可得实部方程 2x2+15x+K=0 和虚部方程 x3+16x2+15x=0 可解得x=0和x=4±34=-695与正反馈根轨迹的交点 2 1.085(与负反馈根轨迹的交点 K=(2x2-15x)=4934-272137 结合根轨迹图可知,当0<K<13.7满足使全部闭环极点均位于s平面左半部且全 部复极点的阻尼系数都大于一一的要求 例5-2已知开环传递函数G(s)H(S)= 3(s+2) 画出与完整的奈奎斯特路径相 s3+3s+ 对应的奈奎斯特图。 (1)确定相对于G(s)H(s)平面的原点的N,P和Z的值。从而判断开环系统是否稳 (2)求取相对于一1点的NP和Z的值。从而判断闭环系统是否稳定 解一:(1)首先要确定开环零,极点的位置,由于本题开环零点以确定,而分母是 以多项式形式给出,所以只要确定开环极点的位置。方法由三种 a)劳斯判据法对开环特征方程s3+3s+1=0,列劳斯阵列如下 s313 由劳斯判据可判断开环特征方程有一个左根和两个右根,没有虚轴上的根 b)根轨迹法对开环特征方程s3+3s+1=0,可改写为 K =1+ =0于是s3+3s+1=0的根可看作在等效开环传递函数为 S+3s (S-+3slk-l 的根轨迹上,取K=1时的点,此时根轨迹如图5-9所示。由根轨迹可知 当K=1时开环特征方程+3+1=0有一个负实根和一对实部为正的共轭复根 c)奈奎斯特判据法此法是题中要求的方法。即画出完整的奈奎斯特曲线,求出该 曲线对GA(s)平面对原点包围的次数N〃,若此时开环右零点数Z0已知,则开环右极点数·150· 可得实部方程 2 15 0 3  x  x  K  和虚部方程 2 16 15 0 3 2 x  x  x  可解得 x＝0 和         1.085( ) 6.915( ) 2 34 4 与负反馈根轨迹的交点 与正反馈根轨迹的交点 x (2 15 ) 49 34 272 13.7 2 34 4 3      x  K x x 结合根轨迹图可知，当 o  K  13.7 满足使全部闭环极点均位于 s 平面左半部且全 部复极点的阻尼系数都大于 2 2 的要求。 例 5-2 已知开环传递函数 3 1 3( 2) ( ) ( ) 3     s s s G s H s ，画出与完整的奈奎斯特路径相 对应的奈奎斯特图。 （1）确定相对于 G(s)H(s)平面的原点的 N，P 和 Z 的值。从而判断开环系统是否稳 定。 （2）求取相对于－1 点的 N,P 和 Z 的值。从而判断闭环系统是否稳定。 解一：（1）首先要确定开环零，极点的位置，由于本题开环零点以确定，而分母是 以多项式形式给出，所以只要确定开环极点的位置。方法由三种： a）劳斯判据法对开环特征方程 3 1 0 3 s  s   ，列劳斯阵列如下 1 0 1 1 3 0 1 2 3 s s s s   由劳斯判据可判断开环特征方程有一个左根和两个右根，没有虚轴上的根。 b ） 根 轨 迹 法 对 开 环 特 征 方 程 3 1 0 3 s  s   ， 可 改 写 为 0 ( 3) 1 3 1 1 1 3 2       K s s K s s 于是 3 1 0 3 s  s   的根可看作在等效开环传递函数为 S S K Gk ( 3) * 2   的根轨迹上，取 K=1 时的点，此时根轨迹如图 5-9 所示。由根轨迹可知， 当 K＝1 时开环特征方程 3 1 0 3 s  s   有一个负实根和一对实部为正的共轭复根。 c）奈奎斯特判据法 此法是题中要求的方法。即画出完整的奈奎斯特曲线，求出该 曲线对G (s) k 平面对原点包围的次数 N0，若此时开环右零点数 Z0已知，则开环右极点数