第五章导数和微分 习题 §5.1导数的概念 1、已知直线运动方程为s=10+5t2,分别令△t=10.1,0.01,求从t=4至t=4+Mt 这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。 2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比,试由此给出变速旋转的角速度的 定义。 3、设f(x)=0,f(x)=4,试求极限 lim /(Ax+ Xo) x2,x≥3, 4、设f(x)= 试确定的ab值,使f在x=3处可导 atb.x< 5、试确定曲线y=hx上哪些点的切线平行于下列直线 (1)y=x-1,(2)y=2x-3 6、求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程: (1)y=,pP(2,):(2)y=cosx,P(0,1) 7、求下列函数的导函数: ()(x)=对:(2)f(x) x+1,x≥0, l,x<0 8、设函数 f(x) xSm-X≠ (m为正整数) 0,x=0, 试问:(1)m等于何值时,f在x=0连续; (2)m等于何值时,f在x=0可导 (3)m等于何值时,∫在x=0连续。 求下列函数的稳定点: (1)f(x)=sinx-cosx(2)f(x)=x-hn x 10、设函数f在点x存在左右导数,试证明f在点x连续
1 第五章 导数和微分 习题 §5.1 导数的概念 1、已知直线运动方程为 2 s = 10t + 5t ，分别令 t = 1,0.1,0.01 ，求从 t=4 至 t = 4 + t 这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。 2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的 定义。 3、设 f (x0 ) = 0, f (x0 ) = 4 ，试求极限 x f x x x + → ( ) lim 0 0 。 4、设 + = , 3, , 3, ( ) 2 ax b x x x f x 试确定的 a,b 值，使 f 在 x=3 处可导。 5、试确定曲线 y = ln x 上哪些点的切线平行于下列直线： （1） y = x −1; （2） y = 2x − 3 6、求下列曲线在指定点 P 的切线方程与法线方程： （1） , (2,1);(2) cos , (0,1). 4 2 p y x p x y = = 7、求下列函数的导函数： + = = 1, 0, 1, 0, (1) ( ) ;(2) ( ) 3 x x x f x x f x 8、设函数 = = 0, 0, , 0, 1 sin ( ) x x x x f x m （m 为正整数）， 试问：（1）m 等于何值时,f 在 x=0 连续； （2）m 等于何值时,f 在 x=0 可导； （3）m 等于何值时, f 在 x=0 连续。 9、求下列函数的稳定点： (1)f(x)=sinx-cosx；(2) f (x) = x − ln x。 10、设函数 f 在点 0 x 存在左右导数，试证明 f 在点 0 x 连续
11、设g(0)=g'(0)=0,f(x) 0, 0,x=0, 求f(0) 12、设f是定义在R上的函数,而且对任何x,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2) 若∫(0)=1,证明对任何x∈R,都有f(x)=f(x) 13、证明:若f(x)存在,则 lim /(o+ Ax)-/(xo-Ax) 2f(x0) 14、证明:若函数f在[a,b]上连续,而且f(a)=f(b)=K,f(a)厂"(b)>0,则在(a,b) 内至少有一点5,使∫(5)=K。 15、设有一吊桥,其铁链成抛物线型,而且端系于相距100米高度相同的支柱上,铁 链之最低在悬点下10米处,求铁链与支柱所成的角 16、在曲线y=x3上取一点P,过点P的切线与该曲线交于Q,证明:曲线在Q处的 切线斜率正好是在P处切线斜率的四倍。 §5.2求导法则 1、求下列函数在指定点的导数: (1)设f(x)=3x+2x3+5,求f(O),f( (2)设f(x) 求f(0),f(x) CoSx (3)设∫(x)=√1+√x,求f(0),f()f(4) 2、求下列函数的导数 (1)=3X2+2(2)y I+x+ +nx;(4)y +m+2x+ (5)y=x logs x:(6)y=e cosx tanx (7y=(x2+1)(3x-1)(1-x)(8)y (9)y=,;(1O)y= 1+In x CoS x I+x (1 D)y=(Vx+1)arctan x,(12)y sin x+ cos x
