·712· 智能系统学报 第12卷 x:(t)对应的反向解，其中 N(t))。[a(t),b(t)]为精英群体所构造的区间， xi(t)=k(a;(t)+b(t))-x(t) (6) 当反向解越过边界[a(t),b,(t)]时，可以用下列方 式中：a(t)=min(x,(t)),b(t)=max(x(t)为当前 式进行重置： 搜索区域的最小值和最大值，其随着迭代的改变， xi=a,(t),x写<a,(t) (8) 而发生变化；i∈[1，n]J∈[1，D];n是种群大小； xi=b(t),xi>b(t) D是解空间的维数：k是介于0~1的随机数。 2.3差分演化变异策略 2.2精英反向学习 在FA中，群体中的最优个体x✉引导群体向最 反向解的引入，可以扩大算法的搜索区域，但 优方向移动，如果x陷人局部最优，群体的移动终 对那些原解适应度值大于反向解适应度值的个体， 止，即收敛到局部最优，则群体无法到达全局最优。 对其进行反向区域的搜索，浪费时间，则应加强其 因此，本文为了求得全局最优解，引入差分变异策 领域搜索。而对原解适应度值小于反向解适应度 略，对x进行变异操作，使其陷入局部最优的概率 值的个体，对其进行反向区域的搜素价值要高于其 减小。 领域的开发价值。因此，本文将原解适应度值小于 本文要对最优个体进行变异操作，使其跳出局 反向解适应度值的个体作为研究对象，求其反向 部最优的概率增大，因此选择“DE/best/1”作为变 解，既可以扩大搜素区域，也能有效避免盲目搜索 异操作，公式为 带来的时间浪费。 Cg=xe,+F·(xn1J-xa2） (9) 同时，本文为了提高算法的收敛速度，首先在当前 式中：x,为最优个体的第j维；F是缩放系数；n1、 解所构造的空间中，求所有当前解的反向解：然后，通 n2是[1，n]上两个互不相同的随机整数，代表不同 过比较适应度值，选出那些原解适应度值大于反向解 个体的下标；j是维度：c是变异后的值。 适应度值的个体组成精英群体：最后，在精英群体构造 将变异后的个体和父代个体进行如下交叉 的新的搜索空间上，再求原解适应度值小于反向解适 操作： 应度值的个体的反向解。如果算法能收敛到全局最优 Ci' rand[0,1]≤CR或者j=rand(1,D) 解，则精英群体所形成的搜索区间必将收敛到最优解 .j' 其他 所在的区域，这样充分利用了精英群体的有效信息， (10) 在精英群体所构成的动态定义区间上生成反向解，引 式中：x为新生成个体的第j维；rand[0,1]是 导搜索向最优解靠近。 [0,1]的随机数：CR是交叉概率；rand(1,D)是[1， 定义3精英(elite)。设x,(t)=(xa,x2,…, D]的一个随机整数；参数F、CR分别设为1和0.1。 xD)是第1次迭代的一个解，其反向解为x(t), 2.4自适应步长 f(x)为目标函数。当f(x,(t)≥f八x:(t))时，称 在原始萤火虫算法FA中，步长因子α在每次 x,(t)为第t次迭代的精英个体，记为N,(t);当 迭代时保持不变。