第三章函数极限 习题 §1函数极限概念 1.按定义证明下列极限 (1)imn6x+5 6 (2)lm(x2-6x+10)=2 x→+0X (3) lim (4)lm√4-x2=0; (5)lim cos x= cOS xo x→x0 2.根据定义2叙述lmf(x)≠A 3.设mf(x)=A,证明:lmf(x+h)=A h→0 4.证明:若mf(x)=A,则lmn(x)=4当且仅当A为何值时反之也成立? 5.证明定理3.1 6.讨论下列函数在x→0时的极限或左、右极限: (1)f(x)= (3)f(x)={0 7.设imf(x)=A,证明:lm 8.证明:对黎曼函数lmR(x)=0,x∈[o(当x=0或1时,考虑单侧极限) §2函数极限的性质 1.求下列极限 (1)lim 2(sn x-cosx-x (2)lim (3)lim x12x2-x-1 1 √1+2x-3 (5)lim (n,m为正整数); (6)lm 2
1 第三章 函数极限 习题 §1 函数极限概念 1． 按定义证明下列极限： （1） 6 6 5 lim = + →+ x x x ； （2） lim( 6 10) 2 2 2 − + = → x x x ； （3） 1 1 5 lim 2 2 = − − → x x x ； （4） lim 4 0 2 2 − = → − x x ； （5） 0 lim cos cos 0 x x x x = → 2． 根据定义 2 叙述 f x A x x → lim ( ) 0 3． 设 f x A x x = → lim ( ) 0 ，证明： f x h A h + = → lim ( ) 0 0 4． 证明：若 f x A x x = → lim ( ) 0 ，则 f x A x x = → lim ( ) 0 当且仅当 A 为何值时反之也成立？ 5． 证明定理 3.1 6． 讨论下列函数在 x →0 时的极限或左、右极限： （1） x x f (x) = ； （2） f (x) = x ； （3） + = = 1 , 0 0, 0 2 , 0 ( ) 2 x x x x f x x 7． 设 f x A x = →+ lim ( ) ，证明： A x f x = → + 1 lim 0 8． 证明：对黎曼函数 lim ( ) 0 0 = → R x x x ， 0,1 x0 （当 x0 = 0 或 1 时，考虑单侧极限） §2 函数极限的性质 1． 求下列极限： （1） ( ) 2 2 lim 2 sin x cos x x x − − → ； （2） 2 1 1 lim 2 2 0 − − − → x x x x ； （3） 2 1 1 lim 2 2 1 − − − → x x x x ； （4） ( ) ( ) 2 3 3 0 2 1 1 3 lim x x x x x + − + − → ； （5） 1 1 lim 1 − − → m n x x x （ n,m 为正整数）； （6） 2 1 2 3 lim 4 − + − → x x x ；
a x-a (7)lim (a>0) (8)lm (3x+6)(8x-5)0 2.利用迫敛性求极限 (1)lim x-COSx (2) lim xsin x 3.设lmnf(x)=A,img(x)=B。证明: (1)lm[(x)±g(x)=A±B (2) lim f(x)g(x)=AB; (3)lim f(x) A ≠ x g(x) B f(x)=→ …+an1x+a ,a0≠0,b≠0,m≤n, boy 试求limf(x) 5.设f(x)>0,mf(x)=A,证明:lmyf(x)=4,其中n≥2为正整数 6.证明:Imna2=1(0B,则在某U°(x0)内有f(x)>g(x) 8.求下列极限 (1)li (2)lm x 1+x" (3)lmx+x2+…+x 1+x-1 (4)lm (5)lm 9.(1)证明:若mn/(x)存在,则ln/(x)=lmf(x) (2)若lmf(x)存在,试问是否成立mf(x)=lmf(x) x→0
2 （7） lim ( 0) 2 0 + − → a x a x a x ； （8） ( ) ( ) ( ) 90 70 20 5 1 3 6 8 5 lim − + − →+ x x x x 2． 利用迫敛性求极限： （1） x x x x cos lim − →− ； （2） 4 sin lim 2 →+ x − x x x 3． 设 f x A g x B x x x x = = → → lim ( ) , lim ( ) 0 0 。证明： （1） f x g x A B x x = → lim ( ) ( ) 0 ； （2） f x g x AB x x = → lim ( ) ( ) 0 ； （3） ( 0) ( ) ( ) lim 0 = → B B A g x f x x x 4． 