第十六章偏导数与全徵分 §1偏导数与全微分的概念 1.求下列函数的偏导数: (1)l=x2ln(x2+y2) (2)u=(x+y)cos(xy) (3)u=arctan+ (4)l=xy+-; sin(ry) 1)=si x+y≠ 0, f(x, x2+y2=0 考察函数在(0,0)点的偏导数 3.证明函数u +y2在(0,0)点连续但偏导数不存在 4.求下列函数的全微分: (2)=xe=+e+y 5.求下列函数在给定点的全微分 x 在点(,0)和(O,1) (2)u=ln(x+y2)在点(0,1)和(1,1); (3)=,-在点(1,,1 (4)=x+(y-) arcsin,-在点(0,1)
第十六章 偏导数与全微分 §1 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) 2 2 2 u x x y = + ln( ) ； (2) u x y xy = + ( )cos( ) ； (3) arctan x u y = ； (4) x u xy y = + ； (5) sin( ) xy u xye = ； (6) y x u x y = + . 2．设 2 2 2 2 2 2 1 sin , 0, ( , ) 0, 0. y x y f x y x y x y + = + + = 考察函数在(0,0)点的偏导数. 3．证明函数 2 2 u x y = + 在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) 2 2 2 u x y z = + + ； (2) yz x u xe e y − = + + . 5．求下列函数在给定点的全微分： (1) 2 2 x u x y = + 在点(1,0)和(0,1)； (2 ) 2 u x y = + ln( ) 在点(0,1)和(1,1)； (3) x u y = 在点(1,1,1)； (4) ( 1)arcsin x u x y y = + − 在点（0，1）
6.考察函数f(x,y)在(0,0)点的可微性,其中 x2+y2≠0, f(x, y) x 0 0 7.证明函数 y2≠0, 在(0,0)点连续且偏导数存在,但在此点不可微。 8.证明函数 (x +y)sin y2≠0, f(x, y) 的偏导数存在,但偏导数在(00)点不连续,且在(00)点的任何邻域中无界,而∫在原点(0,0) 可微。 y2≠0, f(x, y) 证明和在(00)点连续 设 0 f(x, y)= x+y 证明∫(x,y)在(0,0)点可微,并求d(0,0) 11.设 0. f(x,y)={x2+y2 =0 (1)x=x(),y=y(m)是通过原点的任意可微曲线(即x2(0)+y2(0)=0,t≠0时 x2()+y2()≠0,x()、y(1)可微)求证f(x(),y()可微
6．考察函数 f x y ( , ) 在(0,0)点的可微性，其中 2 2 2 2 2 2 1 sin , 0, ( , ) 0, 0. xy x y f x y x y x y + = + + = 7．证明函数 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + = + + = 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 8．证明函数 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + + = + + = 的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而 f 在原点(0,0) 可微。 9．设 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + = + + = 证明 f x 和 f y 在(0,0)点连续. 10．设 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 , 0, ( , ) 0, 0. x x y e x y f x y x y x y − + = + + = 证明 f x y ( , ) 在(0,0)点可微，并求 df (0,0). 11．设 3 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x x y f x y x y x y + = + + = (1) x x t y y t = = ( ), ( ) 是通过原点的任意可微曲线（即 2 2 x y t (0) (0) 0; 0 + = 时， 2 2 x t y t x t ( ) ( ) 0, ( ) + 、 yt() 可微）.求证 f x t y t ( ( ), ( )) 可微
(2)f(x,y)在(0,0)不可微 12.设xy很小,利用全微分推出下列各式的近似公式: (1)(1+x)"(1+y)”; x+ v (2)arctan 1+xy 13.设u=f(x,y)在矩形:a<x<b,c<y<d内可微,且全微分dh恒为零,问f(x,y) 在该矩形内是否应取常数值?证明你的结论 14.设在(xn,y0)存在,在(xn,y)连续,求证∫(x,y)在(x,y)可微 15.求下列函数的所有二阶偏导数: (1)=In x2+y (2)l=xy+2 (3)u=xsin(x+y)+ycos(x+y): 16.求下列函数指定阶的偏导数: (1)u=xsin y +y sinx, k a'u (2)l= arctan x+y,求所有三阶偏导数 (3)u=Smx+1),,a (4)l=xzex,求 axa.az (5)∥= y (x≠y),求 (6)=ln(ax+),求、mu 17.验证下列函数满足