但是当α取较大的值时，增强了 f八x:(t))<f八x(t))时，称x,(t)为第t次迭代的普 算法的全局搜索能力，降低了算法的收敛速度和搜 索的精度：当α取较小的值时，有利于算法的局部 通个体，记为Q(t)。若精英群体的规模为p(1< p≤n,n为解的总个数)时，则p个精英个体可表示 搜索，提高了搜索精度和算法的收敛速度。在算法 为{N(t),N2(t),…,Nn(t)}C{x(t),x2(t),…, 迭代前期，较大的α有利于算法的全局搜索：在后 期，较小的α显得更有利。因此本文对α采用动态 x(t)}。 递减的方式，计算公式为 定义4精英反向解(elite opposite solution)i。 t 设x为普通个体x:在j维上的值，则其反向解可定 T- 10 义为 a,1=a·（T),t=1,2,…,T(11) xi(t)=k(a;(t)+b(t))-x(t) (7)》 式中t为迭代次数。 式中：k是介于0~l的随机数；a(t)=min(V,(t), 2.5E0FA算法描述 N2(t),…,N(t)）;b(t)=max(N(t),N2(t),…, EOFA算法流程如下。ｘｉ（ｔ）对应的反向解，其中 ｘ ∗ ｉｊ （ｔ） ＝ ｋ（ａｊ（ｔ） ＋ ｂｊ（ｔ）） － ｘｉｊ（ｔ） （６） 式中： ａ（ｔ） ＝ ｍｉｎ（ｘｉｊ（ｔ）），ｂ（ｔ） ＝ ｍａｘ（ｘｉｊ（ｔ）） 为当前 搜索区域的最小值和最大值，其随着迭代的改变， 而发生变化； ｉ ∈ ［１，ｎ］，ｊ ∈ ［１，Ｄ］；ｎ 是种群大小； Ｄ 是解空间的维数；ｋ 是介于 ０～１ 的随机数。 ２．２ 精英反向学习 反向解的引入，可以扩大算法的搜索区域，但 对那些原解适应度值大于反向解适应度值的个体， 对其进行反向区域的搜索，浪费时间，则应加强其 领域搜索。 而对原解适应度值小于反向解适应度 值的个体，对其进行反向区域的搜素价值要高于其 领域的开发价值。 因此，本文将原解适应度值小于 反向解适应度值的个体作为研究对象，求其反向 解，既可以扩大搜素区域，也能有效避免盲目搜索 带来的时间浪费。 同时，本文为了提高算法的收敛速度，首先在当前 解所构造的空间中，求所有当前解的反向解；然后，通 过比较适应度值，选出那些原解适应度值大于反向解 适应度值的个体组成精英群体；最后，在精英群体构造 的新的搜索空间上，再求原解适应度值小于反向解适 应度值的个体的反向解。 如果算法能收敛到全局最优 解，则精英群体所形成的搜索区间必将收敛到最优解 所在的区域［１６］ ，这样充分利用了精英群体的有效信息， 在精英群体所构成的动态定义区间上生成反向解，引 导搜索向最优解靠近。 定义 ３ 精英（ ｅｌｉｔｅ）。 设 ｘｉ（ｔ） ＝ （ｘｉ１ ，ｘｉ２ ，…， ｘｉＤ） 是第 ｔ 次迭代的一个解，其反向解为 ｘ ∗ ｉ （ｔ）， ｆ（ｘ） 为目标函数。 当 ｆ（ｘｉ（ｔ）） ≥ ｆ（ｘ ∗ ｉ （ｔ）） 时，称 ｘｉ（ｔ） 为第 ｔ 次迭代的精英个体， 记为 Ｎｉ（ｔ） ； 当 ｆ（ｘｉ（ｔ）） ＜ ｆ（ｘ ∗ ｉ （ｔ）） 时，称 ｘｔ（ｔ） 为第 ｔ 次迭代的普 通个体，记为 Ｑｉ（ｔ）。 