第九章定积分 习题 §1定积分概念 按定积分定义证明:k女=b-a 2.通过对积分区间等分分割并取适当的点集{},把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计算下列定积分: (1)xdx (2)[e2dx (3)e2ax; (4) t(0<a<b) §2牛顿—莱布尼茨公式 1.计算下列定积分 (1)[(2x+3kx (4) xIn x x+ 2(x 2.利用定积分求极限 (1)lim 1 (2)lim (n+1)2(n+2)2(x+n)2 (3) (4)lim 2丌 sm-+sm-+…+sm n→n 3,证明:若∫在[ab]上可积,F在叵b上连续,且除有限个点外有F(x)=f(x),则 广/(kk=F(b)-F(a)
第九章 定积分 习题 §1 定积分概念 1． 按定积分定义证明： kdx k(b a) b a = − . 2． 通过对积分区间等分分割，并取适当的点集 i ，把定积分看作是对应的积分和的极限， 来计算下列定积分： （1） 1 0 3 x dx ； （2） 1 0 e dx x ； （3） b a x e dx ； （4） dx( a b) x b a 0 1 2 . §2 牛顿—莱布尼茨公式 1． 计算下列定积分： （1） ( ) + 1 0 2x 3 dx ； （2） + 1 − 0 2 2 1 1 dx x x ； （3） 2 ln e 1 e dx x x ； （4） − 1 − 0 2 dx e e x x ； （5） 3 0 2 tan xdx ； （6） + 9 4 1 dx x x ； （7） + 4 0 1 1 dx x ； （8） ( ) e e x dx x 1 2 ln 1 . 2． 利用定积分求极限： （1） ( ) 3 3 4 1 2 1 lim n n n + + + → ； （2） ( ) ( ) ( ) + + + + + + → 2 2 2 1 2 1 1 1 lim n n n n n n ； （3） + + + + → + 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 lim n n n n n ； （4） − + + + → n n n n n n 1 sin 2 sin sin 1 lim . 3，证明：若 f 在 a,b 上可积， F 在 a,b 上连续，且除有限个点外有 F (x) = f (x) / ，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = −
§3可积条件 1.证明:若T是T增加若干个分点后所得的分割,则∑Ax1≤∑Ax 2.证明:若∫在b]上可积,[月0 5.设f与g都在[ab]上可积,证明:M(x)=mx/(x)g(x)m(x)=mmJ/(x)g(x) 在[ab]上也都可积 6.试求心形线r=d(1+cos)0≤6≤2上各点极径的平均值
§3 可积条件 1． 证明：若 / T 是 T 增加若干个分点后所得的分割，则 T i i T i i x x / . 2． 证明：若 f 在 a,b 上可积， , a,b ，则 f 在 , 上也可积. 3． 设 f , g 均为定义在 a,b 上的有界函数.证明：若仅在 a,b 中有限个点处 f (x) g(x)， 则当 f 在 a,b 上可积时， g 在 a,b 上也可积，且 ( ) ( ) = b a b a f x dx g x dx . 4． 设 f 在 a,b 上有界， a a b a c n n n = → , ,lim .证明：若 f 在 a,b 上只有 a (n =1,2, ) n 为其间断点，则 f 在 a,b 上可积. 5． 证明：若 f 在区间 上有界，则 ( ) ( ) ( ) ( ) / // , / // sup f x inf f x sup f x f x x x x x − = − . §4 定积分的性质 1． 证明：若 f 与 g 都在 a,b 上可积，则 ( ) ( ) ( ) ( ) = = → b a n i i i i T f g x f x g x dx 1 0 lim ，其中 i i , 是 T 所属小区间 i 中的任意两点， i = 1,2, , n . 2． 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小： （1） 1 0 xdx 与 1 0 2 x dx ； （2） 2 0 xdx 与 2 0 sin xdx . 