118 重庆理工大学学报 意点的流速值。本文主要讨论其中用利用Fortran 的关系，由于“在穿越边界时的连续性，从式(2) 计算所求点的流速与用Matlab画出相应的流线图 得到联系己知函数。和中间变量t的积分方 的主要过程。 程组： 1复连通区域Stokes问题的边界积分方程 uot(y）= k=1,2,y∈T (3) 设Γ是R中有限区域2的封闭曲线，2是 对于方程(3)，方程两边同乘以1(y),然后在T上 T形成的封闭区域中的一条封闭曲线，形成的 积分，便得到变分方程组： 区域为2,2=2-2。设T=+2,考虑如 下的问题： 2iypu.y,ed山，= r-v△u+gradp=0,在2中 (4) div u =0, 在2中 (1) 含s (urr=uo, 在T+2上 2.2离散变分方程 为了数值求解变分方程(4)，边界T必须离 其中：u=(山1，山2)是流速；p是压强；u。是闭曲线边 散为一系列单元，从而把边界积分方程转化为线 界T以及内部闭曲线边界2上的己已知函数。 性代数方程组进行求解。设把边界T离散为 个单元，有单元端点n1个：把边界2离散为n2个 单元，有单元端点n2个，则边界「共划分为n (n=m,+n2)个单元，共有n个单元端点。在实践 中，边界单元一般被离散为常单元、线性单元或者 高次单元，也有采用样条插值方式的边界单元。 在本文中，采用线性单元就二维问题进行计算。 图1研究区城 基函数选取如下： 设想包含在Ω内的不可压缩粘性流体整体嵌 [L+E,x∈T-i 2 入在平面无限域上的不可压缩粘性流体之中。本 P= 文只计算有界域上的流动，故假定在无穷远处流 1- ,xeT,其中ee[-1,1],i=1,…,n 2 速为零。由参考文献的，经计算可得到基于单层 0,其他 位势的边界积分方程： (y)= 名.x-(pden2 设1=含4=含”e其中：0为 t,在节点i处的值。即得离散形式： 其中t=(t1,t2)是待定的密度函数，其分量t:是 含0，(u,p穿超「时的跃变，类似地可推出流 体压力场的积分表达式，但本文约去压力场的 ds,+ uizit ds,)=b + 计算。 2变分方程的形成及处理 Jr-i+「r 2.1形成变分方程 (5) 由单层位势出发来研究边界量u。和边界量t 其中： ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net意点的流速值。本文主要讨论其中用利用 Fortran 计算所求点的流速与用 Matlab 画出相应的流线图 的主要过程。 1 复连通区域 Stokes 问题的边界积分方程 设 Γ1 是 R2 中有限区域 Ω 的封闭曲线，Γ2 是 Γ1 形成的封闭区域中的一条封闭曲线，Γ2 形成的 区域为 Ω + 0 ，Ω － 0 = Ω － Ω + 0 。设 Γ = Γ1 + Γ2 ，考虑如 下的问题: － υΔu + gradp = 0， 在 Ω 中 div u = 0， 在 Ω 中 u Γ1 +Γ2 = u0， 在 Γ1 + Γ { 2 上 ( 1) 其中: u = ( ) u1，u2 是流速; p 是压强; u0 是闭曲线边 界 Γ1 以及内部闭曲线边界 Γ2 上的已知函数。 图 1 研究区域 设想包含在 Ω 内的不可压缩粘性流体整体嵌 入在平面无限域上的不可压缩粘性流体之中。本 文只计算有界域上的流动，故假定在无穷远处流 速为零。由参考文献［5］，经计算可得到基于单层 位势的边界积分方程: uk ( ) y = ∑ 2 i = 1 ∫Γ Uik ( ) x － y ti ( ) x dsx，y ∈ Ω ( 2) 其中 t = t ( ) 1，t2 是待定的密度函数，其分量 ti 是 ∑ 2 j = 1 σij( ) u，p nj 穿越 Γ 时的跃变。类似地可推出流 体压力场的积分表达式，但本文约去压力场的 计算。 2 变分方程的形成及处理 2． 1 形成变分方程 由单层位势出发来研究边界量 u0 和边界量 t 的关系，由于 u 在穿越边界时的连续性，从式( 2) 得到联 系 已 知 函 数 u0 和 中 间 变 量 t 的 积 分 方 程组: u0k ( y) = ∑ 2 i = 1 ∫Γ Uik ( x － y) ti ( x) dsy， k = 1，2，y ∈ Γ ( 3) 对于方程( 3) ，方程两边同乘以 t'( ) y ，然后在 Γ 上 积分，便得到变分方程组: ∑ 2 i，k = 1 ∫Γ t' k ( ) y ∫Γ Uki ( x，y) ti ( x) dsxdsy = ∑ 2 k = 1 ∫Γ U0k ( y) t' k ( y) dsy ( 4) 2． 2 离散变分方程 为了数值求解变分方程( 4) ，边界 Γ 必须离 散为一系列单元，从而把边界积分方程转化为线 性代数方程组进行求解。设把边界 Γ1 离散为 n1 个单元，有单元端点 n1 个; 把边界 Γ2 离散为 n2 个 单元，有单元端点 n2 个，则边界 Γ 共划分 为 n ( ) n = n1 + n2 个单元，共有 n 个单元端点。在实践 中，边界单元一般被离散为常单元、线性单元或者 高次单元，也有采用样条插值方式的边界单元。 在本文中，采用线性单元就二维问题进行计算。 基函数选取如下: φi = 1 + ε 2 ，x ∈ Γi－1 1 － ε 2 ，x ∈ Γi，其中 ε ∈［－ 1，1］，i = 1，…，n 0，        其他 设 t1 = ∑ n i = 1 t ( i) 1 φi，t2 = ∑ n i = 1 t ( i) 2 φi，其中: t ( i) 1 、t ( i) 2 为 t1，t2 在节点 i 处的值。即得离散形式: ∑ n i = 1 ∫Γj－1 +Γj φj ( ) y dsy * ∫Γi－1 +Γi u* 11φi t ( i) 1 dsx + ∫Γi－1 +Γi u* 12φi t ( i) ( ) 2 dsx = b( j) 1 ∑ n i = 1 ∫Γj－1 +Γj φj ( ) y dsy * ∫Γi－1 +Γi u* 21φi t ( i) 1 dsx + ∫Γi－1 +Γi u* 22φi t ( i) ( ) 2 dsx = b( j)            2 ( 5) 其中: 118 重庆理工大学学报 