定理设A是mxn矩阵,对A作一次行的初等变换相当于左乘一个m阶相 应初等矩阵,对A作一次列的初等变换相当于右乘一个n阶相应的初等矩阵 证明只对行初等变换进行证明.分别计算P3A,P(c)A,T(c)A即可.口 推论初等矩阵均可逆,且P=P3,P()1=P(c-1),T()-1=T(c) 四.矩阵的相抵 定义矩阵A经过有限次初等变换后变成B,则称A与B是相抵的,记为 A≈B 注因为对矩阵做一次行(列的初等变换相当与左(右)乘一个相应的初等矩 阵,所以AB的充分必要条件是存在初等矩阵P,Q,1≤s,1≤j≤t,使得 P…P2P1AQ1Q2…Qt= 0 定理矩阵的相抵关系满足(1)反身性,即A=A;(2)对称性,即若A=B, 则BA;(3)传递性,即若A=B,B=C,则A=C 例n阶方阵A不可逆的充分必要条件是存在不为0的方阵B,使得AB=0 证明必要性.若A可逆,则从AB=0可得B=0,与B不为0矛盾 充分性.若A是奇异矩阵,则存在可逆矩阵P,Q使PAQ Ir 0 令 则PAQC=0,故AQC=0.令B=QC,则结论成立.口 作业:P673◆❡ ⑤ A ◗ m × n ✩✪✰✴ A ➎❭➏❳✫✬✭✮✯✹➓➔→❬ ❭➣ m ↔ ✹ ✵✬✭✩✪✰✴ A ➎❭➏❨ ✫✬✭✮✯✹➓➔↕❬ ❭➣ n ↔ ✹✵✫✬✭✩✪✶ qr ➙✴❳✬✭✮✯➛❳➜➝✶➞➟➠➡ PijA, Pi(c)A, Tij (c)A ➢❣ ✶ ➤➥ ✬✭✩✪➦ ❣➧✰➨ P −1 ij = Pij , Pi(c) −1 = Pi(c −1 ), Tij (c) −1 = Tij (−c). ➩✶➋➌✜➫➭ ◆❖ ✩✪ A ❤✐➯➲➏✬✭✮✯❛ ✮ ① B, ⑦ ➑ A ✳ B ◗✹✺✫✰➀❧ A ∼= B. ➳ ➵❧✴✩✪➇❭➏❳ (❨) ✫✬✭✮✯✹➓✳→ (↕ ) ❬ ❭➣✹✵✫✬✭✩ ✪✰➐✱ A ∼= B ✫➸➞❢➺➻➼◗➽➾✬✭✩✪ Pi , Qj , 1 ≤ s, 1 ≤ j ≤ t, ➄❽ Ps · · ·P2P1AQ1Q2 · · ·Qt =   1 . . . 1 0 . . . 0   . ◆❡ ✩✪✫✹✺✻✼➚➪ (1) ➶➹❅✰➢ A ∼= A; (2) ✴➑❅✰➢ s A ∼= B, ⑦ B ∼= A; (3) ➘➴❅✰➢ s A ∼= B, B ∼= C, ⑦ A ∼= C. ➉ n ↔ ❆✪ A ③❣➧✫➸➞❢➺➻➼◗➽➾③ ❧ 0 ✫❆✪ B, ➄❽ AB = 0. qr ❢➺❅✶s A ❣➧✰ ⑦➷ AB = 0 ❣❽ B = 0, ✳ B ③ ❧ 0 ➬➮✶ ➸➞❅✶s A ◗➱✃✩✪✰ ⑦ ➽➾❣➧✩ ✪ P, Q ➄ P AQ =  Ir 0 0 0  . ❐ C =  0 0 0 In−r  , ⑦ P AQC = 0, ❒ AQC = 0. ❐ B = QC, ⑦t✉①②✶ ➎❮❘ P67 3 3