设 a b m n b x b x b x b a x a x a x a f x n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − − ( ) , 0, 0, 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 ， 试求 lim f (x) x→+ 5． 设 f x f x A x x = → ( ) 0, lim ( ) 0 ，证明： n n x x f x = A → lim ( ) 0 ，其中 n 2 为正整数 6． 证明： lim 1(0 1) 0 = → a a x x 7． 设 f x A g x B x x x x = = → → lim ( ) , lim ( ) 0 0 （1）在某 ( ) 0 x o 内有 f (x) g(x) ，问是否必有 A B ？为什么？ （2）证明：若 A B ，则在某 ( ) 0 x o 内有 f (x) g(x) 8． 求下列极限 （1） n x x x x + → − 1 1 lim 0 ； （2） n x x x x + → + 1 1 lim 0 ； （3） 1 lim 2 1 − + + + − → x x x x n n x ； （4） x x n x 1 1 lim 0 + − → ； （5） x x x→ lim 9．（1）证明：若 ( ) 3 0 lim f x x→ 存在，则 ( ) ( ) 3 0 0 lim f x lim f x x→ x→ = （2）若 ( ) 2 0 lim f x x→ 存在，试问是否成立 ( ) ( ) 2 0 0 lim f x lim f x x→ x→ = ？
§3函数极限存在的条件 1.述函数极限lmf(x)的归结原则,并应用它证明 lim cos x不存在 设∫为定义在[a+∞)上的增(减)函数证明:lmf(x)存在的充要条件是∫在[a+∞ 上有上(下)界 3.(1)叙述极限lmf(x)的柯西准则; (2)根据柯西准则叙述lmf(x)不存在的充要条件,并应用它证明 lim sin x不存在 4.设∫在U(x0)内有定义。证明:若对任何数列{xn}cU"(x)且mxn=x,极限 imf(xn)都存在,则所有这些极限都相等 5.设∫为∪P(x)上的递增函数。证明:f(x0-0)f(x0+0)都存在,且 flxo-0)=sup f(x)/(xo+0)=inf f(x) re(ro) 6.设D(x)为狄利克雷函数,x0∈R。证明:lmD(x)不存在 7.证明:若∫为周期函数,且lmnf(x)=0,则f(x)=0 证明定理3.9 §4两个重要的极限 1.求下列极限 sIn 2x (1)im (2)lm six x→0 x (3)lim Cos x (4) lim 2 x (5)lim tan xr-sin x (6)lim arctan x x→0 (7) lim xsin (8)im sin x-sin a x-a (9)Im sin 4x (10) lim 求下列极限 (1)lim (2)lm(1+ax
3 §3 函数极限存在的条件 1． 述函数极限 lim f (x) x→+ 的归结原则，并应用它证明 x x lim cos →+ 不存在 2． 设 f 为定义在 a,+) 上的增（减）函数。证明： lim f (x) x→+ 存在的充要条件是 f 在 a,+) 上有上（下）界 3． （1）叙述极限 lim f (x) x→− 的柯西准则； （2）根据柯西准则叙述 lim f (x) x→− 不存在的充要条件，并应用它证明 x x lim sin →− 不存在 4． 设 f 在 ( ) 0 0 x 内有定义。证明：若对任何数列 ( ) 0 0 x x n 且 0 lim x x n n = → ，极限 ( ) n n f x → lim 都存在，则所有这些极限都相等 5． 设 f 为 ( ) 0 0 x 上的递增函数。证明： ( 0), ( 0) f x0 − f x0 + 都存在，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f (x) x x x x 0 0 0 0 0 sup , 0 inf 0 0 + − − = + = 6． 设 D(x) 为狄利克雷函数， x0 R 。证明： D(x) x x0 lim → 不存在 7． 证明：若 f 为周期函数，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，则 f (x) 0 8． 证明定理 3.9 §4 两个重要的极限 1． 求下列极限： （1） x x x sin 2 lim →0 ； （2） ( ) 2 3 0 sin sin lim x x x→ ； （3） 2 cos lim 2 − → x x x ； （4） x x x tan lim →0 ； （5） 3 0 tan sin lim x x x x − → ； （6） x x x arctan lim →0 ； （7） x x x 1 lim sin →+ ； （8） x a x a x a − − → 2 2 sin sin lim ； （9） 1 1 sin 4 lim 0 + − → x x x ； （10） x x x 1 cos 1 cos lim 2 0 − − → 2． 求下列极限： （1） x x x − → − 2 lim 1 ； （2） ( ) x x x 1 0 lim 1+ → ；