3． 证明下列不等式： （1） 2 sin 2 1 1 1 2 2 0 2 − dx x ； （2） e dx e x 1 0 2 1 ； （3） 2 sin 1 2 0 dx x x ； （4） 6 ln 3 4 e e dx x x e . 4． 设 f 在 a,b 上连续，且 f (x) 不恒等于零，证明： ( ( )) 0 2 b a f x dx . 5． 设 f 与 g 都在 a,b 上可积，证明： ( ) ( ) ( ) ( ) M x f x g x m x f (x) g(x) x a b x a b max , , min , , , = = 在 a,b 上也都可积. 6． 试求心形线 r = a(1+ cos),0 2 上各点极径的平均值
7.设∫在[ab上可积,且在[a上满足(x)≥m>0证明:在[ab]上也可积 8.进一步证明积分第一中值(包括定理97和定理9)中的中值点∈(ab) 9.证明若f与g都在[b]上可积,且g(x)在[ab]上不变号,M,m分别为/(x)在[ab 上的上、下确界,则必存在某实数山(m≤H≤M),使∫(x(t=,s(k 0.证明:若∫在[小上连续,且∫(k=(=0则在(b内至少存在两点 x,x,使/(x)=/(x)=0又若x/()=0,这时在(ab)内是否至少有三个零 点? 1.设厂在[,b]上二阶可导,且∫“(x)>0.证明: a+b flx)dx ()又若/()50x∈则又有/(22/xel 12.证明:(1)hn(+n)0) (4) dx
7． 设 f 在 a,b 上可积，且在 a,b 上满足 f (x) m 0 .证明： f 1 在 a,b 上也可积. 8． 进一步证明积分第一中值（包括定理 9.7 和定理 9.8）中的中值点 (a,b). 9． 证明：若 f 与 g 都在 a,b 上可积，且 g(x) 在 a,b 上不变号， M ,m 分别为 f (x) 在 a,b 上的上、下确界，则必存在某实数 (m M) ，使得 ( ) ( ) ( ) = b a b a f x g x dx g x dx . 10．证明：若 f 在 a,b 上连续，且 ( ) = ( ) = 0 b a b a f x dx xf x dx .则在 (a,b) 内至少存在两点 1 2 x , x ，使 f (x1 ) = f (x2 ) = 0.又若 ( ) 0 2 = b a x f x dx ，这时 f 在 (a,b) 内是否至少有三个零 点？ 11．设 f 在 a,b 上二阶可导，且 ( ) 0 // f x .证明： （1） ( ) − + b a f x dx b a a b f 1 2 ； （2）又若 f (x) 0, xa,b ，则又有 ( ) f (x)dx x a b b a f x b a , , 2 − . 12．证明：（1） ( ) n n n 1 ln 1 2 1 ln 1+ 1+ ++ + ； （2） 1 ln 1 2 1 1 lim = + + + → n n n . §5 微积分学基本定理及定积分计算（续） 1．设 f 为连续函数， u, v 均为可导函数，且可实行复合 f u 与 f v .证明： ( ) ( ) ( ) f t dt f (v(x))v (x) f (u(x))u (x) dx d v x u x / / = − 2．设 f 在 a,b 上连续， ( ) ( )( ) = − x a F x f t x t dt .证明： F (x) f (x), x a,b // = . 3． 求下列极限： （1） → x x t dt x 0 2 0 cos 1 lim ； （2） → x t x t x e dt e dt 0 2 2 0 2 2 lim . 4． 计算下列定积分： （1） 2 0 5 cos sin 2 x xdx ； （2） − 1 0 2 4 x dx ； （3） ( 0) 0 2 2 2 − x a x dx a a ； （4） ( ) − + 1 0 2 3 2 1 1 dx x x ；
