第5期 魏伟一，等：一种精英反向学习的萤火虫优化算法 ·713· 输入目标函数和搜索空间： l)Sphere函数 输出全局最优解和最优位置。 1)初始化参数m,n,T,a,B,y,在[m,n]上生成 )=2.5e（-512,5.12 i=1 初始种群x,(i=1,2,…,n)。 Sphere函数为多维单峰值函数，在点x=(0,0,, 2)执行EOFA算法搜索。 0)处取得极小值0。 3)把x(t)(i=1,2,…,n)带入目标函数，计算 2)Rosenbrock函数 函数值，把目标函数的值作为每个个体的亮度 值1.(t)。 f=[100(,-》+(k-1)1. 4)在[m,n]生成x,(t)的反向解x,(t),并计算 x:∈(-2.048,2.048) 亮度I(t)。对I(t)和(t)进行比较，fI(t)>I Rosenbrock函数为多维病态二次函数，在点x= (t),则x,(t)为精英个体N(t),记精英群体大小为 (1,1,…,1)处取得全局极小值0。 p(p>1,i=1,2,…,p)。设精英个体的区间范围为 3)Ackley函数 [a(t),b(t)](若精英群体的规模小于2，则在x (t)(i=1,2,…,n)构成的区间上求x(i=1,2,…, -e点m+2.7128, f3(x)=-20e√名 n)的反向解)。elsex,(t)是普通个体，普通群体大小 x∈（-32.7,32.7) 为n-po Ackley函数为多维多峰值函数，在点x=(0,0,…, 5)用式(7)在精英个体构成的区间[a,(t),b,(t)] 0)处取得全局极小值0。 上计算普通群体的反向解x:'(t)(i=1,…,n-p)。 4)Griewank函数 6)精英群体和普通群体的反向解群体构成当 f(x)= os()+1， 前新种群，计算新种群的亮度，并进行排序，选出最 优的个体x(t)。 x:∈(-600,600) 7)用式(3)计算每个个体i和最优个体x(t) Griewank函数为多维多峰值函数，在点x=(0,0, 之间的距离R(t)。 …,0)处取得全局极小值0。 8)用式(2)计算吸引力B(t)。个体i向最优个 5)Rastrigin函数 体(t)移动，用公式(6)更新位置x“(t)。 9)用式(11)计算a(t),并用式(9)、(10)对最 f(x)=10d+ A-10e(2小， 优个体进行位置扰动。 x:∈(-5.12,5.12) 10)算法搜索结束，输出全局最优解和最优 Rastrigin函数为多维多峰值函数，在点x=(0,0,…, 位置。 0)处取得全局极小值0。 若种群的规模为n,空间维度为D,则种群初始 3.2EOFA算法的测试结果 化的时间复杂度为O(nD);从迭代开始到结束的整 实验环境为：Inter Core(TM)i5-2450MCPU@ 个过程中，迭代的次数为t,其中3)是计算种群的亮 2.50GHz,内存4GB,Window7操作系统，MATLAB 度，复杂度为O(nDt):4)~9)是建立新的种群，并进 7.8.0版本。分别选取标准的FA算法[)，LFA算 行位置的更新，复杂度为O((6n-p)·D),p(p≤n) 法[20]，MFA算法[2)与本文提出的E0FA算法在5 是精英群体的规模。因此本文算法的时间复杂度 为O(nDr)。 种标准的测试函数上进行实验比较，种群规模n取 40,初始a取值为0.98。维度D取10和30，y=1, 3实验仿真及分析 MFA算法中方向向量的个数m取30，其他参数分 3.1测试函数 别取T=1000,B=1。分别记录4种算法迭代1000 在仿真实验中，本文采用下列5个常用的标准 次并在测试函数上独立运行40次的最优值、最差值 测试函数对算法进行测试。 和平均值，结果如表1所示。输入 目标函数和搜索空间； 输出 全局最优解和最优位置 。 １）初始化参数 ｍ，ｎ，Ｔ，α，β，γ，在［ｍ，ｎ］上生成 初始种群 ｘｉ（ｉ ＝ １，２，…，ｎ）。 ２）执行 ＥＯＦＡ 算法搜索。 ３）把 ｘｉ（ｔ） （ｉ ＝ １，２，…，ｎ）带入目标函数，计算 函数值， 把 目 标 函 数 的 值 作 为 每 个 个 体 的 亮 度 值Ｉｉ（ｔ）。 ４）在［ｍ，ｎ］生成 ｘｉ（ｔ）的反向解 ｘ ∗ ｉ （ｔ），并计算 亮度 Ｉ ∗ ｉ （ｔ）。 