第十章数项级数 §1级数问题的提出 1.证明:若微分方程xy"+y+xy=0有多项式解 y=a0+a1x+a2x+……+anx, 则必有a1=0(i=1,2,…,n) 2.试确定系数a,a1…an,…使∑ax"满足勒让德方程 (1-x2)y"-2xy+l(+1)y=0 §2数项级数的收敛性及其基本性质 1.求下列级数的和: 1 (5n-4)(5n+1) (5)>r" nx, IrK l; r "cosnx IrkI 2.讨论下列级数的敛散性:
第十章 数项级数 §1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程 xy y xy " ' 0 + + = 有多项式解 2 0 1 2 , n n y a a x a x a x = + + + + 则必有 0 i a i n = ( = ) 2．试确定系数 0 1 , , , , , n a a a 使 0 n n n a x = 满足勒让德方程 2 (1 ) " 2 ' ( 1) 0. − − + + = x y xy l l y §2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ; n (5 4)(5 1) n n = − + (2) 2 1 1 ; n 4 1 n = − (3) 1 1 1 ( 1) ; 2 n n n − − = − (4) 1 2 1 ; 2 n n n = − (5) 1 sin , n n r nx = | | 1; r (6) 1 cos , n n r nx = | | 1. r 2．讨论下列级数的敛散性：
2 (3n-2)(3n+1) n(n+1)(√n+√n+1) 3.证明定理10.2. 4.设级数∑un各项是正的,把级数的项经过组合而得到新级数∑Un,即 其中k=0,k<k<k2<…<k<k<…若∑U收敛,证明原来的级数也收敛 §3正项级数 1.判别下列级数的收敛性 (1)
(1) 1 ; n 2 1 n n = − (2) 1 1 1 ( ); 2 3 n n n = + (3) 1 cos ; n 2 1 n = + (4) 1 1 ; n (3 2)(3 1) n n = − + (5) 1 1 . n n n n n ( 1)( 1) = + + + 3．证明定理 10.2. 4．设级数 1 n n u = 各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 , n n U = 即 1 1 1 2 , n n n U u u u n k k k + + + + = + + + n = 0,1,2, ， 其中 0 0 1 2 1 0, . n n k k k k k k = + 若 1 n n U = 收敛，证明原来的级数也收敛. §3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) 2 1 1 ; n n n = + (2) 2 1 1 1 ; (2 1)2 n n n − = − (3) 1 ; n 2 1 n n n = − − (4) 1 sin ; 2 n n =
m1+a”(a>D (6) n/n n(n+D) (10) lI In n!2 (13) (14) n (15) (x≥0) 33.53.5·73.5·7.9 (17) 1.41.4.71·4·7.10 (19) (n n)
(5) 1 1 1 n n a = + ( 1); a (6) 1 1 ; n n n n = (7) 1 1 ( ) ; 2 1 n n n = + (8) 1 1 ; [ln( 1)]n n n = + (9) 1 2 ( 1) ; 2 n n n = + − (10) 1 2 sin ; 3 n n n = (11) 1 ; ! n n n n = (12) 1 ln ; 2 n n n n = (13) 1 !2 ; n n n n n = (14) 1 !3 ; n n n n n = (15) 2 1 ; 1 ( ) n n n n n = + (16) 2 1 (1 )(1 ) (1 ) n n n x x x x = + + + ( 0); x (17) 3 3 5 3 5 7 3 5 7 9 ; 1 1 4 1 4 7 1 4 7 10 + + + + (18) ln 1 1 ; n n n = (19) ln 1 1 ; (ln ) n n n =
