实验五用 Mathematica软件计算一元函数的积分 实验目的 1.掌握用 Mathematica软件作求不定积分和定积分语句和方法。 2.熟悉软件在建模中应用 实验准备 数学概念 1.不定积分 2.定积分 实验过程与要求 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容 、利用 Mathematica软件包计算不定积分 在 Mathematica系统中用 Integrate函数求函数的不定积分,基本格式为 Integrate [fLx], x 其中fx]是以x为自变量的函数或表达式 实验求∫(x3-4sinx+2 arctan x-9)dx A In[1]: Integrate[x 3-4Sin[x]+2ArcTan[x]-9, x 注意结果中省略了常数C 实验求∫+x A In [2]: Integrate[(x+Sin[x])/(1+Cos [x]),x] 课后实验 用笔算和机算两种方法求下列各积分: (1)∫+3)h (2)「 (3) arcsin x arctan dx (4) d x (5) COS x dx (6) (7)sin2 x cos2xdx (8) 、求定积分和广义积分
实验五 用 Mathematica 软件计算一元函数的积分 实验目的: 1. 掌握用 Mathematica 软件作求不定积分和定积分语句和方法。 2. 熟悉软件在建模中应用 实验准备： 数学概念 1. 不定积分 2. 定积分 实验过程与要求: 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容: 一、利用 Mathematica 软件包计算不定积分 在 Mathematica 系统中用 Integrate 函数求函数的不定积分，基本格式为： Integrate [f[x], x] 其中 f[x]是以 x 为自变量的函数或表达式. 实验 求 (x 4sin x 2arctan x 9)dx 3 − + − . 解 In[1]:= Integrate[x^3-4Sin[x]+2ArcTan[x]-9,x] 注意结果中省略了常数 C. 实验 求 dx x x x + + 1 cos sin . 解 In[2]:= Integrate[(x+Sin[x])/(1+Cos[x]),x] 课后实验 用笔算和机算两种方法求下列各积分： （1） ( ) + dx x x 2 2 3 （2） x 2x +1dx 2 （3） − dx x x 2 1 arcsin （4） + dx x x 2 1 arctan （5） + dx x x 3 4sin cos （6） + − dx e e x x 1 （7） x xdx 2 2 sin cos （8） + dx e e x x 1 2 二、求定积分和广义积分
在 Mathematica系统中定积分的计算也用 Integrate函数,基本格式为: ate [flx, x, a, bl] 其中表{x,a,b中,x为积分变量,a,b分别代表积分下限和上限,当b为∞ 时,即为广义积分 实验求x AF In[3]: Integrate[(x 2)Cos [x],Ix, 0,11 实验求 A In[4]: Integrate [Exp[-2x], Ix, 0, +Infinity] 如果要得积分值的近似值,可将N函数作用于上,对于某些已经被证明其原 函数不能用初等函数来表示的积分也可直接用 Integrate求其数值解 实验求x2 cos xdx的近似值 A In[5]: NIntegrate[(x 2)Cos [x],(x, 0,1) Out[5]=0.239134 实验求x的数值解 A In[6]: NIntegrate [Sin[xl/x, Ix,0, 13 实验 用笔算和机算两种方法求下列各积分: +5)dx sin rdx -dx 4. xIn xdx 6 i sin xdx 三、应用实验 本实验研究转售机器的最佳时间问题 人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。通常是把购买的机器使用一段 时间后再转售出去买更好的机器。那么一台机器使用多少时间再转售出去才能获 得最大的利润是使用机器者最想知道的。现有一种机器由于折旧等因素其转售价
在 Mathematica 系统中定积分的计算也用 Integrate 函数，基本格式为： Integrate [f[x], {x,a,b}] 其中表{x,a,b}中，x 为积分变量，a,b 分别代表积分下限和上限，当 b 为∞ 时，即为广义积分. 实验 求 x cos xdx 1 0 2 . 解 In[3]:= Integrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}] 实验 求 e dx x + − 0 2 . 解 In[4]:= Integrate[Exp[-2x],{x,0,+Infinity}] Out[4]= 1 2 如果要得积分值的近似值，可将 N 函数作用于上，对于某些已经被证明其原 函数不能用初等函数来表示的积分也可直接用 Nintegrate 求其数值解. 