临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第九章定积分 基本概念 1.设闭区间[ab]内有n-1个点,依次为 a=xo0,彐T,使得S(T)-s(T)0,3T,使得∑Ax<E。 5.若函数∫(x)为[a,b]上的连续函数,则∫(x)在[a,b上可积
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第九章 定积分 一、基本概念 1. 设闭区间[ a.b ]内有 n −1个点，依次为 a = x0 0，∃T ，使得 S(T ) − s(T ) 0，∃T ，使得∑ω ∆ < ε 。 = i n i i x 1 5. 若函数 f (x) 为[a,b]上的连续函数，则 f (x) 在[a,b]上可积。 - 1 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 6.若∫(x)是区间[a,b上只有有限个间断点的有界函数,则∫(x)在[a,b]上可积。 7.若f(x)是区间[ab]上的单调函数,则f(x)在[a,b]上可积。 8.若∫(x)在[a,b上连续,则至少存在一点∈[an,b],使得 x)dx=f(5(b-a) 积分第一中值定理的几何意义:如右图,若f(x)在[a,b上非负连续,则y=f(x)在 [a,b]上的曲边梯形的面积等于以∫(5) b-aJf(x)为高,[a,b]为底的矩形的面积。 9.若∫(x)和g(x)都在[a,b]上连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则至少存在一点 5∈[ab],使得[f(x)g(x)dx=f(5)g(x)h 10若f(x)在a上可积,则(x)=「f()在ab上连续 1若函数f(x)在[ab上连续,则x)=fot在b上处处可导,且 ()=d=f(x),x∈[a 12.设∫(x)在[a,b]上可积 (1)若函数g(x)在[a,b]上单调递减,且g(x)≥0,则彐ξ∈[a,b],使得 ∫f(xgx)x=g(a)(x) (2)若函数g(x)在[a,b]上单调递增,且g(x)≥0,则彐η∈[a,b,使得 f(x)g(x)dx=g(b)/(x)dx 13.设函数∫(x)在[a,b]上可积,函数g(x)在[a,b]上单调,则彐5∈[a,b,使得 )g(x)dx=g(a)'f(x)dx+g(b).f(x)dx 14.若函数∫(x)在[a,b]上连续,(x)在[a,上连续可微,且满足 q(a)=a,(B)=b,a≤(1)≤b,t∈[a,B 则有定积分的换元积分公式:[f(xdx=[f(o()(n)t=[,f(()dp(t) 15.若u(x)、v(x)为[a,b]上的连续可微函数,则有定积分的分部积分公式
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 6. 若 f (x) 是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则 f (x) 在[a,b]上可积。 7. 若 f (x) 是区间[a,b]上的单调函数，则 f (x) 在[a,b]上可积。 8. 若 f (x) 在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ ∈[a,b]，使得 ∫ = − b a f (x)dx f (ξ )(b a)。 积分第一中值定理的几何意义： 如右图，若 在 上非负连续，则 在 上的曲边梯形的面积等于以 f (x) [a,b] y = f (x) [a,b] ∫ − = b a f x dx b a f ( ) 1 (ξ ) 为高，[a,b]为底的矩形的面积。 9. 若 f (x) 和 g(x) 都在[a,b] 上连续，且 g(x) 在[a,b] 上不变号，则至少存在一点 ξ ∈[a,b]，使得 ∫ ∫ = b a b a f (x)g(x)dx f (ξ ) g(x)dx 10. 若 f (x) 在[a,b]上可积，则Φ = ∫ 在 上连续。 x a (x) f (t)dt [a,b] 11. 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，则 Φ = ∫ 在 上处处可导，且 x a (x) f (t)dt [a,b] ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a Φ′ = = ∫ ， x ∈[a,b] 。 12. 设 f (x) 在[a,b]上可积。 （1） 若函数 g(x) 在[a,b]上单调递减，且 g(x) ≥ 0 ，则∃ξ ∈[a,b]，使得 ∫ ∫ = 。 b a a f x g x dx g a f x dx ξ ( ) ( ) ( ) ( ) （2） 若函数 g(x) 在[a,b]上单调递增，且 g(x) ≥ 0 ，则∃η ∈[a,b]，使得 ∫ ∫ = 。 b a b f x g x dx g b f x dx η ( ) ( ) ( ) ( ) 13. 设函数 f (x) 在[a,b]上可积，函数 g(x) 在[a,b]上单调，则∃ξ ∈[a,b]，使得 ∫ ∫ ∫ = + b b a a f x g x dx g a f x dx g b f x dx ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 14. 