dx d arcsin xdx i (8)2e sin xdx; (9)I, In xd (10)「evdh COS x (11)x (12) a+x sin x+ cosx 设∫在ad]上可积证明 (1)若∫为奇函数,则f(x)x=0 (2)若∫为偶函数,则(x)女=2(x 6.设∫为(-0,+)上以p为周期的连续函数证明:对任何实数a,恒有 (x) 7.设∫为连续函数证明 (1)5/(sin xdr= /(cos x)dx 8.设J(m,n)=[ sin"xcos"xdx(m,n为正整数)证明: m-1 m+n 并求J(2m2n) 9.证明:若在(0,+∞)上∫为连续函数,且对任何a>0有 g(x)=「,/(=常数,x∈(0+), 则∫(x)=,x∈(0.+∞),c为常数 1.设厂为连续可微函数,试求4(x-1)(0+,并用此结果求(x-)sm 1.设y=f(x)为[x上严格增的连续曲线(图912)试证存在5∈(b),使图中两阴 影部分面积相等
（5） − + 1 0 1 dx e e x x ； （6） + 2 0 2 1 sin cos dx x x ； （7） 1 0 arcsin xdx ； （8） 2 0 sin e xdx x ； （9） e e 1 ln x dx ； （10） 1 0 e dx x ； （11） ( 0) 0 2 + − dx a a x a x x a ； （12） + 2 0 sin cos cos dx x x x . 5． 设 f 在 − a,a 上可积.证明： （1）若 f 为奇函数，则 ( ) = 0 − a a f x dx ； （2）若 f 为偶函数，则 ( ) ( ) = − a a a f x dx f x dx 0 2 . 6．设 f 为 (− ,+) 上以 p 为周期的连续函数.证明：对任何实数 a ，恒有 ( ) ( ) = a+ p p a f x dx f x dx 0 . 7．设 f 为连续函数.证明： （1） ( ) ( ) = 2 0 2 0 sin cos f x dx f x dx ； （2） ( ) ( ) = 0 0 sin 2 xf sin x dx f x dx . 8．设 ( ) = 2 0 , sin cos J m n x xdx m n （ m, n 为正整数）.证明： ( ) ( ) J (m n) m n m J m n m n n J m n 2, 1 , 2 1 , − + − − = + − = , 并求 J(2m,2n). 9．证明：若在 (0,+) 上 f 为连续函数，且对任何 a 0 有 ( ) = ( ) ax x g x f t dt 常数， x(0,+)， 则 ( ) = , x (0,+) x c f x ， c 为常数. 10．设 f 为连续可微函数，试求 ( ) ( ) − x a x t f t dt dx d ，并用此结果求 ( ) − x x t tdt dx d 0 sin . 11．设 y = f (x) 为 a,b 上严格增的连续曲线（图 9-12）.试证存在 (a,b) ，使图中两阴 影部分面积相等
12.设∫为[2r]上的单调递减函数证明:对任何正整数n恒有「f(x)5m≥0 证明:当x0)有不等广m(0 14.证明:若f在[ab]上可积,g在[x,月上单调且连续可微,以(a)=a()=b,则 有八(=()(0M 5.证明:若在[上∫为连续函数,g为连续可微的单调函数,则存在5∈[b],使得 广(=8)(+8)/( §6可积性理论补叙 1.证明性质2中关于下和的不等式(3) 2.证明性质6中关于下和的极限ms(T)=s 3设∫(x)= 为有理数 0,x为无理数 试求∫在]上的上积分和下积分;并由此判断∫在p]上 是否可积 4.设∫在[ab上可积,且f(x)0,x∈b]试问√厂在b]上是否可积?为什么? 5.证明:定理9.15中的可积第二充要条件等价于“任给E>0,存在δ>0,对一切满足 卩<d的T,都有∑mA,=S()-s(门)<E 6.据理回答 (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和“的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等“的性质? (3)对可积函数,若“所有下和(或上和)都相等“,是否仍有(2)的结论 7.本题的最终目的是要证明:若f在[ab]上可积,则∫在[ab]内必定有无限多个处处稠 密的连续点这可用区间套方法按以下顺序逐一证明 (1)若T是[ab]的一个分割,使得S()-()<b-a,则在T中存在某个小区间△, 使得o!<1 (2)存在区间1={a1,b]<(ab),使得o(1)=spf(x)-nff(x)<1 3)存在区间1=[a,b]=(a,b),使得o/()=s甲/()-mf(x)< (4)继续以上方法,求出一区间序列Ln=[gnb]c(an1,bn),使得