2 11、设 g(0) = g (0) = 0 ， = = 0, 0, , 0, 1 ( )sin ( ) x x x g x f x 求 f (0) 。 12、设 f 是定义在 R 上的函数，而且对任何 x1 , x2 R ，都有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x + x = f x f x 。 若 f (0) = 1 ，证明对任何 x R ，都有 f (x) = f (x) 。 13、证明：若 ( ) 0 f x 存在，则 2 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x x f x x f x x x = + − − → 14、证明：若函数 f 在[a,b]上连续，而且 f(a)=f(b)=K，f + (a) f − (b) 0，则在(a,b) 内至少有一点 ，使 f ( ) = K 。 15、设有一吊桥，其铁链成抛物线型，而且端系于相距 100 米高度相同的支柱上，铁 链之最低在悬点下 10 米处，求铁链与支柱所成的角。 16、在曲线 3 y = x 上取一点 P，过点 P 的切线与该曲线交于 Q，证明：曲线在 Q 处的 切线斜率正好是在 P 处切线斜率的四倍。 §5.2 求导法则 1、求下列函数在指定点的导数： （1）设 ( ) 3 2 5 4 3 f x = x + x + ，求 f (0), f (1), （2）设 x x f x cos ( ) = ，求 f (0), f ( ), （3）设 f (x) = 1+ x ，求 f (0), f (1), f (4), 2、求下列函数的导数： x x x y x x y x x y x x y x x y x x x y y x x y e x x x x m m x y x nx y x x x y x y x n sin cos 1 (11) ( 1)arctan ;(12) ; 1 ln 1 ln ;(10) 1 cos (9) ; tan (7) ( 1)(3 1)(1 );(8) (5) log ;(6) cos ; ; 2 (3) ;(4) 2 1 ; 1 (1) 3 2;(2) 2 2 3 3 3 2 2 2 + + = + = − + = − = = + − − = = = = + = + + + + + − = + =
3、求下列函数的导函数 (1 (2)y=(x2-1)3; (4)y=IndIn x) (5)y=In(sin x);(6)y=lg(x+x+1); 1+x (7)y=lx+√1+x2);(8) 1+ 4 (9)y=(sin x+cos x);(IO)y=cOs4x: (11)y=sin√1+x2;(12)y=(sinx2)3; (13)y= arcsin -:(14) (arctan xx 1+x (15)y arc cot 1:(16)y arcsin(sin (19)y=x=1x;(20)y=xx (21)y=e-sin2x(22)y= 十√x (23)y= sin( sin(si n x));(24)y= sin s sn x (25)y=(X-41)“(X-a2) (an) asin xb (2)y=√ab arcsIn a+bsin x 4、对下列各函数计算f(x),f(1+x),f(x-1) (1)f(x)=x3;(2)f(1+x)=x3 (3)f(入 5、已知g为可导函数,a为实数,试求下列函数f的导数: (1)f(x)=g(x+8(4))(2)f(x)=g(X+g(a)) (3)f(x)=g(xg(4))(4f(x)=g(xg(x)) 6、设f为可导函数,证明:若x=1时有
3 3、求下列函数的导函数： ; sin sin arcsin 1 (26) (25) ( ) ( ) ( ) ; ; ) sin sin( (23) sin(sin(si n ));(24) sin (21) sin 2 ;(22) ; (19) ;(20) ; (17) ;(18) 2 ; ;(16) arcsin(sin ); 1 1 (15) cot ;(14) (arctan ) ; 1 (13) arcsin (11) sin 1 ;(12) (sin ) ; (9) (sin cos ) ;(10) cos 4 ; ; 1 1 1 1 (7) ln( 1 );(8) ln (5) ln(sin );(6) lg( 1); ) ;(4) ln(ln ); 1 1 (3) ( (1) 1 ;(2) ( 1) ; 2 2 1 2 sin 1 sin 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2 3 1 2 a b x a x b a b y y x a x a x a x x x y x y y e x y x x x y x y x y e y y x x x y arc y x x y y x y x y x x y x x x x x y x x y y x y x x y x x x y y x x y x n x a n a a x x