n=1 (21) (23) 2.利用泰勒公式估算无穷小量的阶,从而判别下列级数的收敛性 (1)∑e-(1+-)]P (2)>InPcos (3)∑(√+1-√yh2 1+a一 +n+ 3.已知两正项级数∑un和∑发散,问∑max(un,),∑min(unvn)两级数的 收敛性如何? 4.若正项级数∑an收敛,an1≤an(n=12.…),求证 lim na=0 an=一),n≠k2,k=1,2, k=1,2 求证:(1)∑an收敛 (2) lim na≠0 6.讨论下列级数的收敛性
(20) ln 1 1 ; 2 n n = (21) ln 1 1 ; 3 n n = (22) 1 1 ; 3 n n = (23) 1 . 3 n n n = 2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1) 1 1 [ (1 ) ] ; n p n e n = − + (2) 3 ln cos ; p n n = (3) 1 1 ( 1 ) ln ; 1 p n n n n n = − + − + (4) 4 2 1 ( ). n n a n n b = + − + + 3．已知两正项级数 1 n n u = 和 1 n n v = 发散，问 1 max( , ) n n n u v = ， 1 min( , ) n n n u v = 两级数的 收敛性如何？ 4．若正项级数 1 n n a = 收敛， n n 1 a a + ( 1, 2, ) n = ，求证 lim 0 n n na → = . 5．设 2 2 2 2 1 , , 1,2, , 1 , 1,2, , n k a n k k n a k k = = = = 求证:(1) 1 n n a = 收敛; (2) lim 0. n n na → 6．讨论下列级数的收敛性:
(1) n=2 n(Inn)p 5 n- Inn. InIn n n(In n)to In n =2 n(Inn)(InIn n) 7.利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性 ()∑2n=)y(p是实数 (2)ya(a+1)…(a+n-1)1 (a>0,B>0) 8.设an>0且im=1,求证im,=1反之是否成立? 9.利用级数收敛的必要条件证明 (1)im n→(n 2n) (2) lim =0(a>1) 10.设an≥0,且数列{nan}有界,证明级数∑an2收敛 11.设正项级数∑an收敛,证明∑aam也收敛 12.设lman=l,求证 (1)当l>1时, 收敛 (2)当/<1时,∑。发散 问l=1时会有什么结论?
(1) 2 1 ; (ln ) p n n n = (2) 2 1 ; n n n n ln ln ln = (3) 1 2 1 n n n n (ln ) ln ln + = ( 0); (4) 2 1 . (ln ) (ln ln ) p q n n n n = 7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1) 1 (2 1)!! [ ] (2 )!! p n n n = − ( ); p是实数 (2) 1 ( 1) ( 1) 1 n ! n n n = + + − ( 0, 0). 8．设 0, n a 且 1 lim n n n a l a + → = ,求证 lim n n n a l → = .反之是否成立? 9．利用级数收敛的必要条件证明: (1) 2 lim 0; ( !) n n n → n = (2) ! (2 )! lim 0 n n n → a = ( 1). a 10．设 0 n a ,且数列 { }n na 有界,证明级数 2 1 n n a = 收敛. 11．设正项级数 1 n n a = 收敛,证明 1 1 n n n a a + = 也收敛. 12．设 lim n n a l → = ,求证: (1) 当 l 1 时, 1 1 n a n n + = 收敛; (2) 当 l 1 时, 1 1 n a n n = 发散. 问 l =1 时会有什么结论?
