第六章 线性间与线性变换 上页 下页
上页 下页 第六章 线性空间与线性变换
61线性空间的定义与性质 定义1设V是一个非空集合,R为实数域,如果对任 意两个元素a,B∈V,总有唯一的一个元素y∈V与 之对应,称为a,B的和,记作y=a+对于任 个数k∈R与任一个元素a∈V,总有唯一的一个元 素∈V与之对应,称为与a的积,记为S=ka; 两种运算满足以下八条运算规律 (对任意a,B,y∈v,k,∈R): (1)a+B=B+a 上页 (2)(a+B)+y=a+(B+y) 下页
上页 下页 6.1 线性空间的定义与性质 定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任 意两个元素 ∈V ，总有唯一的一个元素 ∈V与 之对应，称为 的和，记作 ；对于任一 个数k∈R与任一个元素 ∈ V ，总有唯一的一个元 素 ∈V 与之对应，称为k与 的积，记为 ； = + , , = k 两种运算满足以下八条运算规律 （对任意 , , ∈ V , k, ∈R）： (1) + = + (2) ( + )+ = + ( + )
(3)在中有一个元素0(叫做零元素),使对任何 c∈V,都有a+0=a; (4)对任何a∈V,都有P中的元素B,使a+B=0 (B称为a的负元素); 5)la=a (6)k(a)=(kx)a (7)(k+x)a=ka+ (8)k(a+B)=ka+kB 就称为(实数域R上的)向量空间(或线性空间),中的元 素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).上页 下页
上页 下页 V就称为(实数域R上的)向量空间(或线性空间),V中的元 素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域). (3) 在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何 ∈V，都有 + 0 = ； (4) 对任何 ∈V，都有V中的元素 ，使 （ 称为 的负元素）； + = 0 (5) 1 = (6) k( ) = (k) (7) (k + ) = k + k (8) k( + ) = k + k
凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性 运算;凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线 性空间)。 注同量不一定是有序数组; 意·向量空间对加法与数量乘法(数乘)封闭 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律,不 定是有序数组的加法及数乘运算。 例实数域R上次数不超过n的多项式的全体,记为 Pxln,即Pxln={anxm+…+a1x+ aola, an-js…apa0∈R} 对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量 空间 上页 下页
上页 下页 凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性 运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（或线 性空间）。 •向量不一定是有序数组； •向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭； •向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不 一定是有序数组的加法及数乘运算。 注 意 ： 例 实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记为 P[x]n，即P[x]n ={an x n+…+a1 x 0+a0 |an , an-1 ,…a1 , a0∈R} 对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量 空间
例实数域R上次数n的多项式的全体,记为W,即 W={any+an}x1+…+ax+ aolan,a…,ap,a0∈R,且 an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成 R上的向量空间。因为0anxn+…+a1x+aD)=0gW,即 W对数乘不封闭。 例n个有序实数组成的数组的全体 S"={x=(x 12y…xn)xnx2…xn∈R} 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 k(xpyx2,…-xn)=(0,0,0 不构成R上的向量空间,因为1x=0,不满足运 算规律(5) 上页 下页
上页 下页 例 实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即 W={an x n+ an-1 x n-1 +…+a1 x+a0 |an , an-1 ,…a1 , a0∈R，且 an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成 R 上的向量空间。 因为0(an x n+…+a1 x 0+a0 )=0W，即 W对数乘不封闭。 例 n个有序实数组成的数组的全体 S n={x=(x1 ,x2 ,…xn )| x1 ,x2 ,…xn ∈R} 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 k•(x1 ,x2 ,…xn )=(0,0,…0) 不构成R上的向量空间，因为1x=0 ，不满足运 算规律（5）