x x x + + − = = − − − = = = = + + = = = = = − + = = = = + = = + = + + − + − − = + + = = = + + = − + = = − = − − + 4、对下列各函数计算 f (x), f (1+ x), f (x −1), 3 3 3; (3) ( 1) (1) ( ) ;(2) (1 ) ; f x x f x x f x x − = = + = 5、已知 g 为可导函数，a 为实数，试求下列函数 f 的导数： (3) ( ) ( ( ));(4) ( ) ( ( )) (1) ( ) ( ( ));(2) ( ) ( ( )); f x g x g a f x g x g x f x g x g a f x g x g a = = = + = + 6、设 f 为可导函数，证明：若 x=1 时有
d f(x 则必有∫()=0或f(1)=1 7、定义双曲函数如下 双曲正弦函数shx= 2:双曲余弦函数che2+e 双曲正切函数tx=shx:双曲余切函数c chx cothx= 证明 (1)(shx)’=chx (2)(chx)=shx; (3)(thx)'= chx (4)( coth x)'=- 8、求下列函数的导数 (1) y=shx: (2) y=ch(shx) (3) y=ln (chx) (4)y= arctan(thx)。 9、以sh-x,ch-x,h-x,coth-x分别表示各双曲函数的反函数。试求下列函 数的导数: (1)y=sh x: (3)y=th x (4)y=coth-x (5)y=th x-coth" x: (6) y=sh(tan x) §5.3参变量函数的导数 1、求下列由参变量方程所确定的导数: x=cost (1) y=sin t (2) 1+1在t>0处 2、设 x=a(t-sin t), dy y=a(l-cost).dxT 3、设双曲方程x=1-12,y=t-t2,求它在下列点处的切线方程与法线方程
4 ( ) ( ) 2 2 f x dx d f x dx d = 。 则必有 f (1) = 0 或 f（1）=1。 7、定义双曲函数如下： 双曲正弦函数 shx= 2 x x e e − − ；双曲余弦函数 chx= 2 x x e e − + ； 双曲正切函数 thx= chx shx ；双曲余切函数 cothx= shx chx 。 证明： （1） (shx) =chx； （2） (chx) = shx ； （3） ch x thx 2 1 ( ) = ； （4） sh x x 2 1 (coth ) = − 。 8、求下列函数的导数： （1）y= sh x 3 ； （2）y=ch（shx）； （3）y=ln（chx）； （4）y=arctan（thx）。 9、以 sh x −1 ， ch x −1 ，th x −1 ， x 1 coth − 分别表示各双曲函数的反函数。试求下列函 数的导数： （1）y= sh x −1 ； （2）y= ch x −1 ； （3）y= th x −1 ； （4）y= x 1 coth − ； （5）y= th x −1 - x 1 coth − ； （6）y= (tan ) 1 sh x − 。 §5.3 参变量函数的导数 1、求下列由参变量方程所确定的导数 dx dy ： （1） = = y t x t 4 4 sin cos , 在 t=0， 2 处； （2） + − = + = t t y t t x 1 1 , 1 在 t>0 处。 2、设 = − = − (1 cos ). ( sin ), y a t x a t t 求 2 | dx t= dy ， t= dx dy | 。 3、设双曲方程 x = 1 - 2 t ，y = t - 2 t ，求它在下列点处的切线方程与法线方程：
(1)t=1 (2)t 4、证明曲线 x=a(cost+tsin t) 上任一点的法线到原点距离等于a 5、证明:圆r=2asin(a>0)上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。 6、求心形线r=a(1+cosO)的切线与切点向径之间的夹角。 §5.4高阶导数 1、求下列函数在指定点的高阶导数 (1)f(x)=3x3+4x2-5x-9,求∫"(1),f"(1),f((1) (2)f(x)= 求∫"(0)f"(1)f"(-1) 2、设函数f在点x=1处二阶可导,证明:若f(1)=0,f"(1)=0,则在x=1处有 d f(x2)=2f2(x) 3、求下列函数的高阶导数: (1)f(x)=xlnx,求f"(x) (2)f(x)=e,求f"(x) (3)f(x)=ln(1+x),求f5(x);(4)f(x)=x3e2,求f0(x)。 4、设f为二阶可导函数,求下列各函数的二阶导数 (1) y=f (lnx ) (2)y=f(x)n∈N;(3)y=f(f(x))。 5、求下列函数的n阶导数 y-inx: (2)y=a2(a>0,a≠1) (3) (4)y (5)f(x) (6)y=e" sin bx(a,b均为实数) 6、求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数
