23 00-1 第二步、地三步:消去b1,b2,b23和b312b2,b3 ∑a1b1 b2∑a1b23 a ∑,∑ b A ABI D b 100 000 0 再进行行的交换,r分+,j=1,2,3 1 O 于是 A AB 再由例1.11,得到D=(-1)3|-IAB|=(-1)(-1)|AB|=|AB|,从而结论成立
19 | B | =| 3 | 3 | | 9 5 45 2 A = A = = 成立。初学者容易犯的一个错是： | A |= | A | 。 性质 4 | AB |=| A|| B |。 证明 以 3 阶矩阵来证明。 构造 6 阶（即 23 阶）行列式： I B A O b b b b b b b b b a a a a a a a a a D − = − − − = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 31 32 33 21 22 23 11 12 13 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 由例 1.11 , D = | A || B | ； 另一方面，对 D 做下列变换： 第一步： 消去 11 12 13 b ,b ,b 31 32 33 21 22 23 31 32 33 31 11 31 12 31 13 21 22 23 21 11 21 12 21 13 11 12 13 11 11 11 12 11 13 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 b b b b b b a a a a b a b a b a a a a b a b a b a a a a b a b a b D − − − = 。 第二步、地三步： 消去 21 22 23 b ,b ,b 和 31 32 33 b ,b ,b I O A AB a a a a b a b a b a a a a b a b a b a a a a b a b a b D k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k − = − − − = = = = = = = = = = 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 1 3 3 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 3 3 1 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 1 1 3 3 1 1 2 3 1 1 1 1 2 1 3 1 1 再进行行的交换， rj r3+ j , j = 1, 2, 3 于是 A AB I O D − = − 3 ( 1) 。 再由例 1.11，得到 ( 1) | || | ( 1) ( 1) | | | | 3 3 3 D = − −I AB = − − AB = AB , 从而结论成立。■