12．设 f 为 0,2 上的单调递减函数.证明：对任何正整数 n 恒有 ( )sin 0 2 0 f x nxdx . 13．证明：当 x 0 时有不等式 ( 0) 1 sin 2 + c x t dt x c x . 14．证明：若 f 在 a,b 上可积， 在 , 上单调且连续可微， () = a,() = b ，则 有 ( ) ( ( )) ( ) = f x dx f t t dt b a / . 15．证明：若在 a,b 上 f 为连续函数， g 为连续可微的单调函数，则存在 a,b ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + b a b a f x dx g a f x dx g b f x dx . §6 可积性理论补叙 1．证明性质 2 中关于下和的不等式（3）. 2．证明性质 6 中关于下和的极限 s(T ) s T = →0 lim . 3．设 ( ) = 0 . , , ， 为无理数 为有理数 x x x f x 试求 f 在 0,1 上的上积分和下积分；并由此判断 f 在 0,1 上 是否可积. 4．设 f 在 a,b 上可积，且 f (x) 0, xa,b.试问 f 在 a,b 上是否可积？为什么？ 5．证明：定理 9.15 中的可积第二充要条件等价于“任给 0 ，存在 0 ，对一切满足 T 的 T ，都有 = S(T )− s(T ) T i i . 6．据理回答： （1）何种函数具有“任意下和等于任意上和“的性质？ （2）何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等“的性质？ （3）对可积函数，若“所有下和（或上和）都相等“，是否仍有（2）的结论？ 7．本题的最终目的是要证明：若 f 在 a,b 上可积，则 f 在 a,b 内必定有无限多个处处稠 密的连续点.这可用区间套方法按以下顺序逐一证明： （1）若 T 是 a,b 的一个分割，使得 S(T)− s(T) b − a ，则在 T 中存在某个小区间 i ， 使得 1 f i . （2）存在区间 I a ,b (a,b) 1 = 1 1 ，使得 ( ) sup ( ) inf ( ) 1 1 1 1 = − I f x f x x I x I f . （3）存在区间 ( ) 2 2 2 1 1 I = a ,b a ,b ，使得 ( ) ( ) ( ) 2 1 sup inf 2 2 2 = − I f x f x x I x I f . （ 4 ）继续以上方法，求出一区间序列 ( ) 1 1 , , n = an bn an− bn− I ，使得
o/(Un)=supf(x)-nff(x)0,则oaM ( 为(0+∞)上的严 格增函数如果要使g在+∞)上为严格增,试问应补充定义0)=? 3.∫在[+∞)上连续,且mf(x)=A,证明:mn「/(M=A x→+x 4.设∫是定义在(-∞,+)上的一个连续周期函数,周期为p,证明 lim rre dt=rr(dt 5.证明:连续的奇函数的一切皆为偶函数;连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数 6.证明施瓦茨不等式:若∫和g在[ab上可积,则 〔八)厂(地·( 利用施瓦茨不等式证明 )若/在小上可积,则(C/)(6-2广() ()若在上可积,且()≥m>0,则(·2(b=)
( ) ( ) ( ) n I f x f x n n x I x I n f 1 = sup − inf .说明 I n 为一区间套，从而存在 x0 I n ,n =1,2, ； 而且 f 在点 0 x 连续. （5）上面求得的 f 的连续点在 a,b 内处处稠密. 总练习题 1．证明：若 在 0,a 上连续， f 二阶可导，且 f (x) 0 ，则有 ( ( )) ( ) a a t dt a f t dt f a 0 0 1 1 . 2．证明下列命题： （1）若 f 在 a,b 上连续增， ( ) ( ) ( ( ) = = − , , , , , 1 f a x a f t dt x a b x a F x x a 则 F 为 a,b 上的增 函数. （2）若 f 在 0,+) 上连续，且 f (x) 0 ，则 ( ) ( ) ( ) = x x f t dt tf t dt x 0 0 为 (0,+) 上的严 格增函数.