(3)lim(1 +tan x)ox (4)m/1+x x→0 x0(1-x 2x-1 (5)mn/3x+2 (6)lmn1+ 3.证明: li im cos x cos2.9/= 4.利用归结原则计算下列极限: (1)lmn√ns §5无穷小量与无穷大量 1.证明下列各式 (1)2x-x2=O(xx (2)xsn√x=Ox O (4)(1+x)=1+nx+o(xx→>0)(m为正整数) (5)2x2+x2=0x3)x→a) (6)o(g(x)±o(g(x)=o(g(x)x→x) (7)o(g1(x)·o(g2(x)=o(g1(x)g2(x)(x→x 2.应用定理312求下列极限 x arctan (1)lim (2)lim vifx x- cosx x→01-cosx 3.证明定理3.13 4.求下列函数所表示曲线的渐进线 (1)y= (2)y=arctan x (3)y= 5.试确定a的值,使下列函数与x“当x→0时为同阶无穷小量: (1)sin 2x-2sm x 1+x (3)√1+tanx- 6.试确定的值,使下列函数与x“当x→∞时为同阶无穷大量:
4 （3） ( ) x x x cot 0 lim 1+ tan → ； （4） x x x x 1 0 1 1 lim − + → ； （5） 2 1 3 1 3 2 lim − →+ − + x x x x ； （6） x x x + →+ lim 1 3． 证明： 1 2 cos 2 cos 2 lim lim cos cos 2 0 = → → n x n x x x x 4． 利用归结原则计算下列极限： （1） n n n lim sin → ； （2） n n n n + + → 2 1 1 lim 1 §5 无穷小量与无穷大量 1． 证明下列各式： （1） 2 ( )( 0) x − x 2 = O x x → （2） ( ) → + sin = 0 2 1 x x O x x （3） 1+ x −1 = o(1)(x → 0) （4） (1+ x) = 1+ nx + o(x)(x → 0) n （ n 为正整数） （5） x + x = O(x )(x → ) 3 2 3 2 （6） ( ( )) ( ( )) ( ( ))( ) 0 o g x o g x = o g x x → x （7） ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ))( ) 1 2 1 2 0 o g x • o g x = o g x g x x → x 2． 应用定理 3.12 求下列极限： （1） x x x x x cos 1 arctan lim → − （2） x x x 1 cos 1 1 lim 2 0 − + − → 3． 证明定理 3.13 4． 求下列函数所表示曲线的渐进线： （1） x y 1 = （2） y = arctan x （3） x x x y 2 3 4 2 3 − + = 5． 试确定 的值，使下列函数与 x 当 x →0 时为同阶无穷小量： （1） sin 2x − 2sin x （2） ( x) x − − + 1 1 1 （3） 1+ tan x − 1− sin x （4） 5 2 3 3x − 4x 6． 试确定 的值，使下列函数与 x 当 x → 时为同阶无穷大量：
(1)√x2+x5 (2)x+x2(2+snx) (3)(+x)+x).(+x) 7.证明:若S为无上界数集,则存在一递增数列{xn}0,则 为x→P时的无穷大量 9.设∫(x)与g(x)是当x→x时的等价无穷小量,证明: f(x)-g(x)=o(f(x))o*f(x)-g(x)=o(g() 总练习题 1.求下列极限 (1)lm(x-[x; 1+ (3)lim a+x) 6+x)-a-x0b-x) (4)lm (5)In x+√x2-a (6) lim √1+x x→0√1+x 31 (7)lim m,n为正整数 2.分别求出满足下述条件的常数a与b: (1)m/x2+1 ax-b=0; (2)lm(√x2-x+1-ax-b)=0; (3)lm(√x2-x+1-ax-b)=0 3.试分别举出符合下列要求的函数f (1)imf(x)≠f(2); (2)mf(x)不存在 4.试给出函数∫的例子,使f(x)>0恒成立,而在某一点x处有m∫(x)=0。这同极 限的局部保号性有矛盾吗 5.设lmf(x)=A,lmg{a)=B,在何种条件下能由此推出mng((x)=B?
