北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.5 商空间上诱导的线性变换 4.5.1 线性变换在（关于不变子空间的）商空间上的诱导变换的定义

第一学期第二十八次课 命题如果n维空间V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵,则A在任一不变子空 间M上(的限制)的矩阵相似于对角矩阵 证明若V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵,则V可以分解为特征子空间的直 和。记A的所有特征值为,2,…耳,则V=V4⊕V2…④V,取M=M∩V,断 言M=M1④M2④…⊕M。首先要证明M=M1+M2+…M1 ”显然;“c”Va∈M,则存在a,∈V2,使得α=a1+α,+…+,两边同 时用A(=1,2,…,t-1)作用,得到表达式 12 于是 2 a,)(x-x2 即a可以表示成a,Ax1…,Aa的线性组合,于是a,∈M,“g”得证 再证明M=M1+M2+…M1是直和。设0=B+B2+…+B,其中B∈M1,则 B∈V,由于V=V4田V由…曲V1,于是B=0,零向量表示法唯一 于是M可以分解成为特征子空间的直和,即有AL可对角化。证毕。 第四章§5商空间上诱导的线性变换 451线性变换在(关于不变子空间的)商空间上的诱导变换的定义 给定K上的线性空间V,M是V的一个A一不变子空间,定义变换 A:V/M→I/M a+MhAa+m 需要验证A的合理性。设a'+M=a+M,则存在y∈M,使得a'=a+y,于是 Aa'=A(a+y)=Aa+Ay,而由于M是A的不变子空间,于是Ay∈M,便有 Aa+M=Aa+M。于是A的定义与商空间上的元素的选取无关,即A的定义合理。对 于此定义,即有A(a)=A(a)。容易验证A是V/M上的线性变换

第一学期第二十八次课 命题 如果 n 维空间 V 上的线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵，则 A 在任一不变子空 间 M 上（的限制）的矩阵相似于对角矩阵。 证明 若 V 上的线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵，则 V 可以分解为特征子空间的直 和。记 A 的所有特征值为 1 2 , , ,   t ，则 1 2 t V V V V =       ，取 i M M V i =  ，断 言 M M M M =    1 2 t 。首先要证明 M M M M = + + 1 2 t 。 “  ”显然；“ ”   M ，则存在 i i V ，使得     = + + + 1 2 t ，两边同 时用 ( 1,2, , 1) j A j t = − 作用，得到表达式 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 t t t t t t t             − − − −                =                  A A ， 于是 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 t t t t t t t             − − − − −                   =                     A A ， 即 i 可以表示成 1 , , , t    − A A 的线性组合，于是 i  M ，“  ”得证。 再证明 M M M M = + + 1 2 t 是直和。设 1 2 0 = + + +   t ，其中 i i M ，则 i i V ，由于 1 2 t V V V V =       ，于是 0 i = ，零向量表示法唯一。 于是 M 可以分解成为特征子空间的直和，即有 | A M 可对角化。证毕。 第四章 §5 商空间上诱导的线性变换 4.5.1 线性变换在（关于不变子空间的）商空间上的诱导变换的定义 给定 K 上的线性空间 V ， M 是 V 的一个 A —不变子空间，定义变换 : / / V M V M   M M → + + A A ， 需要验证 A 的合理性。设   '+ = + M M ，则存在   M ，使得    ' = + ，于是 A A A A      ' ( ) = + = + ，而由于 M 是 A 的不变子空间，于是 A M ，便有 A A   + = + M M' 。于是 A 的定义与商空间上的元素的选取无关，即 A 的定义合理。对 于此定义，即有 A A ( ) ( )   = 。容易验证 A 是 V M/ 上的线性变换

定义上面定义的线性变换A称为V内线性变换A在商空间V/M内的诱导变换 设dm=n,dmM=r,若给定M的一组基E,E2…E,将其扩充成为V的一组 基,E2…En,若A在此组基下的矩阵为 A A 则 88 ,En构成商空间的 0 A 组基,且A在此组基下的矩阵为(A42)。于是,有 命题设A是n维线性空间V上的线性变换,W是A的不变子空间,则A的特征多项 式等于A|m的特征多项式与A在商空间V/W上的诱导变换的特征多项式的乘积 命题设A是数域K上的n维线性空间V上的线性变换,则A的特征多项式的根都属 于K当且仅当A在V的某组基下的矩阵为上三角形。 证明必要性对n作归纳1时命题成立,设n-1成立,取A关于某个特征值的 个特征向量50,取M=L(5),由上一个命题,n-1维线性空间/M上的线性变换A的 特征值都属于K,于是在某组基E2,E3,…,En下的矩阵成上三角形,易证50,E2,…,En是V的 组基,且A在50,E2…En下的矩阵成上三角形。 充分性显然 证毕。 推论C上的有限维线性空间上的线性变换在适当的基下的矩阵成上三角形

定义 上面定义的线性变换 A 称为 V 内线性变换 A 在商空间 V M/ 内的诱导变换。 设 dimV n = ，dimM r = ，若给定 M 的一组基 1 2 , , , r    ，将其扩充成为 V 的一组 基 1 2 , , , n    ，若 A 在此组基下的矩阵为 11 12 22 0 A A A       ，则 1 2 , , , r r n    + + 构成商空间的一 组基，且 A 在此组基下的矩阵为 ( A22 ) 。于是，有： 命题 设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， W 是 A 的不变子空间，则 A 的特征多项 式等于 A W | 的特征多项式与 A 在商空间 V /W 上的诱导变换的特征多项式的乘积。 命题 设 A 是数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性变换，则 A 的特征多项式的根都属 于 K 当且仅当 A 在 V 的某组基下的矩阵为上三角形。 证明 必要性 对 n 作归纳 1 时命题成立，设 n−1 成立，取 A 关于某个特征值 0 的一 个特征向量 0  ，取 0 M L = ( )  ，由上一个命题， n−1 维线性空间 V M/ 上的线性变换 A 的 特征值都属于 K ，于是在某组基 2 3 , , , n    下的矩阵成上三角形，易证 0 2 , , , n    是 V 的 一组基，且 A 在 0 2 , , , n    下的矩阵成上三角形。 充分性 显然。 证毕。 推论 上的有限维线性空间上的线性变换在适当的基下的矩阵成上三角形