(detP).det(A-aE).detP= det(A-1E) 2.相似对角化:若方阵A能够与一个对角矩阵相似称A可对角化 定理5n阶方阵A可对角化分A有n个线性无关的特征向量 证必要性.设可逆矩阵P使得 PAP= λn 即AP=PA,划分P=[1|…|Pn],则有 [1|…|pn]=[m1|…|pn] [4p1…|Apn]=[1p1|…1,p Ap1=1P;(i=1,2,…,n) 因为P为可逆矩阵,所以它的列向量组p1,…,pn线性无关 上式表明:p1,…,Pn是A的n个线性无关的特征向量 充分性.设p1,…,P线性无关,且满足AP1=λP;(i=1,n), 则P=[1|…p]为可逆矩阵,且有 AP=[4p1|…|Apn]=[λ1n1|…|λ,pn [n1…pn]=PA 即P-AP=A [注]A~A→A的主对角元素为A的特征值 推论1A有n个互异特征值→A可对角化 推论2设A的全体互异特征值为礼1,2,…,n,重数依次为r1,n2,…,rn6 (det ) det( ) det det( ) 1 = P  A− E  P = A− E − 2．相似对角化：若方阵 A 能够与一个对角矩阵相似, 称 A 可对角化． 定理 5 n 阶方阵 A 可对角化  A 有 n 个线性无关的特征向量． 证 必要性．设可逆矩阵 P 使得    def 1 1 =           = − n P AP  即 AP = P ．划分   P = p1  pn , 则有 Ap1  pn  = p1  pn       Ap1  Apn = 1 p1   n pn Ap p (i 1,2, ,n)  i = i i =  因为 P 为可逆矩阵, 所以它的列向量组 p pn , , 1  线性无关． 上式表明： p pn , , 1  是 A 的 n 个线性无关的特征向量． 充分性．设 p pn , , 1  线性无关, 且满足 Ap p (i 1,2, ,n) i = i i =  , 则   P = p1  pn 为可逆矩阵, 且有     AP = Ap1  Apn = 1 p1   n pn = p1  pn  = P 即 =  − P AP 1 ． [注] A ~    的主对角元素为 A 的特征值． 推论 1 Ann 有 n 个互异特征值  A 可对角化． 推论 2 设 Ann 的全体互异特征值为    m , , , 1 2  , 重数依次为 m r ,r , ,r 1 2 