5 （1） 2 5 x + x （2） x x (2 sin x) 2 + + （3） ( )( ) ( ) n 1+ x 1+ x 1+ x 2 7． 证明：若 S 为无上界数集，则存在一递增数列 xn S ，使得 x → +(n → ) n 8． 证明：若 f 为 x →r 时的无穷大量，而函数 g 在某 ( ) 0 r 上满足 g(x) K 0 ，则 fg 为 x →r 时的无穷大量 9． 设 f (x) 与 g(x) 是当 0 x → x 时的等价无穷小量，证明： f (x)− g(x) = o(f (x)) 或 f (x)− g(x) = o(g(x)) 总练习题 1． 求下列极限： （1） (x x) x − → − 3 lim ； （2） ( ) 1 1 lim 1 − → + + x x ； （3） ( (a x)(b x) (a x)(b x)) x + + − − − → − 3 lim ； （4） 2 2 lim x a x x − →+ ； （5） 2 2 lim x a x x − →− ； （6） 0 3 1 1 1 1 lim x x x x x + − − + − − → ； （7） − − → − m n x x n x m 1 1 lim 1 ， m, n 为正整数 2． 分别求出满足下述条件的常数 a 与 b ： （1） 0 1 1 lim 2 = − − + + →+ ax b x x x ； （2） lim ( 1 ) 0 2 − + − − = →− x x ax b x ； （3） lim ( 1 ) 0 2 − + − − = →+ x x ax b x 3． 试分别举出符合下列要求的函数 f ： （1） lim ( ) (2) 2 f x f x → ； （2） f (x) x 2 lim → 不存在 4． 试给出函数 f 的例子，使 f (x) 0 恒成立，而在某一点 0 x 处有 lim ( ) 0 0 = → f x x x 。这同极 限的局部保号性有矛盾吗？ 5． 设 f (x) A g(u) B x a u A = = → → lim ,lim ，在何种条件下能由此推出 g( f (x)) B x a = → lim ？
6.设f(x)= x cosx,试作数列 (1){xn}使得xn→∞(n→∞),f(xn)→0(n→∞); (2){n)使得yn→(n→∞),f(n)→>+∞(n→); (3){n}使得二n→∞(n→∞),f(=n)→-∞(n→∞ 7.证明:若数列{an}满足下列条件之一,则{an}是无穷大数列 =s>lan≠0,n=1.2…) 8.利用上题(1)的结论求极限 (1)lm1+ (2)lim1- 9.设lman=+∞,证明 (1)m(a1+a2+…+an)=+∞; (2)若an>0(n=12…),则lmaa2…an=+ 10.利用上题的结果求极限 (1)lim /n (2) lim hn(ny) 11i设f为UP(x)内的递增函数。证明:若存在xn}x(→),使 得lmf(xn)=A,则有 f(xo-0)= sup f(x)=A 12.设函数∫在(0+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且lm∫(x)=A。证明:f(x)=A 13.设函数∫在(+∞)上满足方程/(x2)=f(x,且皿m,f(x)=lmf(x)=f(0)证明: f(x)=f()x∈(0+∞) 14.设函数∫定义在(a+∞)上,∫在每一个有限区间(ab)内有界 lm((x+1)-f(x)2=A.证明:h(x=A 6
6 6． 设 f (x) = xcos x ，试作数列 （1） xn 使得 x → (n → ) n ， f (x ) → (n → ) n 0 ； （2） yn 使得 y → (n → ) n ， f (y ) → +(n → ) n ； （3） zn 使得 z → (n → ) n ， f (z ) → −(n → ) n 7． 证明：若数列 an 满足下列条件之一，则 an 是无穷大数列： （1） lim = 1 → a r n n n ； （2） lim 1( 0, 1,2,) 1 = = + → s a n a a n n n n 8． 利用上题（1）的结论求极限： （1） 2 1 lim 1 n n n + → ； （2） 2 1 lim 1 n n n − → 9． 