第八章不定积分 习题 1不定积分概念与基本积分公式 1.验证下列等式,并与(3)、(4)两式相比照 (1)Jf(x=f(x)+C; (2)Jj()=f(x)+C 2.求一曲线y=f(x),使得在曲线上每一点(ry处的切线斜率为2x,且通过点(25) 3.验证y=2即x是内在(+)上的一个原函数 4.据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数没有原函数? 5.求下列不定积分 d db 4-4x (7)tan"xdx; (8)sin2xdx 2 os 2 (11)10′·32d; (12)Vxyx√xax 1+x (13) VI-xv1+x (14)(cos x+sin x)dx (15)「(cosx·cos2xkh (16) §2换元积分法与分部积分法 1.应用换元积分法求下列不定积分: (1)jco(3x+4; (2)xe2rdx -dx (4)(1+x)dx 2x+1 (5) (6) 2x+3 dx i
1 第八章 不定积分 习题 §1 不定积分概念与基本积分公式 1． 验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照： （1） f (x)dx = f (x)+ C / ； （2） df (x) = f (x)+ C 2． 求一曲线 y = f (x) ，使得在曲线上每一点 (x, y) 处的切线斜率为 2x ，且通过点 (2,5). 3． 验证 x x y sgn 2 2 = 是 x 在 (− ,+) 上的一个原函数. 4． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数没有原函数？ 5． 求下列不定积分： （1） − + − dx x x x 3 2 3 1 1 ； （2） − dx x x 2 1 ； （3） gx dx 2 ； （4） ( ) + dx x x 2 2 3 ； （5） − dx x 2 4 4 3 ； （6） ( ) + dx x x 2 2 3 1 ； （7） xdx 2 tan ； （8） xdx 2 sin ； （9） − dx x x x cos sin cos 2 ； （10） dx x x x 2 2 cos sin cos 2 ； （11） • dt t 2t 10 3 ； （12） x x x dx ； （13） + − + − + dx x x x x 1 1 1 1 ； （14） ( ) x + x dx 2 cos sin ； （15） ( ) cos x • cos 2x dx ； （16） ( ) − e − e dx x x 3 §2 换元积分法与分部积分法 1． 应用换元积分法求下列不定积分： （1） ( ) cos 3x + 4 dx ； （2） xe dx x 2 2 ； （3） + dx 2x 1 1 ； （4） ( ) + x dx n 1 ； （5） − + − dx x x 2 2 1 3 1 3 1 ； （6） + dx 2x 3 2 ；
(8) (9)「 xsIn x2adx; (10) dx (11) (12) 1 +cosx 1+sin x (15) ∫xd (16) rn; x(1+x) (20) cot xdx (21)cos xdx sin x cos x (23) -dx (24) dx 3x+8 (25) (26) (x+1) x+1-1 (29) (30) √x+1+1 2.应用分部积分法求下列不定积分: (1)arcsin xdx (2)」hx; (3)xcos xdo (5)(Inx)dx (6)arctan dx (7)h(x) (8) (arcsin x)'dx
2 （7） 8 − 3xdx ； （8） − dx x 3 7 5 1 ； （9） x x dx 2 sin ； （10） + dx x 4 sin 2 1 2 ； （11） + dx 1 cos x 1 ； （12） + dx 1 sin x 1 ； （13） csc xdx ； （14） − dx x x 2 1 ； （15） + dx x x 4 4 ； （16） dx x ln x 1 ； （17） ( ) − dx x x 3 5 4 1 ； （18） − dx x x 2 8 3 ； （19） ( ) + dx x 1 x 1 ； （20） cot xdx ； （21） xdx 5 cos ； （22） dx sin x cos x 1 ； （23） − + dx e e x x 1 ； （24） − + − dx x x x 3 8 2 3 2 ； （25） ( ) + + dx x x 3 2 1 2 ； （26） + dx x a 2 2 1 ； （27） ( ) + dx x a 2 3 2 2 1 ； （28） − dx x x 2 5 1 ； （29） − dx x x 3 1 ； （30） + + + − dx x x 1 1 1 1 . 2． 应用分部积分法求下列不定积分： （1） arcsin xdx ； （2） ln xdx ； （3） x cos xdx 2 ； （4） dx x x 3 ln ； （5） ( ) x dx 2 ln ； （6） x arctan dx ； （7） ( ) + dx x x ln 1 ln ln ； （8） ( ) x dx 2 arcsin ；