(2) f x y ( , ) 在(0,0)不可微. 12．设 x y , 很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1) (1 ) (1 ) ; m n + + x y (2) arctan 1 x y xy + + . 13．设 u f x y = ( , ) 在矩形： a x b c y d , 内可微，且全微分 du 恒为零，问 f x y ( , ) 在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论. 14．设 f x 在 0 0 ( , ) x y 存在， f y 在 0 0 ( , ) x y 连续，求证 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 可微. 15．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) 2 2 u x y = + ln ； (2) y u xy x = + ； (3) u x x y y x y = + + + sin( ) cos( ) ； (3) xy u e = . 16．求下列函数指定阶的偏导数： (1) 3 3 u x y y x = + sin sin ,求 6 3 3 u x y ； (2) arctan 1 x y u xy + = − ，求所有三阶偏导数； (3) 2 2 u x y = + sin( ),求 3 3 u x ， 3 3 u y ； (4) x y z u xyze + + = ,求 pqr p q r u x y z + + ； (5) x y u x y + = − ( ) x y ，求 m n m n u x y + ； (6) u ax by = + ln( ),求 m n m n u x y + . 17．验证下列函数满足
0 (1)u=ln(x2+y2) (2)ll=x2-y; u=e cos (4)u=arctan 18.设函数u=0(x+v(y),证明 Ou au au au 19.设厂x,f在点(x0,y)的某邻域内存在且在点(x,y)可微,则有 J(x。y0)=Jx(x,y) §2复合函数与隐函数微分法 1.求下列函数的所有二阶偏导数 ()u=f(ax, by) (2)u=f(+y,x (6)=f(x+y,xy,-) 设:=x2-y),其中厂是可微函数,验证 y ay
2 2 2 2 0 u u x y + = . (1) 2 2 u x y = + ln( ) ； (2) 2 2 u x y = − ； (3) cos x u e y = ； (4) arctan y u x = . 18．设函数 u x y = + ( ( )) ，证明 2 2 2 u u u u x x y y x = . 19．设 , x y f f 在点 0 0 ( , ) x y 的某邻域内存在且在点 0 0 ( , ) x y 可微，则有 0 0 0 0 ( , ) ( , ) xy yx f x y f x y = . §2 复合函数与隐函数微分法 1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) u f ax by = ( , ) ； (2) u f x y x y = + − ( , ) ； (3) 2 2 u f xy x y = ( , ) ； (4) ( , ) x y u f y z = ； (5) 2 2 2 u f x y z = + + ( ) ； (6) ( , , ) x u f x y xy y = + . 2．设 2 2 ( ) y z f x y = − ，其中 f 是可微函数，验证 2 1 1 z z z x x y y y + =
设v=-g(t--),c为常数,函数g二阶可导, a-v avav 1 a 证明 Ox ay a c at 4.若函数f(x,y,z)对任意正实数t满足关系 f(tx,y,)=t"f(x,y,=), 则称f(x,y,=)为n次齐次函数设∫(x,y,)可微,试证明f(x,y,)为n次齐次函数的充要 条件是 c+,y+9 ax·oz x,y, 5.验证下列各式 (1)l=q ),则 (2)u=y(x-y2),则a (3)=xo(x+y)+y(x+y),则0u-242n (2),则 6.设u=f(x,y)可微,在极坐标变换x= rose,y=rsin0 02,C、2,O、2.O 这时称()2+(-)2是一个形式不变量 8.设函数a=f(x,y)满足拉普拉斯方程 a2u a2 au a1 证明在下列变换下形状保持不变,即仍有
3．设 1 ( ) r v g t r c = − ， c 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r x y z = + + 。 证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v v 1 x y z c t + + = . 4．若函数 f x y z ( , , ) 对任意正实数 t 满足关系 ( , , ) ( , , ) n f tx ty tz t f x y z = ， 则称 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数.设 f x y z ( , , ) 可微，试证明 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数的充要 条件是 ( , , ) f f f x y z nf x y z x y z + + = . 5．