性质1零元素是唯一的。 假设01,02是线性空间中的两个零元素,即对任何 a∈V,有a+01=a,a+02=a,于是特别有 02+01=02,01+02=01 故01=01+02=02+01=02 性质2任一元素的负元素是唯一的。 (c的负元素记作-a) 假设a有两个负元素B与y,即a+B=0。于是 B=B+0=B+(a+y)=(6+)+y=0+y=y 上页 下页
上页 下页 性质１ 零元素是唯一的。 假设01 ,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何 ∈V，有 ＋01 ＝ ， ＋02＝ ，于是特别有 02＋01 ＝02，01＋02 ＝01 故 01 ＝01＋02 ＝02＋01 ＝02 性质２ 任一元素的负元素是唯一的。 （ 的负元素记作 − ） 假设 有两个负元素 与 ，即 + = 0 。于是 = + 0 = + ( + ) = ( +)+ = 0 + =
性质30a=0,(-1)a=-a,k0=0. 因为a+0a=1a+0a=(1+0)a=1a=a 所以0a=0+0a=(-a+a)+0a a+(a+0a)=0 又因为a+(-1)a=1a+(-1a=[1+(-1)a=0a=0 所以(-1)a=0+(-1a=(-a+a)+(-1)a a+|a+(-1)ax]=-a+0=-a TiO k0=k[a+(1a]=ka+(k)a =[k+(-k)a=0a=0 上页 下页
上页 下页 性质３ 0 = 0 , ( − 1 ) = − , k 0 = 0 . 因为 + 0 = 1 + 0 = ( 1 + 0 ) = 1 = 所以 ( 0 ) 0 0 0 0 ( ) 0 = − + + = = + = − + + 又因为 + (− 1) = 1 + (− 1) = [1 + (− 1)] = 0 = 0 所以 = − + + − = − + = − − = + − = − + + − [ ( 1 ) ] 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) ( ) ( 1 ) 而 [ ( )] 0 0 0 [ ( 1 ) ] ( ) = + − = = = + − = + − k k k k k k
性质4如果ka=0,那么k=0或者a=0。假设k≠0, 那么 a=1=(,ka=,(ka)=,0=0 k k k 定义2R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V 的两种运算也构成数域R上的线性空间,称W为的 线性子空间(简称子空间)。 定理1线性空间的非空子集W构成的子空间的 充分必要条件是W对于中的两种运算封闭。 上页 下页
上页 下页 定义2 R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V 的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的 线性子空间（简称子空间）。 定理1 线性空间V的非空子集W构成V的子空间的 充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭。 性质4 如果 ,那么 或者 。假设 ， 那么 0 0 1 ( ) 1 ) 1 = 1 = ( = = = k ka k k a k a a k = 0 k = 0 = 0 k 0
62维数、基与坐标 定义3在线性空间中,如果存在n个元素a1,a2,…an, 满足:()a1,ax2,an线性无关。 (2)中任一元素a都可由a1,a1,…a线性表示,那 么,a1,a2,…an就称为线性空间的一个基,n称为线 性空间的维数。 维数为n的线性空间称为m维线性空间,记作Vn 如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量, 那么V就称为无限维的 上页 下页
上页 下页 6.2 维数、基与坐标 如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量， 那么V就称为无限维的。 维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。 定义3 在线性空间V中，如果存在n个元素 满足： (2) V中任一元素 都可由 线性表示，那 么， 就称为线性空间V的一个基，n称为线 性空间V的维数。 (1) 线性无关。 , , , 1 2 n n , , 1 2 n , , 1 2 n , , 1 2
若知a1,a2,…an为Ⅴ的一个基,则对任何a∈V, 都有一组有序数x1x2…xn使: c=x101+x2C2+…+xnCn 并且这组数是唯一的(否则a1,ax2,…a线性相关)。 反之,任给一组有序数xpx2y…xn,可唯一确定V中 元素: C=X1C1+x202+…+xnCn 这样,Vn的元素与有序数组(x1x2xn)之间存在着 种一一对应。 上页 下页
上页 下页 这样，Vn的元素与有序数组(x1 ,x2 ,…xn )之间存在着 一种一一对应。 若知 为V的一个基，则对任何 ， 都有一组有序数x1 ,x2 ,…xn使： 并且这组数是唯一的(否则 线性相关)。 n , , 1 2 V , = x1 1 + x2 2 ++ xn n n , , 1 2 反之，任给一组有序数x1 ,x2 ,…xn，可唯一确定Vn中 元素： , = x1 1 + x2 2 ++ xn n