5 （1）t=1； （2）t= 2 2 。 4、证明曲线 = − = + (sin cos ) (cos sin ), y a t t t x a t t t 上任一点的法线到原点距离等于 a。 5、证明：圆 r= 2a sin (a 0) 上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。 6、求心形线 r= a(1+ cos) 的切线与切点向径之间的夹角。 §5.4 高阶导数 1、求下列函数在指定点的高阶导数： （1）f（x）= 3 4 5 9 3 2 x + x − x − ，求 (1), (1), (1) (4) f f f ； （2）f（x）= 2 1 x x + ，求 f (0), f (1), f (−1). 。 2、设函数 f 在点 x=1 处二阶可导，证明：若 f (1) = 0, f (1) = 0 ，则在 x=1 处有 ( ) ( ) 2 2 2 2 f x dx d f x dx d = 。 3、求下列函数的高阶导数： （1）f（x）=xlnx，求 f (x) ； （2）f（x）= 2 x e − ，求 f (x) ； （3）f（x）=ln（1+x），求 ( ) (5) f x ； （4）f（x）= x x e 3 ，求 ( ) (10) f x 。 4、设 f 为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数； （1）y=f（lnx）； （2）y= n N+ f x n ( ), ； （3）y=f（f（x））。 5、求下列函数的 n 阶导数： （1）y=lnx； （2）y= a (a 0,a 1) x ； （3）y= (1 ) 1 x − x ； （4）y= x ln x ； （5）f（x）= x x n 1− ； （6）y= e bx a b ax sin ( , 均为实数）。 6、求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数 2 2 dx d y ：
x=a cos (2)r=e cost, y=asin I y=e sin t 7、研究函数f(x)=x3|在x=0处的各阶导数 8、设函数y=f(x)在点x二阶可导,且f(x)≠0。若f(x)存在反函数x=f-(y) 试用f(x),∫"(x)以及∫"(x)表示(-)"(y)。 9、设y= arctan。 (1)证明它满足方程(+x2)y+2xy=0 )求ym 10、设y=a arcsinx (1)证明它满足方程(1-x2)ym+2)-(2n+1)y-n2y=0(n≥0); 11、证明:函数 f(x) 在x=0处n阶可导且f”(O)=0,其中n为任意正整数。 §5.5微分 1、若x=1,而Δx=0.1,0.01。问对于y=x2,△y与dy之差分别是多少? 2、求下列函数微分: (1) Inx (3)y =x cos 2x x (4)y=;2 (5) 3、求下列函数的高阶微分 d(uv),dG 4、利用微分求近似值: (2)lg11 6
6 （1） = = sin ; cos , 3 3 y a t x a t （2） = = sin . cos , y e t x e t t t 7、研究函数 f（x）=| | 3 x 在 x=0 处的各阶导数。 8、设函数 y=f（x）在点 x 二阶可导，且 f (x) 0 。若 f（x）存在反函数 x= ( ) 1 f y − ， 试用 f (x), f (x) 以及 f (x) 表示 ( ) ( ) 1 f y − 。 9、设 y=arctanx。 （1）证明它满足方程 (1 ) 2 0 2 + x y + xy = ； （2）求 0 ( ) | x= n y 。 10、设 y=arcsinx （1）证明它满足方程 (1 ) (2 1) 0( 0) 2 ( 2) ( 1) 2 ( ) − − + − = + + x y n y n y n n n n ； （2）求 0 ( ) | x= n y 。 11、证明：函数 = = − 0, 0 , 0, ( ) 2 1 x e x f x x 在 x=0 处 n 阶可导且 (0) 0 ( ) = n f ，其中 n 为任意正整数。 §5.5 微分 1、若 x=1，而Δx=0.1，0.01。问对于 y= 2 x ，Δy 与 dy 之差分别是多少？ 2、求下列函数微分： （1）y = 2 3 4 3 1 x + 2x − x + x ； （2）y = xlnx – x； （3）y = x cos 2x 2 ； （4）y = 2 1 x x − ； （5）y = e bx ax sin ； （6）y = 2 arcsin 1− x 。 3、求下列函数的高阶微分： （1）设 u（x）=lnx，v（x）= x e ，求 ( ), ( ) 3 3 v u d uv d ； （2）设 u（x）= 2 x e ，v（x）=cos2x，求 ( ), ( ) 3 3 v u d uv d 。 4、利用微分求近似值： （1） 3 1.02 ； （2）lg11；
