2.拉格朗日函数的不确定性(参阅教材§5.3.) (1)由于拉格朗日力学的理论体系对任意的广义坐标都是成立的,拉格朗日方程在广义坐标的变换 下具有不变性。也就是说 如果拉格朗日函数L(q,q,)给出某一个力学体系满足的拉格朗日方程 d a aL 0,a=1.2 dt aq 考虑坐标变换:Q2=f(q,1)a=12,…s要求有逆变换:q=(Q,Q2;…,Q,1) 即要求△=2(1… (q2…,q) ≠0于是坐标变换使拉格朗日函数改变为新的拉格朗日函数(QQ.) L(q1)=((,d(2g))=i(a 则这个力学体系满足L(QQ)给出的拉格朗日方程,daL-2=0a=12…5 dto。oQ 为了理解得更加具体,我们通过公式的推导,来验证上面的结论: 由坐标变换式得:qn= aqa o aqa a进一步可得经典拉格朗日关系 以及 y 为证明新的拉格朗日方程成立,先计算:=∑=∑n, al d aq dt ao dt aqa a@ aqa dt ao dt aL 忍San+n d a aL d aL-aL aqe do 于是,如果原来的拉格朗日方程成立daL_如=0,B=12,…5 则可导出新的拉格朗日方程也成 dt a0 a (当然,由于广义坐标不同,新旧拉格朗日方程的具体形式有所不同。)2 2．拉格朗日函数的不确定性 （参阅教材§5．3．） （1）由于拉格朗日力学的理论体系对任意的广义坐标都是成立的，拉格朗日方程在广义坐标的变换 下具有不变性。也就是说： 如果拉格朗日函数 L q q t ( , , ),给出某一个力学体系满足的拉格朗日方程 0 d L L dt q q     − =   ，  =1,2, ,s 考虑坐标变换： Q f q t s   = = ( , , 1,2, , )  要求有逆变换： q Q Q Q t   =  ( 1 2 , , , , s ) 即要求 ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , 0 , , , s s f f f q q q   =   于是坐标变换使拉格朗日函数改变为新的拉格朗日函数 L Q Q t ( , , ) L q q t L Q t Q Q t t L Q Q t ( , , , , , , , , , ) =   = ( ( ) ( ) ) ( ) 则这个力学体系满足 L Q Q t ( , , ) 给出的拉格朗日方程： 0, 1,2, , d L L s dt Q Q      − = =   为了理解得更加具体，我们通过公式的推导，来验证上面的结论： 由坐标变换式得： 1 s q q q Q Q t      =    = +    进一步可得经典拉格朗日关系： q q Q Q       =   以及 2 2 1 1 s s d q q q q q q Q Q dt Q Q Q t Q Q Q t Q                  = =          = + = + =                  为证明新的拉格朗日方程成立，先计算： 1 1 s s L L L q q Q q Q q Q          = =      = =        ， 1 1 d L d L L d d L L s s q q q q dt dt q Q q dt Q dt q Q q Q Q        = =                      =  + =  +                        1 s L L L q q Q q Q q Q         =        = +             1 s d L L d L L q dt Q Q dt q q Q        =         − = −             于是，如果原来的拉格朗日方程成立： 0 d L L dt q q     − =   ，  =1,2, ,s 则可导出新的拉格朗日方程也成立： 0, 1,2, , d L L s dt Q Q     − = =   （当然，由于广义坐标不同，新旧拉格朗日方程的具体形式有所不同。）