若函数 f (x) 在[a,b]上连续，ϕ(x) 在[α, β ]上连续可微，且满足 ϕ(α) = a ，ϕ(β ) = b， a ≤ ϕ(t) ≤ b ，t ∈[α, β ]， 则有定积分的换元积分公式： ∫ ∫ = ′ = ∫ 。 β ε β α f (x)dx f (ϕ(t))ϕ (t)dt f (ϕ(t))dϕ(t) b a 15. 若u(x) 、v(x) 为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式： - 2 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 u(x)v(x)dr=u(x)v(x)-u'(x)v(x)dx u(x)dv(x)=u(x)(x)- v(x)du(x) 基本要求 1知道定积分的客观背景一一曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问 题的数学思想方法:深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利 定义解决问题; 2.深刻理解微积分基本定理的意义,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质,掌握可积的充要条件及可积函数类 能独立地证明可积性的问题;理解并熟练地应用定积分的性质 4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法,并能解决计算问题. 四、典型例题 例1已知函数f(x)=x2在区间p小>0)上可积,用定义求积分xa 解:取n等分区间[0b作为分法r 取￡;=x,= ib n ≤i≤m)xdx=lim∑xAx=m∑ ib /Sr=l/). n(n+1)2n+1) 例2计算Jn=sin"xdt=lcos"xtr 解,-m-(0=m0+1os如m
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ∫ ∫ ′ = − ′ b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx ， 或 ∫ ∫ = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 。 三、基本要求 1 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问 题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用 定义解决问题； 2. 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 3. 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类， 能独立地证明可积性的问题；理解并熟练地应用定积分的性质； 4. 熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 四、典型例题 例 1. 已知函数 ( ) 在区间 2 f x = x [0,b] (b > 0)上可积 .用定义求积分 x dx . b ∫ 0 2 解： 取n 等分区间[0,b]作为分法T , n b x ∆ i = . 取 n ib x ξ i = i = ( ) 1 ≤ i ≤ n . 3 1 2 2 1 1 2 0 2 ∫ lim∑ lim∑ lim∑= →∞ = →∞ = →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ∆ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∆ = n i n i n i n i n i i n b n ib x i n ib x dx x x ( )( ) 3 1 2 1 6 1 lim lim 3 3 1 2 3 b n n n n b i n b n n i n ⎟ ⋅ + + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = →∞ = →∞ ∑ ＝ . 例 2 计算 ∫ ∫ = = 2 0 2 0 sin cos π π J xdx xdx n n n . 解： ( ) ( ) ∫ ∫ − − − = = − + 2 0 ' 2 1 0 1 2 0 1 ' sin cos sin cos cos sin π π π J x x dx x x x x dx n n n n - 3 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 cl-sin2xkdx=(n-1)m-2-(n-1). 解得,="-J3,直接求得1-m=1,J-血=,于是 当n为偶数时,有 n-1n-331 n (n-1)(n-3)…531x(n-1 m(n-2)…422-m!2 当n为奇数时,有Jn= 例3证明不等式ln(n+1)<1++…+-<1+ln n 证明:考虑函数(x)=1.n≤x×<n+1n=12…,8(x)=1,xe[+ 易见对任何n,在区间[n+]上g(x)和∫(x)均单调,因此可积,且有g(x)≤f(x) 注意到g(x)≠(x),就有g(<∫八,而 dx glx 因此有lm(n+1)<∑2=1++…+