§4一般项级数 1.讨论下列级数的收敛性 (1) n n+100 In (∑(-1y-2n n (4) (-1) √m+(-1y (9)∑(-1) cos 2n (10)2(1" n (1)(-)sin-(x≠0) n (13)~1 万-1√2+1√-1√3
§4 一般项级数 1．讨论下列级数的收敛性: (1) 1 ( 1) ; 100 n n n n = − + (2) 1 ln sin ; n 2 n n n = (3) 1 1 1 1 2 ( 1) ; n n n n = + + + − (4) 2 ( 1) ; ( 1) n n n n = − + − (5) 2 1 sin( 1); n n = + (6) ( 1) 2 1 ( 1) ; 3 n n n n − = − (7) 1 ( 1)n p n n = − ( 0); p (8) 1 1 sin ; 3 2 n n n = (9) 1 cos 2 ( 1) ; n n n n = − (10) 2 1 sin ( 1) ; n n n n = − (11) 1 ( 1) sin n n x n = − ( 0) x ; (12) 2 1 ( 1) ; ( 1) n n n n = − + (13) 1 1 1 1 1 1 ; 2 1 2 1 3 1 3 1 1 1 n n − + − + + − + − + − + − +
(14) (a>0) n 1 (15) sIn nsin 2.讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛 ()(= n+x sin(2 x) n sin nx 00 6∑,(y(p>0 [n+(-1)] (-1) (1-12"sin""x ∑(a.ma (0∑(-1)"r“(r>0) n
(14) 1 1 ( 1) 1 n n n a n a + = − + ( 0); a (15) 1 1 sin( ) ; n n n n = + (16) 2 1 sin sin . n n n n = 2．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛: (1) 1 ( 1) ; n n n x = − + (2) 1 sin(2 ) ! n n x n = (3) 1 sin n nx n = (0 ); x (4) 1 cos p n nx n = (0 ); x (5) 1 ( 1) 1 n n p n n = − + ( 0); p (6) 2 ( 1) [ ( 1) ] n n p n n = − + − ( 0); p (7) 1 1 ( 1) ; n p n n n + = − (8) 2 1 1 2 sin ( 1) ; n n n n x n − = − (9) 1 ( ) , n n n x a = lim 0; n n a a → = (10) 1 ( 1)n n n n r + = − ( 0); r (11) 1 !( ) ; n n x n n =
(12)>ln(1 (13) hn+(-1) sin-丌 (14) n+sn-丌 3.利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性 (1)a0+a1q+a2q2+…+anq”+…lqk1|anA(n=0,1,2,…), 2)1+1-1+1+11 23456 4.求证:若级数∑an(an20)收敛,则级数∑an2收敛但反之不成立,请举出例子 5.若级数∑an收敛,且m=1,问是否能断定∑bn也收敛?研究例子 b 6.证明:若级数∑a(4)及∑b(B)都收敛,且 ≤cn≤bn(m=1,2,…) 则级数∑c(C)也收敛,若级数(4)与(B)都发散问级数(C)的收敛性如何? 7.证明:若∑二收敛,则当x>x时,∑也收敛.若∑二发散,则当x<x时 一也发散 8.求证:若数列{an}有极限,∑man-an)收敛则∑an也收敛 9.求证:若∑(an-an1)绝对收敛∑b收敛则∑abn收敛
(12) 1 ( 1) ln(1 ); n p n n = − + (13) 1 1 ( 1) ; [ ( 1) ] n n p n n − = − + − (14) 1 sin 4 . sin 4 n p n n n = + 3．利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性: (1) 2 0 1 2 ,| | 1,| | n n n a a q a q a q q a A + + + + + ( 0,1,2, ); n = (2) 1 1 1 1 1 1 . 2 3 4 5 6 + − + + − + 4．求证:若级数 1 n n a = ( 0) n a 收敛,则级数 2 1 n n a = 收敛.但反之不成立,请举出例子. 5．若级数 1 n n a = 收敛,且 lim 1 n n n b → a = ,问是否能断定 1 n n b = 也收敛?研究例子 ( 1) 1 , . n n n n a b a n n − = = + 6．证明:若级数 1 ( ) n n a A = 及 1 ( ) n n b B = 都收敛,且 nnn a c b ( 1, 2, ) n = 则级数 1 ( ) n n c C = 也收敛,若级数 ( ) A 与 ( ) B 都发散,问级数 ( ) C 的收敛性如何? 7．证明:若 0 1 n x n a n = 收敛,则当 0 x x 时, 1 n x n a n = 也收敛. 若 0 1 n x n a n = 发散,则当 0 x x 时, 1 n x n a n = 也发散. 8．求证:若数列 { }n na 有极限, 1 1 ( ) n n n n a a − = − 收敛,则 1 n n a = 也收敛. 9．求证:若 1 1 ( ) n n n a a − = − 绝对收敛, 1 n n b = 收敛,则 1 n n n a b = 收敛
