2:0sr≤2a,0≤0≤z,0≤0≤2x, 由三重积分的性质知V=adz, V= de do rsin dr T SIn q (√2-1a 补充:利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意: 1、积分区域关于坐标面的对称性; 2、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性 一般地,当积分区域Ω关于xoy平面对称,且被积函数∫(x,y,z)是关于二的 奇函数,则三重积分为零,若被积函数f(x,y,)是关于的偶函数,则三重积分 为9在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍 例5利用对称性简化计算h(x2+y2+2+1)txd其中积分区域 Ω2={(x,y,2)|x2+y2+z2≤l} 解积分域关于三个坐标面都对称,被积函数是Z的奇函数 cIn( x +z2+1) dxdvdz=08 2 2 z = x + y , 4    = , 0 2 , 4 : 0 2 , 0      r  a     由三重积分的性质知   V = dxdydz,    = a V d d r dr 2 0 2 0 2 0 sin 4       =  4 0 3 3 ( 2 ) 2 sin    d a ( 2 1) . 3 4 3 =  − a 补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性． 一般地，当积分区域  关于 xoy 平面对称，且被积函数 f (x, y,z) 是关于 z 的 奇函数，则三重积分为零，若被积函数 f (x, y,z) 是关于 z 的偶函数，则三重积分 为  在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍. 例 ５ 利用对称性简 化计算   + + + + + + dxdydz x y z z x y z 1 ln( 1) 2 2 2 2 2 2 其中积 分区域 {( , , )| 1} 2 2 2  = x y z x + y + z  . 解 积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是 Z 的奇函数, 0. 1 ln( 1) 2 2 2 2 2 2 = + + + + + +   dxdydz x y z z x y z