验证下列各式： (1) 2 2 u x y = + ( ) ,则 0 u u y x x y − = ； (2) 2 2 u y x y = − ( ),则 u u xu y x x y y + = ； (3) u x x y y x y = + + + ( ) ( ) ,则 2 2 2 2 2 2 0 u u u x x y y − + = ； (4) ( ) ( ) y y u x x x = + ,则 2 2 2 2 2 2 2 2 0 u u u x xy y x x y y + + = . 6．设 u f x y = ( , ) 可微，在极坐标变换 x r = cos ， y r = sin 下，证明 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z x y u v + = + . 这时称 2 2 ( ) ( ) z z x y + 是一个形式不变量. 8．设函数 u f x y = ( , ) 满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0 u u x y + = ， 证明在下列变换下形状保持不变，即仍有 2 2 2 2 0 u u s t + =
(1)x= (2)x=e cost, y=e sint: (3)x=0(s,),y=(s0)满足 9_ay do av这组方程称为柯西一黎曼方程 9.作自变量的变换,取5,n,5为新自变量: (1)5=x们=X+y,变换方程,2_x=0 (2)5=x,n=y-x,=-x,变换方程 10.作自变量和因变量的变换,取u,v为新的自变量,w=v(u,v)为新的因变量: (1)设u=x+y,=2,w=三,变换方程 0 (2)设l=-,=x,W=x2-y,变换方程 11.求下列方程所确定的函数z=f(x,y)的一阶和二阶偏导数 (2)x+y+z=e (3)xy==x+y+=: z2-2x+2y-4z-5=0 2.求由下列方程所确定的函数的全微分dz (2)F(x-y,y-2,2-x)=0 (3)f(x+y+x,x2+y2+2)=0 (4)f(x,y)+g(y,=)=0
(1) 2 2 s x s t = + , 2 2 t y s t = + ； (2) cos , sin s s x e t y e t = = ； (3) x s t y s t = = ( , ), ( , ) 满足 , s t t s = = − .这组方程称为柯西－黎曼方程. 9．作自变量的变换，取 , , 为新自变量： (1) 2 2 = = + x x y , ,变换方程 0 z z y x x y − = ； (2) = = − = − x y x z x , , ,变换方程 0 uuu x y z + + = . 10．作自变量和因变量的变换，取 u v, 为新的自变量， w w u v = ( , ) 为新的因变量： (1) 设 , , y z u x y v w x x = + = = ，变换方程 2 2 2 2 2 2 0 z z z x x y y − + = ； (2) 设 , , x u v x w xz y y = = = − ，变换方程 2 2 2 2 z z y y y x + = . 11．求下列方程所确定的函数 z f x y = ( , ) 的一阶和二阶偏导数： (1) 2 0 xy x e z e − − + = ； (2) x y z x y z e + + + + = ； (3) xyz x y z = + + ； (4) 2 2 2 x y z x y z + + − + − − = 2 2 4 5 0. 12．求由下列方程所确定的函数的全微分 dz ； (1) z f xz z y = − ( , ) ； (2) F x y y z z x ( , , ) 0 − − − = ； (3) 2 2 2 f x y z x y z ( , ) 0 + + + + = ； (4) f x y g y z ( , ) ( , ) 0 + =
设z=x(x,y)由方程x2+ xf( y 所确定,证明(x2- )-+2x==2x 14.设z=x2+y2,其中y=f(x)为由方程x2-xy+y2=1所确定的隐函数,求和 d 15.设=x2+y2+z2,其中z=f(x,y)为由方程x3+y3+3=3xz所确定的隐函数 a2 16.求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数: 求 dy dz 0, 求 0 v=3x+y, ay ul=xyz a-u a 求 xdy 17.下列方程组定义二为x,y的函数,求 x=cos 6 cos p z=+ §3几何应用 1.求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“ 2t, y=bint t,在点 9.z2=3 在点(1,-1,2)
13．设 z z x y = ( , ) 由方程 2 2 2 ( ) z x y z yf y + + = 所确定，证明 2 2 2 ( ) 2 2 z z x y z xy xz x y − − + = 。 14．设 2 2 z x y = + ，其中 y f x = ( ) 为由方程 2 2 x xy y − + =1 所确定的隐函数，求 dz dx 和 2 2 d z dx . 15．设 2 2 2 u x y z = + + ，其中 z f x y = ( , ) 为由方程 3 3 3 x y z xyz + + = 3 所确定的隐函数， 求 u x ， 2 2 u x . 16．