(9)sec'xdx (10) ∫√x±ada>0) 3.求下列不定积分: (1)(x)f(xt(x≠-1) (2) dx (4) flax 4.证明 (1)若ln=∫man”xon=23…,则1nn/<an-x-1n2 (2)若/(mm)=」cxsm”xd,则当m+n≠0时, I(m n_cos" -", m-1 m+n m+n cos* xsin" -x n-1 /(m,n-2) 2,3 5.利用上题的递推公式计算: (3)cosxsin+xdx 6.导出下列不定积分对于正整数n的递推公式 l=「xe (2)1,=j(mx)yd (3)1=∫ (arcsin x) )n= 7.利用上题的递推公式计算 (1)reds (2)」x); (3)(arcsin x)'dx (4)e'sin'xdx §3有理函数和可化为有理函数的不定积分 1.求下列不定积分 2 7x+12 (3) (4) dx (5)
3 （9） xdx 3 sec ； （10） ( ) 0 2 2 x a dx a . 3． 求下列不定积分： （1） ( ) ( ) ( ) −1 / f x f x dx ； （2） ( ) ( ) + dx f x f x 2 / 1 ； （3） ( ) ( ) dx f x f x / ； （4） ( ) ( ) e f x dx f x / . 4． 证明： （1）若 I n = tan n xdx,n = 2,3, ，则 2 1 tan 1 1 − − − − = n n n x I n I ； （2）若 ( ) I m n = x xdx m n , cos sin ，则当 m+ n 0 时， ( ) ( ) ( , 2), , 2,3, cos sin 1 2, cos sin 1 , 1 1 1 1 − = + − + + = − − + − + + = + − − + I m n n m m n n m n x x I m n m n m m n x x I m n m n m n 5． 利用上题的递推公式计算： （1） xdx 3 tan ； （2） xdx 4 tan ； （3） x xdx 2 4 cos sin . 6． 导出下列不定积分对于正整数 n 的递推公式： （1） I = x e dx n kx n ； （2） ( ) I = x dx n n ln ； （3） ( ) I = x dx n n arcsin ； （4） I = e xdx x n n sin . 7． 利用上题的递推公式计算： （1） x e dx 3 2x ； （2） ( ) x dx 3 ln ； （3） ( ) x dx 3 arcsin ； （4） e xdx x 3 sin . §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 1． 求下列不定积分： （1） − dx x x 1 3 ； （2） − + − dx x x x 7 12 2 2 ； （3） + dx x 1 1 3 ； （4） + dx x 1 1 4 ； （5） ( )( ) − + dx x x 2 2 1 1 1 ； （6） ( ) + + − dx x x x 2 2 2 2 1 2
2.求下列不定积分 5-3cosx 2+sn x (3) dx (4) dx 1+ tan x 1+x 总练习题 求下列不定积分: √x-2√x-1 (2)arcsin xdx dx (4)sinx sin 2xdx tan x (7) dx I+tan x d x (10)「sin4xdx (11) (12) +√xkx x3-3x2+4 tan (13) (14) tan x+tan r+I, (15) dx (16)[rdx dx (19)「e (20) dx,其中l=a1+b1x,v=a2+b2x,求递推形式解 习题答案
4 2． 求下列不定积分： （1） − dx 5 3cos x 1 ； （2） + dx x 2 2 sin 1 ； （3） + dx 1 tan x 1 ； （4） + − dx x x x 2 2 1 ； （5） + dx x x 2 1 ； （6） + − dx x x x 1 1 1 2 . 总练习题 求下列不定积分： （1） − − dx x x x 4 3 2 1 ； （2） x arcsin xdx ； （3） + dx x 1 1 ； （4） e xdx x sin 2 sin ； （5） e dx x ； （6） − dx x x 1 1 2 ； （7） + − dx x x 1 tan 1 tan ； （8） ( ) − − dx x x x 3 2 2 ； （9） dx x 4 cos 1 ； （10） xdx 4 sin ； （11） − + − dx x x x 3 4 5 3 2 ； （12） ( ) arctan 1+ x dx ； （13） + dx x x 2 4 7 ； （14） + + dx x x x tan tan 1 tan 2 ； （15） ( ) − dx x x 100 2 1 ； （16） dx x x 2 arcsin ； （17） − + dx x x x 1 1 ln (18) dx x x 7 sin cos 1 ； （19） + − dx x x e x 2 1 1 ； （20） = dx u v I n n ，其中 u a b x v a b x 1 1 2 2 = + , = + ，求递推形式解. 习题答案
§1不定积分概念与基本积分公式 4 +c ax (3) +c (4) In 4 In 9 In 6 (5)-arcsn x+C (6)(r-arctan x)+C (7)tanx-x+C (8)(2x-sin2x)+C (9) sn x-cosx+C (10) tan x-cot x+C; 90 (11) In 90 (12)x8+C; (13)2arcsin x+C (14)x--cos2x+C; (15)sin x+-sin 3x +C (16) Be-3e +-e+Ci §2换元积分法与分部积分法 1.(1)sm(3x+4)+C; (2)e2x+C; In/2x-1+C (4)(1+x)+c )0+m(:(02+C (7) √(8-3x) +c )-3(7-5x)2+C; (9)--coSx+C (10)-co2x+z+C (11)tan-+C (12)tan x-secx+C (13)-In csc x+cot x+C (14) x+c (15)-arctan -+C (16)hhx+C;