(3)tan4510′ (4) 5、为了使计算出球的体积准确到1%,问度量半径r时允许发生的相对误差至多应多 少? 6、检验一个半径为2米,中心角为55°的工件面积,现可直接测量其中心角或此角所 对的弦长,设量角最大误差为0.5°,量弦长最大误差为3亳米,试问用哪一种方法检验的 结果较为准确。 总练习题 ax+ 证明: +d (1)y (cx+d)2c d (cx+d)+ 2、证明下列函数在x=0处不可导: (1)f(x)=x3 (2)f(x)=|ln|x-1|1 3、(1)举出一个连续函数,它仅在已知点a12a2,…,an不可导; (2)举出一个函数,它仅在点a1,a2…an可导。 4、证明: (1)可导的偶函数,其导函数为奇函数 (2)可导的奇函数,其导函数为偶函数 (3)可导的周期函数,其导函数仍为周期函数 5、对下列命题,若认为是正确的,请给予证明:若认为是错误的,请举一反例予以 否定 (1)设f=q+W,若f在点x0可导,则φ,W在点x0可导 (2)设f=q+W,若φ在点x0可导,v在点x0不可导,则f在点x0一定不可导; (3)设f=q·W,若f在点x0可导,则φ,v在点x0可导; (4)设f=q·v,若在点x0可导,W在点x不可导,则f在点x一定不可导 6、设o(x)在点a连续,f(x)=|x-aq(x),求厂(a)和∫(a)。问在什么条件 下f'(a)存在? 、设f为可导函数,求下列各函数的一阶导数:
7 （3） tan 45 10 0 ； （4） 26 。 5、为了使计算出球的体积准确到 1%，问度量半径 r 时允许发生的相对误差至多应多 少？ 6、检验一个半径为 2 米，中心角为 0 55 的工件面积，现可直接测量其中心角或此角所 对的弦长，设量角最大误差为 0 0.5 ，量弦长最大误差为 3 毫米，试问用哪一种方法检验的 结果较为准确。 总练习题 1、设 y = cx d ax b + + ，证明： （1） y = 2 ( ) 1 cx + d c a d b ； （2） 1 1 ( ) 1 ( ) ! ( 1) + − + + = − n n n n cx d n c y c a d b 。 2、证明下列函数在 x=0 处不可导： （1）f（x）= 3 2 x ； （2）f（x）=|ln|x-1||。 3、（1）举出一个连续函数，它仅在已知点 a a an , , , 1 2 不可导； （2）举出一个函数，它仅在点 a a an , , , 1 2 可导。 4、证明： （1）可导的偶函数，其导函数为奇函数； （2）可导的奇函数，其导函数为偶函数； （3）可导的周期函数，其导函数仍为周期函数。 5、对下列命题，若认为是正确的，请给予证明；若认为是错误的，请举一反例予以 否定： （1）设 f= + ，若 f 在点 0 x 可导，则 ， 在点 0 x 可导； （2）设 f= + ，若 在点 0 x 可导， 在点 0 x 不可导，则 f 在点 0 x 一定不可导； （3）设 f= · ，若 f 在点 0 x 可导，则 ， 在点 0 x 可导； （4）设 f= · ，若 在点 0 x 可导， 在点 0 x 不可导，则 f 在点 0 x 一定不可导。 6、设 （x）在点 a 连续，f（x）=|x-a| （x），求 f (a) − 和 f (a) + 。问在什么条件 下 f (a) 存在？ 7、设 f 为可导函数，求下列各函数的一阶导数：
(1)y=f(ex)e/(; (2)y=f(f(f(x))。 8、设Q,v为可导函数,求y (1)y=V(0(x)2+(v(x) (2)y =arctan p(x) (3)y= log ofr,y(x)(q,v>0,9≠1)。 9、设f(x)(,j=12,…,n)为可导函数,证明: f1(x)f2(x)…fn(x) fn(x)2(x)f2(x)…fn(x d|/2(x)f2(x)…fn(x) f1(x)f2(x)…fm(x) fn(x)fn2(x)…fm(x) Jn(x)Jn2(x)…fn(x) 并利用这个结果求F'(x): 12 (1)F(x)=-3x3 (2)F(x)=12x3 习题答案 §5.1导数的概念 1、△t=1;v=55;△t=0.1,v=50.5;△t=0.01;v=50.05;v=50。 2、在时间t时刻所对应的旋转角40),则角速度为o0)=0D)。 5、(1)(1,0);(2)(-hn2) 6、(1)切线方程:y=x-1,法线方程:y=-x+3 (2)切线方程:y=1,法线方程:x=0。 7、(1)f(x)= 3x2,x≥0, 1,x>0 (2)∫(x) 0 而当x=0时f(x)不存 8、(1)m≥1;(2)m≥2;(3)m≥3。 9、(1)k丌±-;(2)x=1