设 = + → n n lim a ，证明 （1） ( + + + ) = + → n n a a a n 1 2 1 lim ； （2）若 a 0(n =1,2, ) n ，则 = + → n n n lim a1a2a 10．利用上题的结果求极限： （1） n n lim n! → ； （2） ( ) n n n ln ! lim → 11．设 f 为 ( ) 0 0 x − 内的递增函数。证明：若存在 ( ) 0 0 − x x n 且 x → x (n → ) n 0 ，使 得 f (xn ) A n = → lim ，则有 ( ) ( ) f x f (x) A x x − = = − 0 0 0 0 sup 12．设函数 f 在 (0,+) 上满足方程 f (2x) = f (x) ，且 f (x) A x = →+ lim 。证明： f (x) A 13．设函数 f 在 (0,+) 上满足方程 f (x ) = f (x) 2 ，且 lim ( ) lim ( ) (1) 0 f x f x f x x = = → + →+ 。证明： f (x) f (1), x(0,+) 14 ．设函数 f 定义在 (a,+) 上 ， f 在 每 一 个 有 限 区 间 (a,b) 内有界， ( f (x ) f (x)) A x + − = →+ lim 1 。证明： ( ) A x f x x = →+ lim
习题答案 §1函数极限概念 6.(1)f(0-0)=-1f(0+0)=1;(2)f(0-0)=-1f0+0)=0 (3)f(0-0)=f(0+0)=1 §2函数极限的性质 1.(1)2、个 ;(2)1;(3)-;(4)-3;(5)一;(6)-;(7)一-;(8) 2.(1)1;(2) 4.m0,如果x∈國]为无理数,则有R(x)=0<E;如果x为
7 习题答案 §1 函数极限概念 6．（1） f (0 − 0) = −1, f (0 + 0) =1 ；（2） f (0 − 0) = −1, f (0 + 0) = 0 ； （3） f (0 − 0) = f (0 + 0) =1 §2 函数极限的性质 1．（1） 2 2 2 − ；（2）1；（3） 3 2 ；（4）-3；（5） m n ；（6） 3 4 ；（7） 2a 1 ；（8） 90 70 20 5 3 8 2．（1）1；（2）0 4． m n 时，0； m = n 时， 0 0 b a 8．（1）-1；（2）1；（3） ( ) 2 n n +1 ；（4） n 1 ；（5）1 §4 两个重要的极限 1．（1）2；（2）0；（3）-1；（4）1；（5） 2 1 ；（6）1；（7）1；（8） sin 2a ；（9）8；（10） 2 2．（1） 2 e ；（2） e ；（3） e ；（4） 2 e ；（5） 2 e ；（6） e 4．（1）0；（2） e §5 无穷小量与无穷大量 2．（1）0；（2）1 4．（1） y = 0, x = 0 ；（2） 2 , 2 y = y = − ；（3） y = 3x + 6, x = 0, x = 2 5．（1）3；（2）2；（3）1；（4） 5 2 6．（1） 2 5 ；（2）2；（3） ( 1) 2 1 n n + 总练习题 1．（1）1；（2） 2 1 ；（3） a + b ；（4）1；（5）-1；（6） 2 3 ；（7） (m − n) 2 1 2．（1） a = 1,b = −1 ；（2） 2 1 a = −1,b = ；（3） 2 1 a = 1,b = − 8．（1） + ；（2）0 10．（1） + ；（2） + 典型习题解答 1．（§1 第 8 题）证明：对黎曼函数 R(x) 有 lim ( ) 0, 0,1 0 0 = → R x x x x 证明：任取 (0,1) x0 ，对 0 ，如果 x0,1 为无理数，则有 R(x) = 0 ；如果 x 为
有理数P,要使R(x)=,在p1]中既约分数的分母不大于n的仅有 有限个,选取其中最靠近x的数,记为x,取=1-x1,于是当2一x0,lmf(x)=A,证明:lmy(x)=A 证明:因为∫(x)>0,lmf(x)=A,所以A≥0 当A=0时,vE>0,36>0,使得当00 时,1/()-=- fn(x)+f"(x)4"+…+An (x)-A ⅤE>03>0使得当00时,1-<≤1;当x<0时, l<<1 所以lm o rI.lim 1,因而l=1 x→x 4.(§3第7题)若∫为周期函数,且lmf(x)=0,则f(x)=0 证明设为∫的一个周期,对∫的定义域中的任何数x,都有f(x)=f(nT+x)n∈N, 由归结原则,f(x)=lm∫(x)=lmf(n+x)=0,即f(x)=0 5.(4第3题)证明:lmn{ m cos xcos cos cos →0n→ 明