5 §1 不定积分概念与基本积分公式 2． 1 2 y = x + . 5．（1） x C x x x − + − + 3 2 4 3 2 4 ； （2） x x C x + − + 3 3 3 4 ln 3 ； （3） C g x + 2 ； （4） C x x x + • + + ln 6 2 6 ln 9 9 ln 4 4 ； （5） arcsin x + C 2 3 ； （6） (x − arctan x)+ C 3 1 ； （7） tan x − x +C ； （8） (2x − sin 2x) + C 4 1 ； （9） sin x −cos x +C ； （10） − tan x −cot x +C ； （11） C t + ln 90 90 ； （12） x 8 + C 15 15 8 ； （13） 2arcsin x +C ； （14） x − cos 2x + C 2 1 ； （15） x x + C + sin 3 3 1 sin 2 1 ； （16） e e e e C x x x x − − + + 3 − −3 3 1 3 3 3 1 ； §2 换元积分法与分部积分法 1．（1） sin (3x + 4) + C 3 1 ； （2） e C x + 2 2 4 1 ； （3） ln 2x −1 + C 2 1 ； （4） ( ) C n x n + + + + 1 1 1 ； （5） ( x) C x + arcsin 3 + 3 1 3 arcsin ；（6） C x + + ln 2 2 2 2 ； （7） − ( − x) + C 3 8 3 9 2 ； （8） − ( − x) + C 3 2 7 5 10 3 ； （9） − x + C 2 cos 2 1 ； （10） x + C − + 4 cot 2 2 1 ； （11） C x + 2 tan ； （12） tan x −sec x +C ； （13） − ln csc x + cot x +C ； （14） − − x +C 2 1 ； （15） C x + 2 arctan 4 1 2 ； （16） ln ln x +C ；
(17 (18)hn +O (19)b C (20)NiSin x +C (21)sin x-sin'x+sinx+C;(22)In tan x+C (23) arctan e+C (24)nkx2-3x+8+C; (25)hnx+l+ +C;(26)nx+yx2+a2+C; x+12 (27) +c /,2⊥a2 8)-(-x2)+2(-x)-2(0-x2)+c 6 (29)--x6--x6-2x2-6x6-3h +C; (30)x-4√x+1+4hx+1+1+C 2.(1) arcsin x+ +c (2) xInx-x+C (3)x sin x+2xcosx-2sin x+C;(4)-I In x+1)+C (5)x(In x)-2xhn x+2x+C: (6)5(x2+arctan x 2 (7)xin(In x)+C (8)x(arcsin x)+2/1-x2arcsin x-2x+C 2 ccx tan x+In secx+ +tan x)+C (10)x√x2±a2±a2h√x2±a2+x|+C 3.(1)-((x) (2)arctan(f(x))+C (3)hf(x)+C 5.(1)tanx+In cos x+C; (2)-tan'x-tanx+x+C 3 6
6 （17） ( − x ) + C −2 5 1 10 1 ； （18） C x x + + − 2 2 ln 8 2 1 4 4 ； （19） C x x + 1− ln ； （20） ln sin x +C ； （21） x − x + x + C 3 5 sin 5 1 sin 3 2 sin ；（22） ln tan x +C ； （23） e C x arctan + ； （24） ln x − 3x + 8 + C 2 ； （25） ( ) C x x x + + − + + + 2 2 1 3 1 2 ln 1 ；（26） x + x + a + C 2 2 ln ； （27） C a x a x + + 2 2 2 ； （28） − ( − x ) + ( − x ) − ( − x )2 +C 5 2 2 3 2 2 1 2 1 5 1 1 3 2 1 ； （29） C x x x x x x + + − − − − − − 1 1 2 6 3ln 5 6 7 6 6 1 6 1 6 1 2 1 6 5 6 7 ； （30） x − 4 x +1 + 4ln x +1 +1 + C. 2．（1） x x + − x +C 2 arcsin 1 ； （2） xln x − x +C ； （3） x sin x + 2x cos x − 2sin x + C 2 ；（4） ( x ) C x − 2ln +1 + 4 1 2 ； （5） x(ln x) − 2x ln x + 2x + C 2 ； （6） ( ) C x x + x − + 2 1 arctan 2 1 2 ； （7） xln(ln x)+C ； （8） x(arcsin x) + 2 1− x arcsin x − 2x +C 2 2 ； （9） (sec x tan x + ln sec x + tan x )+ C 2 1 ； （10） x x a a x a x + C + 2 2 2 2 2 ln 2 1 . 3．（1） ( f (x)) + C + +1 1 1 ； （2） arctan(f (x))+C ； （3） ln f (x) +C . 5．（1） tan x + ln cos x + C 2 1 2 ； （2） tan x − tan x + x + C 3 1 3 ；