8 （1）y = ( ) ( ) x f x f e e ； （2）y =f（f（f（x）））。 8、设 ， 为可导函数，求 y ： （1）y = 2 2 ((x)) + ( (x)) ； （2）y = ( ) ( ) arctan x x ； （3）y = log ( )( , 0, 1) ( x) x 。 9、设 f (x)(i, j 1,2, ,n) ij = 为可导函数，证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 f x f x f x f x f x f x f x f x f x dx d n n nn n n == n k n n nn k k kn n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x 1 1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 并利用这个结果求 F(x)： （1）F（x）= 2 3 1 3 3 1 1 2 − − + − − x x x ； （2）F（x）= x x x x x x 0 2 6 1 2 3 2 2 3 。 习题答案 §5.1 导数的概念 1、Δt=1； v =55；Δt=0.1，v =50.5；Δt=0.01； v =50.05；v=50。 2、在时间 t 时刻所对应的旋转角 (t) ，则角速度为 (t) = dt d(t) 。 3、4． 4、a=6，b=-9。 5、（1）（1，0）；（2） , ln 2) 2 1 ( − 。 6、（1）切线方程：y = x – 1，法线方程：y = -x + 3； （2）切线方程：y = 1，法线方程：x = 0。 7、（1） − = 3 , 0; 3 , 0, ( ) 2 2 x x x x f x （2） = 0, 0, 1, 0, ( ) x x f x 而当 x = 0 时 f (x) 不存在。 8、（1）m≥1；（2）m≥2；（3）m≥3。 9、（1） 4 k ；（2）x = 1。 11、0．
§5.2求导法则 1、(1)f'(0)=0,f(1)=18:(2)f'(0)=1,f'()=1:(3)f(1)= 42/(4 83 )y=n(xn+1) (4) (6)y′=e'(cosx-snx):(7)y=-18x3+5x4-12x3-12x2-2x+3 xsec x-tan x (8)y (9)p′=1-cos xsn.(10 (1-hx) (11) (12)1,_2x(sin x+cos x)-(x"+1)(cosx-sin3 x)2 (1+x2)2(1+2x-x2) x(x (1-x) 2x+11 +1h10 (8) (9)y=3cos 2x (sinx+cosx);(10) y=-6cos4xsin8x: cOSv1+x':(12)y'=6xsin x cosx:(13)y sin 2x (14)y arctan x:(15) (16) (17)y=e:(18)y=In 2. 2 n cosx:(19)y=x(cosx In r+sn)' (20)y=xx[n x+Inx+-]:(21)y=e-[ cos 2x-sin 2x
9 15、 5 2 − arctan 。 §5.2 求导法则 1、（1） f (0) =0，f (1) =18；（2） f (0) =1，f ( ) =-1；（3） f (1) = 4 2 1 ； f (4) = 8 3 1 。 2、（1） y =6x；（2） y = 2 2 2 ( 1) 4 1 + + − − − x x x x ；（3） y = ( 1) 1 + n− n x ； （4） y = x x x x m m 1 1 1 2 − + − ；（5） y = ln 3 3 log 2 3 2 x x x + ； （6） y = e (cos x sin x) x − ；（7） y = 18 5 12 12 2 3 5 4 3 2 − x + x − x − x − x + ； （8） y = 2 2 sec tan x x x − x ；（9） y = 2 (1 cos ) 1 cos sin x x x x − − − ；（10） y = 2 (1 ln ) 2 x − x ； （11） y = 2 1 1 arctan 2 1 x x x x + + + ； （12） y = 2 2 (sin cos ) 2 (sin cos ) ( 1)(cos sin ) x x x x x x x x + + − + − 。 