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 1 sin x 1 sin x dx n 1 J n 1 J 2 2 0 2 2 = − − = − − − − − ∫ π ； 解得 2 1 − − n = n J n n J ， 直接求得 sin 1 2 0 1 = = ∫ π J xdx ， 2 2 0 0 π π = = ∫ J dx . 于是, 当 n 为偶数时, 有 2 4 0 2 1 4 3 2 1 3 2 1 1 3 J n n n n J n n n n J n n J n n n ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ − = = − − ⋅ − = − = − − L L ( )( ) ( ) ( ) !! 2 1 !! 2 4 2 2 1 3 5 3 1 π π ⋅ − ⋅ = − ⋅ − − ⋅ ⋅ = n n n n n n L L ; 当 n 为奇数时, 有 ( ) !! 1 !! 3 2 5 4 2 1 3 1 n n J n n n n J n − ⋅ ⋅ ⋅ = − − ⋅ − = L . 例 3 证明不等式 ( ) n n n 1 ln 1 2 1 ln +1 < 1+ +L+ < + . 证明： 考虑函数 ( ) , 1, 1,2,L 1 = n ≤ x < n + n = n f x , ( ) = , ∈[ ] 1,+∞ 1 x x g x . 易见对任何 n , 在区间[ ] 1,n +1 上 g(x)和 f (x) 均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有 . 而 g( ) x ≤ f (x) g( ) x ≠ f (x) g( ) x dx f ( ) x dx n n ∫ ∫ + + < 1 1 1 1 ∫ ( ) ∑ ∫ ( ) ∑ ∫ ∑ = = + = + + = = = n i n i i i n i i i n i dx i f x dx f x dx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ) ln ln( 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = + + + + ∫ ∫ dx x n x g x dx n n n ) . 因此有 ( ) i n n n i 1 2 1 1 1 ln 1 1 + < ∑ = + + + = L . - 4 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 取f(x)= n+1 n≤xJ/(xk,而 g(xx=ln,∫f(x)x +一+… i+1 1+-+…+一0,有
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 取 ( ) , 1, 1,2,L 1 1 ≤ 1 1 g( ) x dx n， n ln 1 = ∫ ( ) i i n f x dx n i n i i i n 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + = + ∫ = ∑∫ ∑ − = − = + L ， ⇒ n n 1 ln 1 2 1 1+ +L+ − n b a , 有 - 5 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 1Mn)空/(pp 令n→∞,注意到函数f2(x)、g2(x)和f(x)(x)在区间]上的可积性以及函数 dp(x)=x2的连续性,就有积分不等式 八广(( 证法二:(用判别式法)对任何实数t,有((x)+g(x)2≥0 广(0()+g(1)k=广(2()+8()+20(xk()20,即 (y+(0()+2(20对任何实数成立即 上述关于t的二次不等式的解集为全体实数,于是就 (k2)+4Cr(k2O()0 [/(k((g( 例5f∈Ca,b]且∫>0.证明不等式 (-a 证明:取(x)=√(x),v(x)= G,对函数)和()应用5m7不等式 即得所证 例6设函数f(x)在区间1]上可积,试证明有不等式
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ( ) ( ) ( ) ( ) n b a g n b a f n b a f g n i n i i i n i i i − ⋅ − ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∑ ∑ = = = 1 1 2 2 2 1 ξ ξ ξ ξ ， 令 n → ∞ , 注意到函数 f (x)、 2 g (x) 2 和 f (x)g(x)在区间[a,b]上的可积性以及函数 ( ) 的连续性，就有积分不等式 2 Φ x = x f (x)g( ) x dx f ( ) x dx g ( ) x dx . b a b a b ∫a ∫ ∫ ≤ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 2 2 证法二：（用判别式法） 对任何实数t ，有( ( ) ( )) 0 2 tf x + g x ≥ ， ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) 2 ( ) ( )) 0 2 2 2 2 + = + + ≥ ∫ ∫ tf x g x dx t f x g x tf x g x dx b a b a , 即 对任何实数 成立.