(3)--cos'xsin'x-sin 4x+C 16 kr I,=x(Inx) (3)I,=x(arcsin x)+nvI-x2(arcsin x)-l-n(n-1)In-2 (4) resin"lx(a sin x-ncos x)+n(n-1)/m-21 323 (2)kaxy-3x)2+6hx-6+C (3)x(arcsin x)+3v1-x(arcsin x)2-6xarcsin x-6Vl-x+C (4)e(sin x-3sin2xcos x+3sin x-3cosx)+C §3有理函数和可化为有理函数的不定积分 +x+In (2)h hn 4(x2+) (6) 2(2x2+2x+1) arctan(2x+1)+C √6 2.(1)-arctan 2 tan -+C arctan-tan x+C (3) In/cosx+snx++C;(4)72x-12x+3 arcsin (5)hx++yx2+x+C;(6)h/+v1-x2√1-x 总练习题
7 （3） x x x C x − − sin 4 + 64 1 cos sin 6 1 16 3 3 . 6．（1） 1 1 = − n− n kx n I k n x e k I ； （2） ( ) 1 = ln − n− n I n x x nI ； （3） ( ) ( ) ( ) 2 2 1 arcsin 1 arcsin 1 − − = + − − − n n n n I x x n x x n n I ； （4） ( ) ( ) 2 1 2 2 sin sin cos 1 1 − − − + − + = n a x n n e x a x n x n n I n a I . 7．（1） e x x x C x + − + − 8 3 4 3 4 3 2 2 1 3 2 ； （2） x(ln x) − 3(ln x) + 6ln x − 6+ C 3 2 ； （3） x( x) + − x ( x) − x x − − x +C 3 2 2 2 arcsin 3 1 arcsin 6 arcsin 6 1 ； （4） e ( x x x x x) C x sin − 3sin cos + 3sin − 3cos + 10 1 3 2 . §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 1．（1） x x C x x + + + ln −1 + 3 2 3 2 ； （2） ( ) C x x + − − 3 4 ln 2 ； （3） ( ) C x x x x + − + − + + 3 2 1 arctan 3 1 1 1 ln 6 1 2 2 ； （4） C x x x x x x + − + − + + + 2 2 2 1 2 arctan 4 2 2 1 2 1 ln 8 2 ； （5） ( ) ( ) C x x x x x + + − − − + − − 4 1 1 arctan 2 1 ln 1 8 1 ln 1 4 1 2 2 ； （6） ( ) ( x ) C x x x − + + + + + − arctan 2 1 2 5 2 2 2 1 5 3 2 ； 2．（1） C x + 2 arctan 2 tan 2 1 ； （2） x + C tan 2 6 arctan 6 6 ； （3） C x x + x + + 2 ln cos sin 2 1 ； （4） x x C x x + − + + − − 2 1 4 2 3 5 2 1 arcsin 8 7 ； （5） x + + x + x + C 2 2 1 ln ； （6） C x x x x + − − + − 2 2 1 1 1 ln . 总练习题
5 (2)-x arcsin x--arcsin x+-x1 (3)2x-2h+√x)+C;(4)2e-(nx-)+C; (5)2e (6) (7)In/cos x+sin x+C (8)hx-2 (9) tanx+-tan'x+C (10) sin 2x+ 4x+o 3x+1x-2C (11)=hn 2)xacn3)-x+h2+x+2+C; hn(x4+2)+C (14)x 2 (13) C (5)1(-x)9-1(0-x)+1(0-x)+c (16) arcsin x (72(+1102m+mc (19) +x (20)I=bonu+n(a, b, -a,b,) 典型习题解答 1.(§1第5题(13))求 1+x|1-x Vi+r r +x =2 arcs x+C
