第五章 特祈值与二次 上页 下页
上页 下页 第五章 特征值与二次型
5.1向量的内积 定义1设有m维向量 J yy∶y 称[x,y=x1y1+x2y2+…+xnyn.为x与y的内积 内积是向量的一种运算 用矩阵形式可表为x,y=x'p 上页 下页
上页 下页 5.1 向量的内积 [ , ] ' . , 用矩阵形式可表为x y = x y 内积是向量的一种运算 [ , ] . , 1 1 1 2 2 2 1 2 1 称 为 与 的内积 定 义 设 有 维向量 x y x y x y x y x y y y y y x x x x n n n n n = + + + = =
例计算x,y,其中x,y:如下: (1)x=(0,1,5,-2),y=(-2,0,-1,3); (2)x=(-2,1,0,3),y=(3,6,8,4), 解(1)[x,y=0(-2)+10+5(-1)+(-2)3=-11 (2)[x,y]=(-2)·3+1(-6)+08+3.4=0 若x,y,为n维实向量4为实数内积的性质为 ()[x,yl=[y,x] (ii) x,y=ax, yl (iii) x+y, =x, 3+ly, z 上页 下页
上页 下页 (2) ( 2,1,0,3), (3, 6,8,4), (1) (0,1,5, 2), ( 2,0, 1,3); [ , ], , : = − = − = − = − − x y x y 例 计 算 x y 其 中x y如 下 解(1) [x, y] = 0(−2)+10+ 5(−1)+(−2)3 = −11 (2) [x, y] = (−2) 3 +1(−6) + 08 + 34 = 0 ( ) [ , ] [ , ] [ , ]. ( ) [ , ] [ , ], ( ) [ , ] [ , ], , , , , iii x y z x z y z i i x y x y i x y y x x y z n + = + = = 若 为 维实向量 为实数内积的性质为：
定义2称k=xx=+x+“+x向量的 长度(或范数当x=1时,称为单位向量 基本性质: (i)非负性:当x≠0时,x>0,当x=0时r=0, (i)齐次性:2xl=1x (i)三角不等式:x+ysx+y (iy)cchy- Schwarz不等式x,y2≤|x1y 上页 下页
上页 下页 ( ) :[ , ] . ( ) : . ( ) : , ( ) : 0 , 0, 0 0, : 2 2 2 i v Cauchy Schwarz x y x y iii x y x y i i x x i x x x x − + + = = = 不等式 三角不等式 齐次性 非负性 当 时 当 时 基本性质 ( ), 1 , . 2 2 2 2 2 1 长 度 或范数 当 时 称 为单位向量 定 义 称 为向量 的 x x x x x x x xn x = = = + ++
由C-S不等式可得 Ix, yI 1(x|·y≠0) 于是定义当x≠0,|y1≠0时,称 6= arccos Ix, yI 为x与y的夹角 X·|y 当x,y]=0时,称x与y正交 n维零向量与任意维向量正交 称一组两两正交的非狗量组为正交向量组 上页 下页
上页 下页 . . [ , ] 0 , . 称一组两两正交的非零向量组为正交向量组 维零向量与任意 维向量正交 当 时 称 与 正 交 n n x y = x y . [ , ] arccos , 0, 0 , 1 ( 0). [ , ] 为 与 的夹角 于是定义当 时 称 由 不等式可得 x y x y x y x y x y x y x y C S = −
定理1若n维非零向量ax,a2,…,a,为正交向量组 则它们为线性无关向量组 证设有,2,…,使∑4a1=0, 分别用a与上式两端作内积k=1,2,…,r), 即得xa,akl=|ak,=0 因ak≠0故(,Qk=k≠0, 从而λ1=0,k=1,2,…,r, 于是a1,a2,…,a,线性无关 上页 下页
上页 下页 = = r i r i i 1 1 2 证 设 有 , , ,使 0, , , , . 0, 1,2, , , 0, [ , ] 0, 1 2 2 于 是 线性无关 从 而 因 故 r k k k k k k r = = = [ , ] [ ,0] 0 ( 1,2, , , = = = k k k k k k r 即 得 分别用 与上式两端作内积 ） . 1 , , , , 1 2 则它们为线性无关向量组 定 理 若n维非零向量 r 为正交向量组
