第八节正弦级数和余弦级数 -、奇函数和偶函数的傅里叶级数 函数展开成正弦级数或余弦级数 四三、小结思考题
生一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 王项又含有余弦项但是也有一些函数的傅里叶级 2数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 定理 c()当周期为2的奇函数f(x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 工工 =0 (n=0,1,2,) ro f(x)sin ndx x(n=1,2,…) 王页下
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 (1)当周期为2的奇函数 f ( x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 ( )sin ( 1,2, ) 2 0 ( 0,1,2, ) 0 = = = = b f x nxdx n a n n n 定理 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项
(2)当周期为2兀的偶函数∫(x)展开成傅里叶级 上数时它的傅里叶系数为 2cπ ∫(x) cos ndx(n=0,1,2,…) ·0 S b,= (n=1,2,…) 工工工 证明(1)设f(x)是奇函数, Pan=厂(x) cOs nx=0(n=0,2,…) 奇函数 上页
(2)当周期为2的偶函数 f ( x)展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 0 ( 1,2, ) ( )cos ( 0,1,2, ) 2 0 = = = = b n a f x nxdx n n n 证明 (1)设f (x)是奇函数, = − an f (x)cos nxdx 1 = 0 (n = 0,1,2,3, ) 奇函数
中b,=二f(x) sinned==f(x) sinned T 偶函数 T (n=1,2,3,) 同理可证(2) 定理证毕 oo 午定义如果f(x).奇函数傅氏级数∑b SInn 工工工 称为正弦级数 如果f(x)为偶函数,傅氏级数 ∑ a. cos nx 2 称为余弦级数 上页
= 0 ( )sin 2 f x nxdx (n = 1,2,3, ) 同理可证(2) 定义 如果 f (x)为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1 = 称为正弦级数. 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 + = 称为余弦级数. = − bn f (x)sinnxdx 1 偶函数 定理证毕
例1设∫(x)是周期为2π的周期函数,它在 -兀,兀)上的表达式为f(x)=x,将∫(x)展开成 傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 午在点x=(k+1)mk=0土1,处不连续, 收敛于/(=0)+/(元+02m+分 2 2 在连续点x(x≠(2k+1)π)处收敛于f(x), 上页
例 1 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它 在 [−,)上的表达式为 f ( x) = x ,将f (x) 展开成 傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2 + (−) = = 0, 在连续点x(x (2k +1))处收敛于f (x)
x≠(2k+1)时f(x)是以2π为周期的奇函数, 和函数图象 3π-2元 死/2兀3元 0,(n=0,1,2,…) 上页
− − 3 − 2 − 2 3 x y0 x (2k +1)时 f (x)是以2为周期的奇函数, 和函数图象a = 0, (n = 0,1,2,) n
b.= 2 n T o/(r)sin ndx==5oxsinnxdr T xcos sinu 210 T n n 2 2 =--c0sm兀=2(-1)”+ ,(n=1,2 n n f(x)=2(sin x-sin 2x +sin 3x-.) 3 n+1 ∑ SInx (-0<x<+0;x≠土π,士3π,…) 上页 圆
= 0 ( )sin 2 bn f x nxdx = 0 sin 2 x nxdx − + = 2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − n n cos 2 ( 1) , 2 +1 = − n n (n = 1,2, ) sin3 ) 3 1 sin2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1 = + − = n n nx n (− x +; x , 3, )
y=2(sin x-sin 2x +sin 3x--sin 4x+=sin 5x) y 5 工工工 观察两函数图形 y=x 3 上页
sin5 ) 51 sin4 41 sin 3 31 sin 2 21 y = 2(sin x − x + x − x + x y = x 观察两函数图形
例2将周期函数u()= Esin t展开成傅氏级数, 其中E是正常数 王解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个 (t) :a为偶函数 b.=0, ao =u(odt==o E sintd 4t (n=1,2,) 2丌-兀 t T 上页
例 2 将周期函数u(t) = Esin t 展开成傅氏级数, 其中E是正常数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个 数轴上连续. u(t)为偶函数, = 0, bn = 0 0 ( ) 2 a u t dt t u(t) − 2 − 0 2 E = 0 sin 2 E tdt , 4 = E (n = 1,2, )
2 =u(t)cos ntt 2TEsintcos ntt E nIsin(n+D)t-sin(n-1)tdt E cos(n+1)t cos(n-1) 兀 n+1 n-1 (n≠1) 4E 当n=2k (2k)2-1l (k=1,2,…) 0 当n=2k+1 上页
= 0 ( )cos 2 a u t ntdt n = 0 sin cos 2 E t ntdt + − − = 0 [sin(n 1)t sin(n 1)t]dt E = + = − − = 0, 2 1 , 2 [(2 ) 1] 4 2 n k n k k E 当 当 (k = 1,2, ) − − + + + − = 1 0 cos( 1) 1 cos( 1) n n t n E n t (n 1)