区间分划的加细和上下和的关系 设分划：a=<x<…<x1<xn=b,子区间[x-1,x]长度记为△g=x,-x, 在上述分划基础上再增加一个分点，称为分划的加细。不失一般性，可设 在第个区间内增加一个分点x,即=x<…<x<x<x,<…<xn=b,此时， 前者下和中的一项m△被后者(-x小()+（区-x)/(✉所代替， 但(x-EJ因)+（飞-）f)2(-m+(飞-)m=mA 由此下和随分划的加细而单调上升，同理上和随分划的加细而单调下降。 Darboux.上和的下确界称为f在a,b]上的上积分5，Darboux下和的上确 界称为f在a,b]上的下积分3，由上下和随分划加细的单调性，有 mS=3, lim S -3区间分划的加细和上下和的关系           * * 1 0 1 1 1 1 * * 0 1 * * 1 , , * 1 , [ , ] , , inf inf i i i n n i i i i i i i n i i i i x x x x i a x x x x b x x x x x i x x x x x x b m x x x f x x x f x x x                                         设分划： 子区间 长度记为 在上述分划基础上再增加一个分点，称为 。不失一般性，可设 在第 个区间内增加一个分点 ，即 此时， 前者下和中的一项 被后者 所代替， 但 分划的加细           * * 1 * * * 0 1 , , 0 nf inf = Darbou lim lim x [ , ] Darboux [ , ] i i i i i i i i i x x x x f x x x f x x x S m x x m m x f a b a S f b                            由此 ，同理 。 上和的下确界称为 在 上的上积分 ， 下和的上确 界称为 在 上的下积分 ，由上下和随分划加细的单调性， 下和随分划的加细而单调上升 有 上和随分划的加细而单调下降