(2)-A+1(1):k1(x1-+)P1+…+k1(1-A+)P=0 因为p1,…,p1线性无关(归纳法假设),所以 k(A1-1+)=0,…,k(1-1+1)=0→k1=0,…,k=0 代入(1)可得k+1P1=0→k+=0.故p1,…,P1,P+线性无关 根据归纳法原理,对于任意正整数m,结论成立 定理4设Amn的互异特征值为A1,2,…,λn,重数依次为r1,2,…,rn 对应λ的线性无关的特征向量为p①,p2,…p"(i=1,2,…,m), 则向量组P,…,P,…,n1m,…,Pm线性无关.(自证) §52相似对角化 1.相似矩阵:对于n阶方阵A和B,若有可逆矩阵P使得PAP=B, 称A相似于B,记作A~B (1)A~A: EAE=A (2)A-B=B-A: (P)B(P)=A 3)A~B,B~C→A~C 性质1A~B→detA=detB 性质2A可逆,A~B→B可逆,且A-1~B-1 性质3A~B→kA~kB,Am~Bm(m为正整数) 性质4f()为多项式,A~B→f(4)~f(B) 性质5A~B→det(A-E)=det(B-AE) A与B的特征值相同 证由PAP=B可得B-AE=PAP-E=P(-AE)P det(b -ae)=detp-det(a -aE).detP5 (2) (1) − l+1 ： k1 (1 − l+1 ) p1 ++ kl (l − l+1 ) pl = 0 因为 p pl , , 1  线性无关（归纳法假设）, 所以 k1 (1 − l+1 ) = 0,  , kl (l − l+1 ) = 0  k1 = 0,  , kl = 0 代入 (1) 可得 kl+1 pl+1 = 0  kl+1 = 0 ．故 1 1 , , , p  pl pl+ 线性无关． 根据归纳法原理, 对于任意正整数 m , 结论成立． 定理 4 设 Ann 的互异特征值为    m , , , 1 2  , 重数依次为 m r ,r , ,r 1 2  , 对应  i 的线性无关的特征向量为 ( ) ( ) 2 ( ) 1 , , , i l i i i p p  p (i = 1,2,  ,m ) , 则向量组 ( ) ( ) 1 (1) (1) 1 , , , , , , 1 m l m l m p  p  p  p 线性无关．（自证） §5.2 相似对角化 1．相似矩阵：对于 n 阶方阵 A 和 B , 若有可逆矩阵 P 使得 P AP = B −1 , 称 A 相似于 B , 记作 A ~ B． (1) A ~ A ： E AE = A −1 (2) A ~ B  B ~ A ： P B P = A − − − ( ) ( ) 1 1 1 (3) A ~ B, B ~ C  A ~ C 性质 1 A ~ B  detA = detB． 性质 2 A 可逆, A ~ B  B 可逆, 且 1 1 ~ − − A B ． 性质 3 m m A ~ B  kA ~ kB, A ~ B （ m 为正整数）． 性质 4 f (t) 为多项式, A ~ B  f (A) ~ f (B)． 性质 5 A ~ B  det(A − E) = det(B − E)  A 与 B 的特征值相同 证 由 P AP = B −1 可得 B E P AP E P (A E)P 1 1 −  = −  = −  − − det(B E) detP det(A E) detP 1 − =  −  −  