第三章拉格朗日力学(下) (参阅教材第二章、第五章) 3.5.拉格朗日方程的研究 1.守恒律和时空对称性之间的关系(参阅教材57-59页) 物理规律和时空结构之间存在密切的联系。下面我们来分析守恒律和时空对称性之间的关系。我们在这 里考虑的时空对称性是指时间、空间的均匀性和空间的各向同性,也就是在经历时间、空间平移或空间 转动后物理规律保持不变的性质。而力学规律的不变性体现在L的不变性 为了研究空间的对称性,(不考虑时间的变化,t=0)只考虑由变更δqn,6引起的L的变更OL SL= 上式的证明利用了拉格朗日方程,St=0,以及,6q=q。(即和δ可交换次序)。 qn=6in的证明如下 dqn表示在时间间隔a中发生的位移,dqn表示在某一时刻t的变更 qn+dn+6(qn+n)=qn+0qn+d(qn+oqn)→6(n)=d(oqn)即d和δ可交换次序 dqa_8(dqa)dqa 6(dn)d(Sqa) dad(St) dt d(o%)-0=(gn) 上式用直角坐标表示为6L=4①m5 (1)空间均匀性,即空间平移不改变体系的力学性质,即δL=0。空间平移即δF=E为常量,所以 d d2(m:6) .g=0,P=∑m是动量。由于E的任意性,得出=0,即F是常 矢量,动量守恒。 (2)空间各向同性,即空间转动不改变体系的力学性质,即δL=0。 考虑一任意的无穷小转动6 的任意性,得出L为常量,即角动量守恒。 (3)时间均匀性,即时间平移不改变体系的动力学性质。要求L不显含t,即一=0,还要求约束不随 时间改变,即约束稳定,(正是前述得到能量守恒的条件)从而得到能量守恒1 第三章 拉格朗日力学 （下） （参阅教材第二章、第五章） 3．5．拉格朗日方程的研究 1．守恒律和时空对称性之间的关系（参阅教材 57－59 页） 物理规律和时空结构之间存在密切的联系。下面我们来分析守恒律和时空对称性之间的关系。我们在这 里考虑的时空对称性是指时间、空间的均匀性和空间的各向同性，也就是在经历时间、空间平移或空间 转动后物理规律保持不变的性质。而力学规律的不变性体现在 L 的不变性。 为了研究空间的对称性，（不考虑时间的变化， t = 0 ）只考虑由变更 q q ,     引起的 L 的变更  L 1 1 [ ] s s L L d L L q q q q q dt q             = =      = + =          上式的证明利用了拉格朗日方程， t = 0 ，以及 d q q dt     = （即 d dt 和  可交换次序）。 d q q dt     = 的证明如下： dq 表示在时间间隔 dt 中发生的位移， q  表示在某一时刻 t 的变更 q dq q dq q q d q q dq d q           + + + = + + +  =      ( ) ( ) ( ) ( ) 即 d 和  可交换次序。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 dq dq dq dt d q dq d t d d q q q dt dt dt dt dt dt dt                   = = − = − = − =     上式用直角坐标表示为 1 [ ] N i i i i d L m r r dt   = =   ， （1）空间均匀性，即空间平移不改变体系的力学性质，即L=0。空间平移即 i   r = 为常量，所以 ( ) 1 0 N i i i i d dP L m r r dt dt    = =  =  =  ， = = N i i i P m r 1    是动量。由于   的任意性，得出 0 dP dt = ，即 P  是常 矢量，动量守恒。 （2）空间各向同性，即空间转动不改变体系的力学性质，即  L = 0 。 考虑一任意的无穷小转动   i i   r r =  ， ( ) 1 1 0 N N i i i i i i i d d dL L m r r r mr dt dt dt     = =     =   =   =  =           L 为角动量。由于   的任意性，得出 L 为常量，即角动量守恒。 （3）时间均匀性，即时间平移不改变体系的动力学性质。要求 L 不显含 t，即 = 0   t L ，还要求约束不随 时间改变，即约束稳定，（正是前述得到能量守恒的条件）从而得到能量守恒