10.求证:若级数∑an2和∑b2都收敛,则级数 ∑aAa+)∑ 也收敛 11.设正项数列{xn}单调上升且有界,求证: 12.对数列{an},{b},定义S=∑a2,△b2=b-b,求证: (1)如果{Sn}有界∑△bn收敛,且b→0n→∞),则∑anb收敛,且有 Sn…△bn (2)如果∑a与∑Ab都收敛,则∑a1b收敛 13.设∑an收敛,且 lim na=0,求证 ∑m(an-an) 收敛,并且 ∑ n(an-an)=∑a 14.下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例 (1)若an>0,则a1-a1+a2-a2+a3-a3+…收敛; (2)若an→>0,则a1-a1+a2-a2+a3-a3+…收敛; (3)若∑an收敛,则∑(-1)°an收敛
10．求证:若级数 2 1 n n a = 和 2 1 n n b = 都收敛,则级数 2 1 1 1 | |, ) , n n n n n n n n a a b a b n = = = （ + 也收敛. 11．设正项数列 { }n x 单调上升且有界,求证: 1 1 (1 ) n n n x x = + − 收敛. 12．对数列 { },{ } n n a b ,定义 1 1 , n n k k k k k S a b b b + = = = − ,求证: (1) 如果 { }n S 有界, 1 | | n n b = 收敛,且 0( ) n b n → → ,则 1 n n n a b = 收敛,且有 1 1 ; n n n n n n a b S b = = = − (2) 如果 1 n n a = 与 1 | | n n b = 都收敛,则 1 n n n a b = 收敛. 13．设 1 n n a = 收敛,且 lim 0 n n na → = ,求证: 1 1 ( ) n n n n a a + = − 收敛,并且 1 1 1 ( ) n n n n n n a a a + = = − = 14．下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例: (1) 若 0 n a ,则 1 1 2 2 3 3 a a a a a a − + − + − + 收敛; (2) 若 0 n a → ,则 1 1 2 2 3 3 a a a a a a − + − + − + 收敛; (3) 若 1 n n a = 收敛,则 1 ( 1)n n n a = − 收敛;
(4)若∑an2收敛,则∑an3绝对收敛 (5)若∑a发散,则an不趋于0; (6)若∑an收敛b→1,则∑anbn收敛; (7)若∑|an收敛,b→1,则∑a1b收敛 H=1 (8)若∑an收敛,则∑a2收敛 (9)若∑an收敛,an>0,则 lim nan=0 15.求下列极限(其中p>1) (1)lim( +· n→(n+1)2(n+2) (2)lim( §5无穷级数与代数运算 1.不用柯西准则求证:如果∑an,则∑an也收敛 2.设∑an收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相同的和数 求证由级数∑ 重排所得的级数 √32√√4
(4) 若 2 1 n n a = 收敛,则 3 1 n n a = 绝对收敛; (5) 若 1 n n a = 发散,则 n a 不趋于 0; (6) 若 1 n n a = 收敛, 1 n b → ，则 1 n n n a b = 收敛; (7) 若 1 | | n n a = 收敛, 1 n b → ，则 1 n n n a b = 收敛; (8) 若 1 n n a = 收敛,则 2 1 n n a = 收敛; (9) 若 1 n n a = 收敛, 0 n a ，则 lim 0 n n na → = . 15．求下列极限(其中 p 1 ) (1) 1 1 1 lim( ); ( 1) ( 2) (2 ) p p p n→ n n n + + + + + (2) 1 2 2 1 1 1 lim( ). n n n n p p p → + + + + + §5 无穷级数与代数运算 1．不用柯西准则,求证:如果 1 | | n n a = ,则 1 n n a = 也收敛. 2．设 1 n n a = 收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相同的和数. 3．求证:由级数 1 1 ( 1)n n n − = − 重排所得的级数 1 1 1 1 1 1 3 2 5 7 4 + − + + − +