求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数： (1） 2 2 2 2 2 , , x y z a x y ax + + = + = 求 , dy dz dx dx ； (2) 2 2 2 0, 0, x u yv y v xu − − = − − = 求 , , , u v u v x x y y ； (3) 2 2 3 , 2 2 , u v x y u v x y − = + − = − 求 , , , u u v v x y x y ； (4) 2 2 2 , 1, u xyz x y z = + + = 求 2 2 2 2 2 , , u u u x y x y . 17．下列方程组定义 z 为 x y, 的函数，求 z x ， z y . (1) cos cos , cos sin , sin ; x y z = = = (2) 2 2 3 3 , , . x u v y u v z u v = + = + = + §3 几何应用 1．求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“ (1) 2 2 x a t y b t t z c t = = = sin , sin cos , cos ,在点 4 t = ； (2) 2 2 2 2 2 2 2 3 9, 3 x y z z x y + + = = + ,在点(1,-1,2)；
(3)x2+y2+2=6,x+y+z=0,在点(1,-2,1) (4)x=l-cost,y=3+sin2t,z=1+cos3t,在点t=2 2.求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程: (1)y-e2x=0,在点(112) =1在点( x2+4y2在点(2,1,12) a在点f(a,V0) 3.证明曲线x= ae cost,y=e'sint,z=ae在锥面x2+y2=2的母线相交成同一角 4.求平面曲线x213+y2=a2(a>0)上任一点的切线方程,并证明这些切线被坐标 轴所截取的线段等长 5.求曲面x2+2y2+3z2=21的切平面,使它平行于平面x+4y+6z=0 6.证明:曲面F(x-a-,y-b-)=0的切平面与某一定直线平行,其中a,b为常数 7.证明曲面z=xe的每一切平面都通过原点 8.求两曲面 F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0 的交线在Oxy平面上的投影曲线的切线方程 4方向导数 1.设f(x,y,z)=x+y2+x3,求∫在点B(11)沿到点l=(2,-2,1)的方向导数 2.求函数=xy在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向导数 (1)u=ln(x2+y2),(x0,y)=(1),l与x轴正向的夹角为60°
(3) 2 2 2 x y z x y z + + = + + = 6, 0 ,在点(1,-2,1)； (4) 2 x t t y t z t = − = + = + cos , 3 sin , 1 cos3 ,在点 2 t = . 2．求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程： (1) 2 0 x z y e − − = ，在点（1,1,2）； (2) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 在点 ( , , ) 333 a b c ； (3) 2 2 z x y = + 2 4 在点(2,1,12)； (4) x u v y u v z av = = = cos , sin , 在点 0 0 0 P u v ( , ). 3．证明曲线 cos , sin , t t t x ae t y ae t z ae = = = 在锥面 2 2 2 x y z + = 的母线相交成同一角 度. 4．求平面曲线 2/3 2/3 2/3 x y a a + = ( 0) 上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标 轴所截取的线段等长. 5．求曲面 2 2 2 x y z + + = 2 3 21 的切平面，使它平行于平面 x y z + + = 4 6 0 . 6．证明：曲面 F x az y bz ( , ) 0 − − = 的切平面与某一定直线平行，其中 a b, 为常数. 7．证明曲面 x y z xe = 的每一切平面都通过原点. 8．求两曲面 F x y z G x y z ( , , ) 0, ( , , ) 0 = = 的交线在 Oxy 平面上的投影曲线的切线方程. §4 方向导数 1．设 2 3 f x y z x y z ( , , ) = + + ，求 f 在点 0P (1,1,1) 沿到点 l = − (2, 2,1) 的方向导数. 2．求函数 u xyz = 在点 A(5,1, 2) 处沿到点 B(9,4,14) 的方向 AB 上的方向导数. 3．求 ( ) 0, 0 x y u l ： (1) 2 2 u x y = + ln( )， 0 0 ( , ) (1,1) x y = ，l 与 x 轴正向的夹角为 60 ；
(2)l=xe”,(x,y)=(1),/与向量(1)同向 4.设函数∫(x,y)在(x,y)可微,单位向量1=( l2 (xn,H)=1,9(xny)=0,确定使得 f(x0,y)7 √2 5.设∫在P(2,0)可微,f(x,y)在P指向P=(2,-2)的方向导数是1,指向原点的方 向导数是一3,试回答: (1)指向P=(2,1)的方向导数是多少? (2)指向B=(3,2)的方向导数是多少 §5泰勒公式 1.写出下列函数在指定点的泰勒公式 (1)f(x,y)=2x2-xy-y2-6x-3y+5,在(2)点 (2)f(x,y)=x2+x+y2+3x-2y+4,在(-1,1)点 2.求函数∫(x,y)=一在(1,1)点邻域的n阶带拉格朗日余项的泰勒公式 3.求函数f(x,y)=在(1-1)点邻域的二阶泰勒公式,并写出拉格朗日余项 4.求下列函数在(0,0)点邻域的四阶泰勒公式 (1)f(x,y)=sin(x2+y2) (2)f(x,y)=eln(1+y); (3)f(x,y) +x-+ (4)f(x,y)= e cos)
