第四节三重积分的概念和计算方法 重积分的定义 重积分的计算 巴三、小结思考题
一、三重积分的定义 设f(x,y,z是空间有界闭区域2上的有界 函数,将闭区域2任意分成t个小闭区域△v1, △2,…,△vn,其中△v表示第个小闭区域,也 表示它的体积,在每个△v上任取一点(5,7;,5) 作乘积f(5;1,;)·△v,(i=1,2,…,n),并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值超近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 ∫(x,y,z)在闭区球2上的三重积分,记为 ∫(x,,)d Q 上页
设 f ( x, y,z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域 1 v ， 2 v ,, n v ，其中 i v 表示第i 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个 i v 上任取一点( , , ) i i i 作乘积 i i i i f ( , , ) v ，(i = 1,2,,n)，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y,z)在闭区域 上的三重积分，记为 f (x, y,z)dv, 一、三重积分的定义
即∫∫f(x,y,x)=im∑f(5,m,51)△v 其中b叫做体积元素 在直角坐标系中,如果用平行于坐标面 的平面来划分2,则△=△A△x 三重积记为 ∫,)ddbz=1m/(5,n,)△ 牛其中a叫做直角坐标系中的体积元素 王页下
即 f (x, y,z)dv i i i n i i = f v = → lim ( , , ) 1 0 . 其中dv 叫做体积元素. 的平面来划分 , 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 . i j k l 则v = x y z 三重积记为 f (x, y,z)dxdydz i i i n i i = f v = → lim ( , , ) 1 0 . 其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素
二、三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图,闭区域9在 roy z=2(x,y) 面上的投影为闭区域D, :z=z1(x,y) S2:z=z2(x,y), 1x,y) 过点(x,y)∈D作直线,2 D氵 J 从z1穿入,从2穿出 力y=y2(x) Ia888808880 y=y1( 上页
直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 二、三重积分的计算 x y z o D 1 z 2 z S2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) y = y1 x ( ) (x, y) y = y2 x 如图， D, xoy 面上的投影为闭区域 闭区域 在 : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
士 先将x,y看作定值,将f(x,y,z)只看作z的 上函数,则 F(x,y) ∫ f(x,v, z)dz 中计算F(x,y)在闭区间D上的二重积分 ∫r(x,d=」j010(x,aua D D:(x)≤y≤y(),a≤x≤sb,得 上页
函数，则 先将 x, y 看作定值，将 f (x, y,z)只看作 z 的 = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz 计算 F(x, y) 在闭区间 D 上的二重积分 ( , ) [ ( , , ) ] . ( , ) ( , ) 2 1 = D z x y z x y D F x y d f x y z dz d : ( ) ( ), , D y1 x y y2 x a x b 得
∫J(x,,)dp Q 2t22(x) b °z2(x,y) = yI(x)z,(x, y) f(, v, z )dz. 中注意这是平行于z轴且穿过闭区域内部的 直线与闭区域_的边界曲面S相交不多 于两点情形 上页
= f (x, y,z)dv ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz 注意 于两点情形． 直线与闭区域 的边界曲面 相交不多 这是平行于 轴且穿过闭区域 内部的 S z
例1化三重积分I=∫(xy,z)k为三 Q 次积分,其中积分区域2为由曲面z=x2+2y2 及=2-x2所围成的闭区域 2 z=x+2 00. 解由 z=2-x 上得交线投影区域 x2+y2≤1, 上页
例 1 化三重积分 I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中积分区域 为由曲面 2 2 z = x + 2 y 及 2 z = 2 − x 所围成的闭区域. 解 由 = − = + 2 2 2 2 2 z x z x y , 得交线投影区域1, 2 2 x + y
1 故 Q J ≤ 2 ≤ 2 y ∫(x,y,z)dk
故 ： + − − − − − 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y z x x y x x , ( , , ) . 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 − 2 − + − − − = x x y x x I dx dy f x y z dz
例2化三重积分Ⅰ=f(x,y,x)c为 次积分,其中积分区域 2 C2为由曲面z=x2+y 2 J =y y=1,z=0所围 成的空间闭区域如图, 解g:0≤z≤x2+y2 0.5 x≤ J <1,-1<x<1 上页
例2 化三重积分 I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中 积分区域 为由曲面 2 2 z = x + y , 2 y = x , y = 1, z = 0所围 成的空间闭区域. − + = 11 0 1 2 2 2 ( , , ) x y x I dx dy f x y z dz. 解 1, 1 1. : 0 , 2 2 2 − + x y x z x y 如图
例3将 小y f J dz 按 y 的次序积分 解 DI 0 0 J
x y z 例 3 将 1 + 0 1 0 0 2 2 ( , , ) x y dx dy f x y z dz按y,z, x 的次序积分. D1： 0 1 0 2 y z x 解 D1