3、（1） y = 2 2 1 1 2 x x − − ；（2） y = 2 2 6x(x −1) ；（3） y = 4 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 2 ) 3 x x x x − + + − ； （4） y = x ln x 1 ；（5） y =cotx；（6） y = ln 10 1 1 2 1 2 + + + x x x ；（7） y = 2 1 1 + x ； （8） y = 2 1 1 x − x ；（9） y =3cos2x（sinx+cosx）；（10） y =-6cos4xsin8x； （11） y = 2 2 cos 1 1 x x x + + ；（12） y = 2 2 2 6x sin x cos x ；（13） y = | | 1 1 2 − − x x ； （14） y = 3 6 2 arctan 1 6 x x x + ；（15） y = 2 1 1 + x − ；（16） y = x x 4 1 sin sin 2 − ； （17） y = x+1 e ；（18） y = x x ln 2 2 cos sin ；（19） y = ) sin (cos ln sin x x x x x x + ； （20） y = ] 1 [ln ln 2 x x x x x x x x + + ；（21） y = e [2cos2x sin 2x] x − − ；
4x√x+√x+2x+1 8√x√x+√x:yx+√x+ (23)y’=cos( sin(si nx)cos(snx)·cosx; x sin x-xcos x -x cos sIn x (24)y sin x sIn x (25)y (26) Cos x la+bsnx‖cosx 4、(1)f(x)=3x2,f(x+1)=3(x+1)2,f(x-1)=3(x-1) (2)f(x)=3(x-1)2,f(x+1)=3x2,f(x-1)=3(x-2)2 (3)f(x)=3(x+1)2,f(x+1)=3(x+1)2,f(x-1)=3(x-1)2 5、(1)∫(x)=g'(x+g(a);(2)f(x)=g(x+g(x)1+g'(x) (3)f(x)=g'(xg(a)·g(a);(4)f'(x)=g'(xg(x)(g(x)+xg'(x)。 8.(1) y=3sh-xchx:(2)y=sh(shx) chx (3)y (4)y sh2xtch2x 9、(1)y=r;(2) 1+x (4))1-x2(x1):(5)y’=0:(6)y=|seco §5.3参变量函数的导数 dy = (2) 2、(1) dr liar =0 3、(1)切线方程y=x,法线方程y=-2x (2)2y-(2-√2)x 2,2x+(2-√2)y
10 （22） y = x x x x x x x x x x + + + + + + 8 4 2 1 ； （23） y = cos(sin(si n x)) cos(sin x) cos x ； （24） y = − − x x x x x x x x x x x x x x sin sin sin sin cos sin cos sin sin ) sin sin( cos 2 2 ； （25） y = − − = = n k k k n j a j x a a x a j 1 1 ( ) ；（26） y = | sin || cos | cos a b x x x + 。 4、（1） f (x) = 2 3x ， f (x +1) = 2 3(x +1) ， f (x −1) = 2 3(x −1) ； （2） f (x) = 2 3(x −1) ， f (x +1) = 2 3x ， f (x −1) = 2 3(x − 2) （3） f (x) = 2 3(x +1) ， f (x +1) = 2 3(x +1) ， f (x −1) = 2 3(x −1) 5、（1） f (x) = g (x + g(a)) ；（2） f (x) = g (x + g(x))(1+ g (x)) （3） f (x) = g (xg(a)) g(a) ；（4） f (x) = g (xg(x))(g(x) + xg (x)) 。 8、（1） y = sh xchx 2 3 ；（2） y =sh（shx）chx； （3） y =thx； （4） y = sh x ch x 2 2 1 + 。 9、（1） y = 2 1 1 + x ；（2） y = 1 1 2 x − ；（3） y = (| | 1) 1 1 2 − x x ； （4） y = (| | 1) 1 1 2 − x x ；（5） y =0；（6） y =|secx|。 §5.3 参变量函数的导数 1、（1） t=0 = 0 dx dy ， = = 2 dx t dy ； （2） = −2 dx dy 。 2、（1） 1 2 = = dx t dy ， t= = 0 dx dy 。 3、（1）切线方程 y = x 2 1 ，法线方程 y = -2x； （2） 2 2 2 3 2y − (2 − 2)x = − ， 2 1 2 3 2x + (2 − 2) y = −
