解由AB=A+2B可得(A-2E)B=A 233033 033 故B=(A-2E)A=1-10110|=-123 17.设PAP=A,其中P= 求A. 解PAP=A故A=PAP所以AH=PAP P|=3P 10 10 而A 02 021 4 故4=/-1-4 10 27312732 683-684 19.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A°,证明 (1)若4=0,则A=0; 证明 (1)用反证法证明.假设A≠0则有A(4)=E 由此得A=A'(A)=4E(A)=0∴A=0 这与A≠0矛盾,故当A=0时 有A|=0 (2)由于4=A,则A'=4E 取行列式得到44=4 若A≠0则A=4 若A=0由(1)知A=0此时命题也成立 故有A”=|4m6 解 由 AB = A+ 2B 可得 (A− 2E)B = A 故 B A E A 1 ( 2 ) − = −           −           − − − = − 1 2 3 1 1 0 0 3 3 1 2 1 1 1 0 2 3 3 1           = − 1 1 0 1 2 3 0 3 3 17．设 =  − P AP 1 ,其中         − − = 1 1 1 4 P ,         −  = 0 2 1 0 ,求 11 A . 解 =  − P AP 1 故 −1 A = PP 所以 11 11 −1 A = P P P = 3         − =  1 1 1 4 P         − − = − 1 1 1 4 3 1 1 P 而         − =         −  = 11 11 11 0 2 1 0 0 2 1 0 故             − −         −         − − = 3 1 3 1 3 4 3 1 0 2 1 0 1 1 1 4 11 11 A         − − = 683 684 2731 2732 19．设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为  A ，证明： (1) 若 A = 0 ,则 = 0  A ; (2)  −1 = n A A . 证明 (1) 用反证法证明．假设  0  A 则有 A A = E   −1 ( ) 由此得 A = AA A = A E A = O   −1  −1 ( ) ( )  A = O  这与  0  A 矛盾，故当 A = 0 时 有 = 0  A (2) 由于 −  = A A A 1 1 , 则 AA = A E  取行列式得到: n A A = A  若 A  0 则  −1 = n A A 若 A = 0 由(1)知 = 0  A 此时命题也成立 故有  −1 = n A A