对 Ｉｉ（ｔ）和 Ｉ ∗ ｉ （ｔ）进行比较，ｉｆ Ｉｉ（ｔ） ＞Ｉ ∗ ｉ （ｔ），则 ｘｉ（ｔ）为精英个体 Ｎｉ（ｔ），记精英群体大小为 ｐ（ｐ＞１，ｉ ＝ １，２，…，ｐ）。 设精英个体的区间范围为 ［ａｊ（ｔ），ｂｊ（ ｔ）］ （若精英群体的规模小于 ２，则在 ｘｉ （ｔ）（ｉ ＝ １，２，…，ｎ）构成的区间上求 ｘｉ（ ｉ ＝ １，２，…， ｎ）的反向解）。 ｅｌｓｅｘｉ（ｔ）是普通个体，普通群体大小 为ｎ－ｐ。 ５）用式（７）在精英个体构成的区间［ａｊ（ｔ），ｂｊ（ｔ）］ 上计算普通群体的反向解 ｘｉ ′（ｔ）（ｉ ＝１，…，ｎ－ｐ）。 ６）精英群体和普通群体的反向解群体构成当 前新种群，计算新种群的亮度，并进行排序，选出最 优的个体 ｘｂｅｓｔ（ｔ） 。 ７）用式（３）计算每个个体 ｉ 和最优个体 ｘｂｅｓｔ（ｔ） 之间的距离 Ｒｉｊ（ｔ） 。 ８）用式（２）计算吸引力 βｉｊ（ｔ）。 个体 ｉ 向最优个 体 ｘｂｅｓｔ（ｔ） 移动，用公式（６）更新位置 ｘ ｎｅｗ ｉ （ｔ） 。 ９）用式（１１）计算 α（ ｔ），并用式（９）、（１０）对最 优个体进行位置扰动。 １０）算法搜索结束，输出全局最优解和最优 位置。 若种群的规模为 ｎ，空间维度为 Ｄ，则种群初始 化的时间复杂度为 Ｏ（ｎＤ）；从迭代开始到结束的整 个过程中，迭代的次数为 ｔ，其中 ３）是计算种群的亮 度，复杂度为 Ｏ（ｎＤｔ）；４） ～９）是建立新的种群，并进 行位置的更新，复杂度为 Ｏ（（６ｎ－ｐ）·Ｄｔ），ｐ（ｐ≤ｎ） 是精英群体的规模。 因此本文算法的时间复杂度 为 Ｏ（ｎＤｔ）。 ３ 实验仿真及分析 ３．１ 测试函数 在仿真实验中，本文采用下列 ５ 个常用的标准 测试函数对算法进行测试。 １） Ｓｐｈｅｒｅ 函数 ｆ １（ｘ） ＝ ∑ ｄ ｉ ＝ １ ｘ ２ ｉ ， ｘｉ ∈ （ － ５．１２，５．１２） Ｓｐｈｅｒｅ 函数为多维单峰值函数，在点 ｘ ＝ （０，０，…， ０）处取得极小值 ０。 ２） Ｒｏｓｅｎｂｒｏｃｋ 函数 ｆ ２（ｘ） ＝ ∑ ｄ－１ ｉ ＝ １ ［１００ （ｘｉ＋１ － ｘ ２ ｉ ） ２ ＋ （ｘｉ － １） ２ ］， ｘｉ ∈ （ － ２．０４８，２．０４８） Ｒｏｓｅｎｂｒｏｃｋ 函数为多维病态二 次 函 数， 在 点 ｘ ＝ （１，１，…，１）处取得全局极小值 ０。 ３） Ａｃｋｌｅｙ 函数 ｆ ３（ｘ） ＝ － ２０ｅ －０．２ １ ｄ ∑ ｄ ｉ ＝ １ ｘ ２ ｉ － ｅ １ ｄ ∑ ｄ ｉ ＝ １ ｃｏｓ（２πｘ ｉ ） ＋ ２２．７１２ ８， ｘｉ ∈ （ － ３２．７，３２．７） Ａｃｋｌｅｙ 函数为多维多峰值函数，在点 ｘ ＝ （０，０，…， ０）处取得全局极小值 ０。 ４） Ｇｒｉｅｗａｎｋ 函数 ｆ ４（ｘ） ＝ ∑ ｄ ｉ ＝ １ ｘ ２ ｉ ４ ０００ － ∏ ｄ ｉ ＝ １ ｃｏｓ（ ｘ ｉ ｉ ） ＋ １， ｘｉ ∈ （ － ６００，６００） Ｇｒｉｅｗａｎｋ 函数为多维多峰值函数，在点 ｘ ＝ （ ０，０， …，０）处取得全局极小值 ０。 ５） Ｒａｓｔｒｉｇｉｎ 函数 ｆ ５（ｘ） ＝ １０ｄ ＋ ∑ ｄ ｉ ＝ １ ［ｘ ２ ｉ － １０ｃｏｓ（２πｘｉ）］， ｘｉ ∈ （ － ５．１２，５．１２） Ｒａｓｔｒｉｇｉｎ 函数为多维多峰值函数，在点 ｘ ＝ （０，０，…， ０）处取得全局极小值 ０。 ３．２ ＥＯＦＡ 算法的测试结果 实验环境为：Ｉｎｔｅｒ Ｃｏｒｅ（ ＴＭ） ｉ５⁃２４５０Ｍ ＣＰＵ＠ ２．５０ ＧＨｚ，内存 ４ ＧＢ，Ｗｉｎｄｏｗ７ 操作系统，ＭＡＴＬＡＢ ７．８． ０ 版本。 分别选取标准的 ＦＡ 算法［１］ ，ＬＦＡ 算 法［２０］ ，ＭＦＡ 算法［２１］ 与本文提出的 ＥＯＦＡ 算法在 ５ 种标准的测试函数上进行实验比较，种群规模 ｎ 取 ４０，初始 α 取值为 ０．９８。 维度 Ｄ 取 １０ 和 ３０，γ ＝ １， ＭＦＡ 算法中方向向量的个数 ｍ 取 ３０，其他参数分 别取Ｔ ＝ １ ０００，β ＝ １。 分别记录 ４ 种算法迭代 １ ０００ 次并在测试函数上独立运行 ４０ 次的最优值、最差值 和平均值，结果如表 １ 所示。 第 ５ 期 魏伟一，等：一种精英反向学习的萤火虫优化算法 ·７１３·