第四节对面积的曲面积分 概念的引入 巴二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法 四、小结思考题
、概念的引入 庄实若曲是光滑的它的面密度为连 续函数p(x,y,孔),求它的质量 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动 20 上页
一、概念的引入 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数(x, y,z), 求它的质量. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动
生二、对面积的曲面积分的定义 1定义设曲面是光滑的,函数f(xy,在 王上有界把分成小块S△S同时也表示 王第小块曲面的面积),设点(5,m,)为S上 牛任意取定的点作乘积/(5,7,5)AS, 并作和∑f(5,;51)AS,如果当各小块曲面 牛的直径的最大值→0时,这和式的极限存在 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲配上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分 上页
二、对面积的曲面积分的定义 设曲面 是光滑的, 函数 f (x, y,z)在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点( , , ) i i i 为Si 上 任意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f Si , 并作和= n i i i i f 1 ( , , ) Si , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 → 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y,z)在曲面 上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 1.定义
记为(xy,x)△ ∑ 上即f(x,2)ds=m∑(5,m,5AS i=1 王其中(xy3)被积函数,x叫积分曲面 2.对面积的曲面积分的性质 工工工 若Σ可分为分片光滑的曲面Σ及∑2,则 f(x,y,z)S=f(x,y,z)d+f(x,y,z2S ∑ ∑ 上页
即 f (x, y,z)dS i i i n i = f i S = → lim ( , , ) 1 0 记为 f (x, y,z)dS. f (x, y,z)dS = + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 2.对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则 其 中 f (x, y,z)叫被积函数，叫积分曲面
三、计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种: 1.若曲面Σ:z=z(x,y) f(x,y,)ds NfIx,y,a(x,DK1+ix+y dxdy, 上页
三、计算法 [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy x y = + + f (x, y,z)dS 1. 若曲面 : z = z(x, y) 则 按照曲面的不同情况分为以下三种：
庄5甲厘z:=(x-) 则∫f(xy,)S ∑ FiX, J(x, 2), zl 1+y*2+y2drdz; 庄3.若曲面x:x=x(y2) 则∫∫(x,:ds ∑ =∫1x(,1+x2+xd y 上页
[ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz x z = + + f ( x, y,z )dS 2. 若曲面 : y = y(x,z) 则 [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z = + + f ( x, y,z )dS 3. 若曲面 ： x = x( y,z) 则
例1计算∫(x+y+x)d,其电为平面 y+z=5被柱面x2+y2=25所截得的部分 解积分曲面 2:z=5-y 工工工 投影域: Dy={(x,y)|x2+y2s25} 上页
计算 (x + y + z)ds, 其中 为平面 y + z = 5被柱面 25 2 2 x + y = 所截得的部分. 例 1 积分曲面 ：z = 5 − y , 解 投影域 ： {( , ) | 25} 2 2 Dxy = x y x + y
S=1+x2+12y =√1+0+(-1)dz=√2khy, 故∫(x+y+) ∑ =2/x+y+5-p)d=2j(5+x)dh D y D =2+ryh=1252元 上页
故 (x + y + z)ds = + + − Dxy 2 (x y 5 y)dxdy = + Dxy 2 (5 x)dxdy d r rdr = + 5 0 2 0 2 (5 cos ) = 125 2. dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + dxdy 2 = 1+ 0 + (−1) = 2dxdy
例2计算∫gzs, 其中Σ为抛物面z=x2+y2(0≤z≤1) 解依对称性知: 抛物面z=x2+y2 关于z轴对称, 被积函数xyz关于 x0z、y0z坐标面对称 0.5 0.5 有=4成立,(21为第一卦限部分曲面) ∑ ∑1 上页
例 2 计算 xyz dS | | , 其中 为抛物面 2 2 z = x + y （0 z 1）. 解 依对称性知： 被积函数| xyz |关于 xoz、 yoz 坐标面对称 关于 轴对称， 抛物面 z z x y 2 2 = + 有 = 1 4 成立，(1为第一卦限部分曲面) x y z
ds 1+ 2 z y dxdy 王=1+(2x2+(2y2np 庄原式z|S=4』1zS ∑ =4xy(x2+y)1+(2x)y+(2y)ad 牛其中Du=(x,y)1x2+y2 ,y≥0} 上页
dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + x y dxdy 2 2 = 1+ (2 ) + (2 ) 原式 xyz dS = | | xyz dS = 1 4 xy x y x y dxdy Dxy 2 2 2 2 = 4 ( + ) 1+ (2 ) + (2 ) 其中 {( , )| 1 2 2 D xy = x y x + y , x 0, y 0}