若精英群体的规模为 ｐ（１ ＜ ｐ ≤ｎ，ｎ 为解的总个数） 时，则 ｐ 个精英个体可表示 为 ｛Ｎ１（ｔ），Ｎ２（ｔ），…，Ｎｐ（ｔ）｝ ⊆ ｛ｘ１（ｔ），ｘ２（ｔ），…， ｘｎ（ｔ）｝。 定义 ４ 精英反向解（ｅｌｉｔｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ） ［１８］ 。 设 ｘｉｊ 为普通个体 ｘｉ 在 ｊ 维上的值，则其反向解可定 义为 ｘ ∗ ｉｊ （ｔ） ＝ ｋ（ａｊ（ｔ） ＋ ｂｊ（ｔ）） － ｘｉｊ（ｔ） （７） 式中：ｋ 是介于 ０ ～ １ 的随机数； ａｊ（ｔ） ＝ ｍｉｎ（Ｎ１ｊ（ｔ）， Ｎ２ｊ（ｔ），…，Ｎｐｊ（ｔ））；ｂｊ（ｔ） ＝ ｍａｘ（Ｎ１ｊ（ｔ），Ｎ２ｊ（ｔ），…， Ｎｐｊ（ｔ））。 ［ａｊ（ｔ），ｂｊ（ｔ）］ 为精英群体所构造的区间， 当反向解越过边界 ［ａｊ（ｔ），ｂｊ（ｔ）］ 时，可以用下列方 式进行重置： ｘ ∗ ｉｊ ＝ ａｊ（ｔ）， ｘ ∗ ｉｊ ＜ ａｊ（ｔ） ｘ ∗ ｉｊ ＝ ｂｊ（ｔ）， ｘ ∗ ｉｊ ＞ ｂｊ（ｔ） { （８） ２．３ 差分演化变异策略 在 ＦＡ 中，群体中的最优个体 ｘｂｅｓｔ引导群体向最 优方向移动，如果 ｘｂｅｓｔ 陷入局部最优，群体的移动终 止，即收敛到局部最优，则群体无法到达全局最优。 因此，本文为了求得全局最优解，引入差分变异策 略，对 ｘｂｅｓｔ 进行变异操作，使其陷入局部最优的概率 减小。 本文要对最优个体进行变异操作，使其跳出局 部最优的概率增大，因此选择“ＤＥ ／ ｂｅｓｔ ／ １” 作为变 异操作，公式为 ｃｉｊ ＝ ｘｂｅｓｔ， ｊ ＋ Ｆ· ｘｎ１ ，ｊ － ｘｎ２ ，ｊ ( ) （９） 式中： ｘｂｅｓｔ，ｊ 为最优个体的第 ｊ 维； Ｆ 是缩放系数； ｎ１ 、 ｎ２ 是 ［１，ｎ］ 上两个互不相同的随机整数，代表不同 个体的下标； ｊ 是维度；ｃｉｊ是变异后的值。 将变异后的个体和父代个体进行如下交叉 操作： ｘ － ｂｅｓｔ， ｊ ＝ ｃｉｊ， ｒａｎｄ［０，１］ ≤ ＣＲ 或者 ｊ ＝ ｒａｎｄ（１，Ｄ） ｘｂｅｓｔ， ｊ， 其他 { （１０） 式中：ｘ － ｂｅｓｔ，ｊ 为新生成个体的第 ｊ 维； ｒａｎｄ［０，１］ 是 ［０，１］的随机数；ＣＲ 是交叉概率；ｒａｎｄ（１，Ｄ）是［１， Ｄ］的一个随机整数；参数 Ｆ、ＣＲ 分别设为 １ 和 ０．１。 ２．４ 自适应步长 在原始萤火虫算法 ＦＡ 中，步长因子 α 在每次 迭代时保持不变。 但是当 α 取较大的值时，增强了 算法的全局搜索能力，降低了算法的收敛速度和搜 索的精度；当 α 取较小的值时，有利于算法的局部 搜索，提高了搜索精度和算法的收敛速度。 在算法 迭代前期，较大的 α 有利于算法的全局搜索；在后 期，较小的 α 显得更有利。 因此本文对 α 采用动态 递减的方式，计算公式为 αｔ＋１ ＝ αｔ·（ Ｔ － ｔ １０ Ｔ ）， ｔ ＝ １，２，…，Ｔ （１１） 式中 ｔ 为迭代次数。 ２．５ ＥＯＦＡ 算法描述 ＥＯＦＡ 算法流程如下。 ·７１２· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