临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 u(x)v(x)dr=u(x)v(x)-u'(x)v(x)dx u(x)dv(x)=u(x)(x)- v(x)du(x) 基本要求 1知道定积分的客观背景一一曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问 题的数学思想方法:深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利 定义解决问题; 2.深刻理解微积分基本定理的意义,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质,掌握可积的充要条件及可积函数类 能独立地证明可积性的问题;理解并熟练地应用定积分的性质 4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法,并能解决计算问题. 四、典型例题 例1已知函数f(x)=x2在区间p小>0)上可积,用定义求积分xa 解:取n等分区间[0b作为分法r 取￡;=x,= ib n ≤i≤m)xdx=lim∑xAx=m∑ ib /Sr=l/). n(n+1)2n+1) 例2计算Jn=sin"xdt=lcos"xtr 解,-m-(0=m0+1os如m临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ∫ ∫ ′ = − ′ b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx ， 或 ∫ ∫ = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 。 三、基本要求 1 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问 题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用 定义解决问题； 2. 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 3. 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类， 能独立地证明可积性的问题；理解并熟练地应用定积分的性质； 4. 熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 四、典型例题 例 1. 已知函数 ( ) 在区间 2 f x = x [0,b] (b > 0)上可积 .用定义求积分 x dx . b ∫ 0 2 解： 取n 等分区间[0,b]作为分法T , n b x ∆ i = . 取 n ib x ξ i = i = ( ) 1 ≤ i ≤ n . 3 1 2 2 1 1 2 0 2 ∫ lim∑ lim∑ lim∑= →∞ = →∞ = →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ∆ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∆ = n i n i n i n i n i i n b n ib x i n ib x dx x x ( )( ) 3 1 2 1 6 1 lim lim 3 3 1 2 3 b n n n n b i n b n n i n ⎟ ⋅ + + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = →∞ = →∞ ∑ ＝ . 例 2 计算 ∫ ∫ = = 2 0 2 0 sin cos π π J xdx xdx n n n . 解： ( ) ( ) ∫ ∫ − − − = = − + 2 0 ' 2 1 0 1 2 0 1 ' sin cos sin cos cos sin π π π J x x dx x x x x dx n n n n - 3 -