(2) xy u xe = , 0 0 ( , ) (1,1) x y = , l 与向量 (1,1) 同向. 4．设函数 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 可微，单位向量 1 1 1 ( , ) 2 2 l = ， 2 1 1 ( , ) 2 2 l = − ， 0 0 1 ( , ) 1 f x y l = ， 0 0 2 ( , ) 0 f x y l = ，确定 l 使得 0 0 ( , ) 7 5 2 f x y l = . 5．设 f 在 0P (2,0) 可微， f x y ( , ) 在 P0 指向 1P = − (2, 2) 的方向导数是 1，指向原点的方 向导数是－3，试回答： (1) 指向 2P = (2,1) 的方向导数是多少？ (2) 指向 3P = (3,2) 的方向导数是多少？ §5 泰勒公式 1．写出下列函数在指定点的泰勒公式： (1) 2 2 f x y x xy y x y ( , ) 2 6 3 5 = − − − − + ，在(1,-2)点. (2) 2 2 f x y x xy y x y ( , ) 3 2 4 = + + + − + ，在(-1,1)点. 2．求函数 ( , ) x f x y y = 在(1,1)点邻域的 n 阶带拉格朗日余项的泰勒公式. 3．求函数 2 2 ( , ) y f x y x = 在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式，并写出拉格朗日余项. 4．求下列函数在 (0,0) 点邻域的四阶泰勒公式： (1) 2 2 f x y x y ( , ) sin( ) = + ； (2) ( , ) ln(1 ) x f x y e y = + ； (3) 2 2 f x y x y ( , ) 1 = + + ; (4) ( , ) cos x f x y e y =
5.证明泰勒公式的唯一性:若∑Axy+o(p”)=0(p→>0) 其中ρ=√x2+y2求证A1=0(i,j为非负整数,i+j=0,1,…,n),并利用唯一性求 f(x,y)=ln(1+x+y)带拉格朗日余项的n阶泰勒展开式 6.通过对∫(x,y)= SIn xcos y用中值定理,证明存在θ∈(0,1),使 =—cos—cos 7.设f(x,y)在区域D内有偏导数存在,且f(x,y)=f(x,y)=0.证明f(x,y)在D 为常数 8.若xy是很小的量,导出下列函数准确到二次项的近似公式: (2)arctan 1+x+y 9.设函数f(x,y)有直到n阶连续偏导数,试证()=f(a+h,b+kr)的n阶导数 un(o)=(h+k"f(a+kt, b+kr) 10.设f(x,y)为n次齐次函数,证明 (x=+k)"f=n(n-1)…(n-m+1) 1l.设f(x,y)=v(ax+by),其中a,b为常数,在包含原点的某邻域内,v有q阶连 续导数求证:在(0,0)点邻域的泰勒公式是 (k)/0 f(x,y) k! ci(ax(by)!+r(x, y)
5．证明泰勒公式的唯一性：若 0 ( ) 0 n i i n ij i j A x y + = + = ( 0) → ， 其中 2 2 = + x y .求证 0 Aij = （ i j , 为非负整数， i j + = 0,1, …, n ），并利用唯一性求 f x y x y ( , ) ln(1 ) = + + 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒展开式. 6．通过对 f x y x y ( , ) sin cos = 用中值定理，证明存在 (0,1) ，使 3 cos cos sin sin 4 3 3 6 6 3 6 = − . 7．设 f x y ( , ) 在区域 D 内有偏导数存在，且 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y = .证明 f x y ( , ) 在 D 为常数. 8．若 x y , 是很小的量，导出下列函数准确到二次项的近似公式： (1) cos cos x y ； (2) 1 arctan 1 x y xy + + − . 9．设函数 f x y ( , ) 有直到 n 阶连续偏导数，试证 u t f a ht b kt ( ) ( , ) = + + 的 n 阶导数 ( ) ( ) ( ) ( , ) n n u t h k f a kt b kt x y = + + + . 10．设 f x y ( , ) 为 n 次齐次函数，证明 ( ) ( 1) m x k f n n x y + = − …( 1) n m f − + . 11．设 f x y ax by ( , ) ( ) = + ，其中 a b, 为常数，在包含原点的某邻域内， 有 q 阶连 续导数.求证：在(0,0)点邻域的泰勒公式是 1 ( ) 0 0 (0) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ! q k k j j k j k q k j f x y C ax by R x y k − − = = = +