实验 求 x cos xdx 1 0 2 的近似值. 解 In[5]:= NIntegrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}] Out[5]= 0.239134 实验 求 dx x x 1 0 sin 的数值解. 解 In[6]:= NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}] Out[6]= 0.946083 实验 三、应用实验 本实验研究转售机器的最佳时间问题 人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。通常是把购买的机器使用一段 时间后再转售出去买更好的机器。那么一台机器使用多少时间再转售出去才能获 得最大的利润是使用机器者最想知道的。现有一种机器由于折旧等因素其转售价 + − − + + + − + 0 2 1 2 1 1 0 2 2 2 2 6. sin 1 5. 4. ln 1 3. 5 ) 2. sin 7 1 3 1. 2 dx e xdx x x dx x xdx x x dx xdx x x e x e （ x x 用笔算和机算两种方法求下列各积分：
格R()服从如下函数关系R(1)=3e(元),这里t是时间,单位是周,A是 机器的最初价格。此外,还知道在任何时间t机器开动就能产生P=4e的利 润,问该机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大?最大利润是多少?机 器卖了多少钱? 1)问题分析 设机器总共使用了x周,总收入为S(x)。因为总收入S(x)为使用和卖出机器 获得的利润之和。由题意当机器使用了x周卖出后,获得的转售利润为3e9 使用机器创造的利润为∩Ad,因此有总收入 4 S(x)=4 0xl Out[5}=-a/393216 In 6: =xI//N out[6}=332.711
格 R(t)服从如下函数关系 96 4 3 ( ) t e A R t − = （元），这里 t 是时间，单位是周，A 是 机器的最初价格。此外，还知道在任何时间 t,机器开动就能产生 48 4 t e A P − = 的利 润，问该机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？最大利润是多少？机 器卖了多少钱？ 1)问题分析 设机器总共使用了 x 周，总收入为 S(x)。因为总收入 S(x)为使用和卖出机器 获得的利润之和。由题意当机器使用了 x 周卖出后，获得的转售利润为 96 4 3 x e A − ， 使用机器创造的利润为 x − t e dt A 0 48 4 ，因此有总收入 = + + − − e dt ＜x＜ A e a S x x x t , 0 4 4 3 ( ) 0 96 48 于是问题变为求函数 S(x)在区间 (0,+)最大值问题。对函数 S(x)在求导 0 4 4 3 96 1 ( ) 96 48 = − + = − − x x e A e A S x 求出函数 S(x)在区间(0,+)的驻点，然后进行讨论即可。如果 S(x)在 x1 取得最 大值，则有总最大利润为 S(x1)，最大利润为 S(x1)-A,机器卖的钱数为 96 1 4 3 x e A − 。 2）实验步骤 In[1]:= s[x_]:=3a/4*Exp[-x/96]+Integrate[a/4*Exp[-t/48],{t,0,x}] In[2]:= D[s[x],x] Out[2]= 96 48 128 4 x x e a e a − − − + In[3]:= Exp[x/48-x/96]==128/4 Out[3]= Ex/96 == 32 In[4]:= x1=96*Log[32] Out[4]= 96 Log[32] In[5]:= D[s[x],{x,2}]/.x->x1 Out[5]= -a/393216 In[6]:= x1//N Out[6]= 332.711
In[7] sxl/N Ou7=12.0117a p-slx1I-a//N Out[8}=119883a in[9]=3a/4Expx1/96 Out9F 128 由计算结果可知,驻点x1=96ln32。函数S"(x1)=-a/3932160 因此S(x)在x1取得最大值。在使用时间为x=96ln32≈333周获得最大总利润约 为120117a,最大利润越为119883a,机器卖了二元钱。 128
In[7]:= s[x1]//N Out[7]= 12.0117 a In[8]:= p=s[x1]-a//N Out[8]= 11.9883 a In[9]:= 3a/4*Exp[-x1/96] Out[9]= 128 3a 由计算结果可知，驻点 x1=96ln32。函数 S(x1)= -a/3932160), 因此 S (x)在 x1 取得最大值。在使用时间为 x1=96ln32333 周获得最大总利润约 为 12.0117 a，最大利润越为 11.9883 a，机器卖了 128 3a 元钱