即 上述关于t 的二次不等式的解集为全体实数, 于是就 有 , ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 ⎟ + ≥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f x dx t f x g x dx t g x dx t 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0 2 2 2 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 即 f ( ) x g( ) x dx f ( ) x dx g ( ) x dx . b a b a b ∫a ∫ ∫ ≤ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 2 2 例 5 f ∈C[a,b] 且 f > 0 . 证明不等式 ( ) ( ) ( ) 2 b a f x dx f x dx b a b a ⋅ ≥ − ∫ ∫ . 证明： 取φ( ) x = f (x) ， ( ) f ( ) x x 1 ψ = . 对函数φ(x) 和ψ (x)应用 Schwarz 不等式, 即得所证 . 例 6 设函数 f (x) 在区间[0,1]上可积 . 试证明有不等式 - 6 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 [小广 证明:先用 Jensen不等式法证明不等式:对x1,x2…,xn∈R,有不等式 x+x +x5+…X 设T为区间回0]的n等分分法.由上述不等式,有 dill n/n 令n→∞,注意到函数()和f2(x)在区间p上的可积性以及函数和√x 的连续性,就有积分不等式小V 仿该例,可得到均值不等式、用 Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式 例7设函数f(x)在区间[+)上连续且()>0.o() 试证明:函数q(x)在区间(0,+∞)内严格递增 证明:g(x) xf(x)f()M-f(x)(r,而 ldt f(x)>0,在(0,x)内f(x-)>0,又f()x-1)连续,→
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 2 1 0 1 ∫0 ∫ f ≤ f . 证明： 先用 Jensen 不等式法证明不等式 : 对∀x1 , x2 ,L, xn ∈ R , 有不等式 n x x x n x x xn n 2 2 2 2 1 2 L 1 + +L ≤ + + + . 设T 为区间 [0,1]的 n 等分分法. 由上述不等式 , 有 n n i f n n i f n i n i 1 1 1 2 1 ∑ ∑ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ . 令 n → ∞ , 注意到函数 f (x) 和 f (x) 2 在区间[0,1]上的可积性以及函数 x 和 x 的连续性，就有积分不等式 2 1 0 1 ∫0 ∫ f ≤ f . 仿该例, 可得到均值不等式、用 Jensen 不等式法证明的某些不等式的积分形式 . 例 7 设函数 f (x) 在区间[0,+∞)上连续且 f (x) > 0 . ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = x x f t dt tf t dt x 0 0 ϕ . 试证明: 函数ϕ(x)在区间(0,+∞)内严格递增. 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∫ ∫ x x x xf x f t dt f x tf t dt f t dt x 0 0 2 0 ' 1 ϕ , 而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = − x x x x x xf x f t dt f x tf t dt f x xf t dt tf t dt f x f t x t dt 0 0 0 0 0 . f ( ) x > 0 , 在(0, x)内 f ( )t (x − t) > 0，又 f (t)(x − t) 连续 ， ⇒ - 7 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 [(x-M>0,→在区间(+)内(x)>0.因此o()在区间(0+x)内严格递 增 五、复习题 求下列不定积分: (2)(x+x+r+7)dt (4)J(2sinx-4cosx)dx 2+sinx cos 2x (6) cosx-sinx (7) 1+cos 2x (8)「(2+()-)tx (9)e(1-==)dx (10)J(cx-2 4√l 2.求一曲线y=f(x),它在点(x,f(x)处的切线的斜率为2x,且通过点(2,5) 3.已知f(x)满足给定的关系式,试求f(x): (1)xf(x)=1(x>0) f'(x) (x>0) (3)f(x)f(x)=1(x>0)
