4)极大似然估计 求极大似然估计的步骤为： (1)写出似然函数L的表达式。 如果总体5是离散型随机变量，概率分布为P5=k:,那么L=门P5=}: 如果总体5是连续型随机变量，概率密度为(x),那么L= Io(x). (2)在日，92，…，日的取值范围⊙内，求出使得似然函数L达到最大的参数估计值 日，，…，日。，它们就是未知参数的极大似然估计。 通常的做法是，先取对数nL(因为当nL达到最大时，L也达到最大)。 然后令hL关于0,02，…，日m的偏导数等于0，得到方程组 ain L=0 a0 。年果果。3 am L=0 a0 由此可见，如果上面这个方程组在日内有唯一解日，日2，…，日m，所以，按照极大 似然估计的定义，6,02，…，0就是未知参数日，02，…，0n的极大似然估计。 5) 衡量点估计好坏的标准 定理 设总体5的数学期望E5和方差D5都存在，（X1,X2,,Xn)是5的 样本，X是样本均值，S2是样本方差，则有 (1)EX=E5; 2)Dr=D5,(3)ES)="-lD5. n n 衡量点估计的好坏标准： (1)无偏性 定义6.1设0是参数0的估计，如果有E0=0,则称0是0的无偏估计。 (2)有效性 定义6.2设8，，日，都是参数0的无偏估计，如果有D(0)≤D(02),则称日，比 595 4) 极大似然估计 求极大似然估计的步骤为： （1）写出似然函数 L 的表达式。 如果总体  是离散型随机变量，概率分布为 P{ = k} ，那么 = = = n i i L P x 1 { } ； 如果总体  是连续型随机变量，概率密度为 (x) ，那么 = = n i i L x 1 ( ) 。 （2）在    m , , , 1 2  的取值范围  内，求出使得似然函数 L 达到最大的参数估计值    m ˆ , , ˆ , ˆ 1 2  ，它们就是未知参数的极大似然估计。 通常的做法是，先取对数 ln L （因为当 ln L 达到最大时， L 也达到最大）。 然后令 ln L 关于    m , , , 1 2  的偏导数等于 0，得到方程组        =   =   0 ln 0 ln 1 m L L    由此可见，如果上面这个方程组在  内有唯一解    m ˆ , , ˆ , ˆ 1 2  ，所以，按照极大 似然估计的定义，    m ˆ , , ˆ , ˆ 1 2  就是未知参数    m , , , 1 2  的极大似然估计。 5) 衡量点估计好坏的标准 定理 设总体  的数学期望 E 和方差 D 都存在，（ X X Xn , ,..., 1 2 ）是  的 样本， X 是样本均值， 2 S 是样本方差，则有 （1） EX = E ； （2） n D DX  = ； （3） D n n E S 1 ( ) 2 − = 。 衡量点估计的好坏标准： (1) 无偏性 定义 6.1 设  ˆ 是参数  的估计，如果有  = E ˆ ，则称  ˆ 是  的无偏估计。 （2） 有效性 定义 6.2 设 1 ˆ  ， 2 ˆ  都是参数  的无偏估计，如果有 ) ˆ ) ( ˆ ( D  1  D  2 ，则称 1 ˆ  比