定理2若a1a2,…,a,是正交向量组且r<n, 则必存在n维非零向量x,使a1,ax2,…,a, x也为正交向量组 证x应该满足c1x=0,a2x=0,…,a1x=0,即 29 0 记A 29 0 则R(A)=r<n,故齐次线性方程组4x=0必有 非零解此非零解即为所求 上页 下页
上页 下页 , . ( ) , 0 , , , , 0 0 0 , , , 0, 0 , 0 2 1 2 1 1 2 非零解 此非零解即为所求 则 故齐次线性方程组 必 有 记 证 应该满足 ， ， 即 = = = = = = = R A r n A x x A x x x x r r r . , , , , , 2 , , , , , 1 2 1 2 也为正交向量组 则必存在 维非零向量 使 定 理 若 是正交向量组且 x n x r n r r
推论r个(r<m两两正交的维非零向量总可以 扩充成R的一个正交基 例已知ar1=(1,1)y,a2=(1】,-2,1)正交,试求一个 非零向量a3,使a1,a2,a3两两正交 解解方程组 2 得基础解系为0,取a3=0,则a3即为所求上页 下页
上页 下页 , , , . (1,1,1)', (1, 2,1)' , 3 1 2 3 1 2 非零向量 使 两两正交 例 已 知 正 交 试求一个 = = − , 0 0 1 2 1 1 1 1 3 2 1 = − x x x 解 解方程组 , . 1 0 1 , 1 0 1 得基础解系为 取 3 则 3 即为所求 − = − . ( ) 扩充成 的一个正交基 推 论 个 两两正交的 维非零向量总可以 n R r r n n
定义3设n维向量1,e2,…,e,是向量空间 V(cR")的一个基如果e1,e2,…,e,两两 正交且都是单位向量则称之为的一个 正交规范基标准正交基 若e1,e2,…,是的一个正规范基则任 向量a可由e1,e2,…e,唯一线性表示 设a=11+2e2+…几,en, 则由e'a=,e;'e1=42 得=e;'a=le;,l,1唯一确定i=1,2,…,r.上页 下页
上页 下页 ' [ , ], , 1,2, , . ' ' , , , , , , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 e e i r e e e e e e e e e e e e V V i i i i i i i i i r r r r = = = = = = + + 得 唯一确定 则 由 设 向 量 可 由 唯一线性表示 若 是 的一个正规范基则 中任一 ( ). , ( ) , , , , 3 , , , 1 2 1 2 正交规范基标准正交基 正交且都是单位向量则称之为 的一个 的一个基 如 果 两 两 定 义 设 维向量 是向量空间 V V V R e e e n e e e r n r
将向量空间(cR")的任一基ax1,a2,…,a 转换为一正交规范基的 chidi正交化方法 其具体步骤如下: 取月=a1,B2=a2 B1 B. B=a AB,a]a_[风,a2 B,]"[a2 2 Br-u,a 2 B-B 容易验证B1,B2,…,B两两正交非零将它们单位化即令 B1 2 1B.2ll 上页 则e1,e2…,e,就是的一个正交规范基 下页
上页 下页 , , , , , , , , , , , 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 − − − − = − − − − = = − r r r r r r r r 取 , , , . , , , , , , , , , , 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 则 就 是 的一个正交规范基 容易验证 两两正交 非 零 将它们单位化即 令 e e e V e e e r r r r r = = = : , ( ) , , , 1 2 其具体步骤如下 转换为一正交规范基的 正交化方法 将向量空间 的任一基 Schmidt V V R r n