8 有理数 q p ，要使 = q R x 1 ( ) ，只要取 1 n ，在 01 中既约分数的分母不大于 n 的仅有 有限个，选取其中最靠近 0 x 的数，记为 / x ，取 / 0 = x − x ，于是当 − x0 q p 时，就有 q n 1 1 ，从而证明了 lim ( ) 0, (0,1) 0 0 = → R x x x x 。当 x0 = 0,1 时，同理可证 2．（§2 第 5 题）设 f (x) f (x) A x x = → 0 0, lim ，证明： ( ) n n x x f x = A → 0 lim 证明：因为 f (x) f (x) A x x = → 0 0, lim ，所以 A 0 当 A = 0 时， 0, 0 ，使得当 0 x − x0 时，有 ( ) ( ) n f x − 0 = f x ， 即 ( ) n f x ，所以 lim ( ) 0 0 = → n x x f x 当 A 0 时， ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n f x f x A A f x A f x A −1 −2 1 −1 + + + − − = = A f (x) A n n − − − 1 （1） 0, 0 使得当 0 x − x0 时，有 ( ) n n f x A A −1 − ，由（ 1 ）式，得 ( ) − n n f x A ，所以 ( ) n n x x f x = A → 0 lim 3．（§2 第 8 题）求极限 x x x→ lim 解： x(−,+) ，有 x −1 x x ，当 x 0 时， 1 1 1− x x x ；当 x 0 时， x x x 1 1 1− ，所以 lim = 1 →+ x x x ， lim = 1 →− x x x ，因而 lim = 1 → x x x 4．（§3 第 7 题）若 f 为周期函数，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，则 f (x) 0 证明：设 T 为 f 的一个周期，对 f 的定义域中的任何数 x ，都有 ( ) ( ) = + n N+ f x f nT x , ， 由归结原则， ( ) = lim ( ) = lim ( + ) = 0 → → f x f x f nT x n n ，即 f (x) 0 5．（§4 第 3 题）证明： 1 2 cos 2 cos 2 lim lim cos cos 2 0 = → → n x n x x x x 证明：
sin 2x=2sin xcos x=2 cos x cos i sin x==2 cos x cos T coS x cos-..COS-sIn SIn 2x x im{ lim cosxcos-cosa2…c0sn= lim lm sin2x2”=1 x→0n→∞ 6.(§5第7题)证明:若S为无上界数集,则存在一递增数列{xn}∞) 证明:由S为无上界数集,故对M=1,存在x1∈S,使得x1>M=1 取M=mx2,x},存在x2∈S,使得x2>M≥2, 继续下去,得到一递增数列{xn}h(n=12,…) 所以
9 n n n x x x x x x x x x x 2 sin 2 cos 2 2 cos cos 2 sin 2 sin 2 2sin cos 2 cos cos = = 2 = = +1 n n n n n n x x x x x x x x x x 2 sin 2 2 sin 2 2 2 sin sin 2 2 sin 2 cos 2 cos cos 1 = = • + 1 2 sin 2 2 sin 2 lim lim 2 cos 2 cos 2 lim lim cos cos 0 2 0 = = • → → → → n n x n n x n x x x x x x x x 6．（§5 第 7 题）证明：若 S 为无上界数集，则存在一递增数列 xn S ，使得 x → +(n → ) n 证明：由 S 为无上界数集，故对 M = 1 ，存在 x1 S ，使得 x1 M =1 取 M = max2, x1 ，存在 x2 S ，使得 x2 M 2， 继续下去，得到一递增数列 xn S ，满足： x n(n =1,2, ) n 所以 = + → n n lim x