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ( )( ) 0 0 − > ∫ x f t x t dt ，⇒在区间 ( ) 0,+∞ 内 ( ) 0 ' ϕ x > . 因此ϕ(x)在区间 内严格递 增. (0,+∞) 五、复习题 1. 求下列不定积分： （1） 5 3 ( ) 4 x x + − x d ∫ x ； （2） 3 3 3 2 ( ) x x d x x + + + ∫ x ； （3） x 1 dx x + ∫ ； （4） (2sin x − 4cos x d) x ∫ ； （5） 2 2 2 sin cos x dx x + ∫ ； （6） cos 2 cos sin x dx x − x ∫ ； （7） 1 cos 2 dx + x ∫ ； （8） (2 ) 5 x e dx ∫ x 1 x +（ ）- 3 ； （9） (1 ) x x e e d x − − ∫ x ； （10） 2 2 2 1 (cos ) 1 4 1 x dx x x − − + − ∫ ； 2．求一曲线 y f = (x)，它在点( , x f x( )) 处的切线的斜率为 2 x ，且通过点(2,5) ． 3．已知 f x( ) 满足给定的关系式，试求 f x( ) ： (1) xf '(x) = 1 (x > 0)； '( ) (2) 1 ( 0) f x x x = > ； (3) f x( ) f '(x) = 1 ( x > 0) ； - 8 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (4)f(x)=1((x)>0) f(x) 4.用凑微分法求下列不定积分 (2) (3) (4) (5) Asin2x+Bcos x (6)「 Sinx cos x 1+sin·x (7) (9)r(arcsin x (10) sinx 5.用换元积分法求下列不定积分 (2) dx (x2+a2)2 (5) (6)
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ' 1 ( ( ) 0 ( ) f x f x f x ( ) (4) = > ) . 4．用凑微分法求下列不定积分： （1） 1 5 6 dx x − ∫ ； （2） 2 1 2 3 dx + x ∫ ； （3） 1 x x e dx + e ∫ ； （4） 2 1 2sin cos x dx x − ∫ ； （5） 2 2 sin cos dx A x B + x ∫ ； （6） 4 sin cos 1 sin x x dx + x ∫ ； （7） 2 (ln x) dx x ∫ ； （8） 2 1 sin . dx x x ∫ ； （9） 2 2 (arcsin ) 1 x dx − x ∫ ； （10） 1 s + in xdx ∫ ． 5．用换元积分法求下列不定积分： （1） 2 2 x − a dx ∫ ； （2） 2 5 x dx + −x x ∫ ； （3） 2 2 3 / ( ) dx x a + ∫ 2 ； （4） 2 1 dx x x + − ∫ ； （5） x 1 e d + ∫ x； （6） 3 1 x dx + x ∫ ； - 9 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (7) (8) dx 6.用分部积分法求下列不定积分 (1)x cos xd (2)In xdx (3)arctan xdx (4)arctan xdx ln (7)|xln(,-) (8) (9)I[In(In x)+r-]dx (10) d (11)(arcsin x) (12)|ln(x+√1+x2)a 7.求下列不定积分的递推公式 In=x"e"dx l=∫ (3)ln= (4)Im=(arcsin x)d3 求下列有理函数的不定积分
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 （7） 1 x dx + x ∫ ； （8） 2 3 2 ( 1) x dx x + + ∫ ． 6．用分部积分法求下列不定积分： （1） 2 x cos xdx ∫ ； （2） ln xdx ∫ ； （3） arctan xdx ∫ ； （4） x arctan xdx ∫ ； （5） 3 ln x dx x ∫ ； （6） 5 sec xdx ∫ ； （7） 1 ln( ) 1 x x dx x + − ∫ ； （8） 2 x sin xdx ∫ ； （9） 1 [ln(ln ) ] ln x dx x + ∫ ； （10） 2 ( 1) x xe dx x + ∫ ； （11） 2 (arcsin x) dx ∫ ； （12） 2 ln(x + +1 x )dx ∫ ； 7．求下列不定积分的递推公式： （1） n kx n I = x e dx ∫ ； （2） (ln ) n n I = x dx ∫ ； （3） tann n I = xdx ∫ ； （4） (arcsin ) n n I = x dx ∫ ． 8．求下列有理函数的不定积分： - 10 -