8 （1） x − x − x 4 + C 3 12 13 4 5 3 4 13 24 5 4 ； （2） x x − x + x − x + C 2 2 1 4 1 arcsin 4 1 arcsin 2 1 ； （3） 2 x − 2ln (1+ x )+ C ； （4） e ( x ) C x 2 sin −1 + sin ； （5） e ( x ) C x 2 −1 + ； （6） C x + 1 arccos ； （7） ln cos x + sin x +C ； （8） ( ) C x x x + − − − − − 2 2 1 2 3 ln 2 ； （9） x + x + C 3 tan 3 1 tan ； （10） x − x + sin 4x + C 32 1 sin 2 4 1 8 3 ； （11） C x x x + − + + − 2 1 1 2 ln 3 2 ； （12） x arctan(1+ x )− x + ln 2 + x + 2 x +C ； （13） x − ln(x + 2)+ C 2 1 4 1 4 4 ； （14） C x x + + − 3 2 tan 1 arctan 3 2 ； （15） ( − x) − ( − x) + ( − x) + C −99 −98 −97 1 97 1 1 49 1 1 99 1 ； （16） C x x x x + + − − − 2 1 1 arcsin ln 1 ； （17） x C x x x + + − − + 1 1 ln 2 1 2 ； （18） x x + C + 5 tan 5 1 2 tan 1 ； （19） C x e x + + 2 1 ； （20） ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 1 2 + − − + = n n n v u n a b a b I n b I 典型习题解答 1．（§1 第 5 题（13））求 + − + − + dx x x x x 1 1 1 1 解： dx x C x x x x dx x x x x = + − − + − + = + − + − + 2arcsin 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
2.(§2第1题(21))求「 coss xdx 解:j如mmx=如mx=如mx+m,x+C 52第1题(23)求∫ 解 dx= arctan e+C e"+e +1 4.(2第2题(9)求「 sec xa 解 =secx tan x- sec2x-1)secxdx sec x tan xdx ∫ed= -secx tan..+hex+tnx对+C 5(§2第题(2)若(mn)=。xsmn”xd,则当m+n≠0时 /(m,n) Cos /(m-2 xsin"x n-1 (m,n-2)n,m=2,3 证明 x cos xsin (m-1cosm-xsin xdx n cos rsm +1 n+1 jm-co3)o°d cos xsin" x m-1 +sin"xcos"-xdx sin"x cos xd n+1 n+1 m+n 同理,(m,n)= cos" sinx一 (m,n-2 6.(3第1题(4)求/
9 2．（§2 第 1 题（21））求 xdx 5 cos 解： xdx = ( − x) d x = x − x + x + C 3 5 2 5 2 sin 5 1 sin 3 2 cos 1 sin sin sin 3．（§2 第 1 题（23））求 − + dx e e x x 1 解： e C e de dx e e x x x x x = + + = + − arctan 1 1 2 4．（§2 第 2 题（9））求 xdx 3 sec ( ) xdx x x x x C x x xdx xdx x x x xdx xdx x d x x x x xdx = + + + = − + = − − = = − ln sec tan 2 1 sec tan 2 1 sec sec tan sec sec sec tan sec 1 sec sec sec tan sec tan tan sec 3 3 2 解： 3 2 5．（§2 第题（2））若 ( ) I m n = x xdx m n , cos sin ，则当 m+ n 0 时， ( ) ( ) ( , 2), , 2,3, cos sin 1 2, cos sin 1 , 1 1 1 1 − = + − + + = − − + − + + = + − − + I m n n m m n n m n x x I m n m n m m n x x I m n m n m n 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 2) cos sin 1 , 2, cos sin 1 , sin cos 1 1 sin cos 1 1 1 cos sin sin 1 cos cos 1 1 1 cos sin 1 cos sin 1 sin 1 cos sin 1 sin , cos 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 − + − + + = − − + − + + = + − − + − + + = − + − + + = − + + + = + = + − − + − − + − − + − + − + + − I m n m n n m n x x I m n I m n m n m m n x x I m n x xdx n m x xdx n m n x x x x xdx n m n x x m x xdx n x n x x n x I m n x d m n m n n m n m m n n m m n m n m n n m 同理， 6．（§3 第 1 题（4））求 + dx x 1 1 4
解 在=1(2+)=(2-1 2√2rcan-x.1/x+ +c √242
10 解： ( ) ( ) − + + + + − − = + + − − = + 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 4 2 2 2 2 4 x x x d x x x x d x dx x x x dx x C x x x x x x + + + + − − − = 2 1 2 1 ln 4 2 1 2 1 arctan 2 2 1