如果要使 在 0,+) 上为严格增，试问应补充定义 (0) = ？ 3． f 在 0,+) 上连续，且 f (x) A x = →+ lim ，证明： f (t)dt A x x x = →+ 0 1 lim . 4．设 f 是定义在 (− ,+) 上的一个连续周期函数，周期为 p ，证明： ( ) ( ) = →+ x p x f t dt p f t dt x 0 0 1 1 lim . 5．证明：连续的奇函数的一切皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数. 6．证明施瓦茨不等式：若 f 和 g 在 a,b 上可积，则 ( ) ( ) ( ) ( ) • b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 2 2 2 7．利用施瓦茨不等式证明： （1）若 f 在 a,b 上可积，则 ( ) ( ) ( ) − b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ； （2）若 f 在 a,b 上可积，且 f (x) m 0 ，则 ( ) ( ) ( ) 1 2 dx b a f x f x dx b a b a • − ；
(3)若∫、g都在[a,b]上可积,则有闵可夫期基不等式 [()+[C广(C ∴证明:若厂在阳上连统,且/()>0,则l广 Inf(xdx 9.设∫为(0+)上连续减函数,()>0;有设a=∑/(k)-「/(xh证明:}为 收敛数列 0.证明:若厂在[上可积,且处处有()>0,则∫(>0 习题答案 §1定积分概念 2.(1);(2)e-1;(3)eb-e";(4) §2牛顿一莱布尼茨公式 1.(1)4;(2)z 2(3)h2;(4)e+e ;(6)一;(7)4-2h3 2 2.(1) §4定积分的性质 10.提示:证得存在第一个零点x后,考察辅助函数g(x)=(x-x1)f(x) b 11.提示:f凸,等价于曲线在任一切线的上方(1)取x-2i(2)f(x)≥f()+ f(Xx-),对t积分 12.提示:1 k 在[k,k+]上积分 §5微积分学基本定理及定积分计算(续) 4 4.(1) (2) (4)-i(5) arctan (6)x
（3）若 f 、 g 都在 a,b 上可积，则有闵可夫期基不等式： ( ( ) ( )) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 + + b a b a b a f x g x f x dx g x dx 8．证明：若 f 在 a,b 上连续，且 f (x) 0 ，则 ( ) ( ) − − b a b a f x dx b a f x dx b a ln 1 1 ln 9．设 f 为 (0,+) 上连续减函数， f (x) 0 ；有设 ( ) ( ) = − = n n k an f k f x dx 1 1 .证明： an 为 收敛数列. 10．证明：若 f 在 a,b 上可积，且处处有 f (x) 0 ，则 ( ) 0 b a f x dx . 习题答案 §1 定积分概念 2．（1） 4 1 ；（2） e −1 ；（3） b a e − e ；（4） a b 1 1 − §2 牛顿—莱布尼茨公式 1．（1）4；（2） 1 2 − ；（3） ln 2 ；（4） 1 2 1 − + − e e ；（5） 3 3 − ；（6） 3 44 ；（7） 4 − 2ln 3 ； （8） 3 2 . 2．（1） 4 1 ；（2） 2 1 ；（3） 4 ；（4） 2 §4 定积分的性质 6． a 10．提示：证得存在第一个零点 1 x 后，考察辅助函数 g(x) (x x )f (x) = − 1 . 11．提示： f 凸，等价于曲线在任一切线的上方.（1）取 2 0 a b x + = ；（2） f (x) f (t)+ f (t)(x − t) / ，对 t 积分. 12．提示： k x k 1 1 1 1 + ，在 k,k +1 上积分. §5 微积分学基本定理及定积分计算（续） 3．（1）1；（2）0. 4．（1） 7 2 ；（2） 2 3 3 + ；（3） 16 4 a ；（4） 3 4 ；（5） 4 arctan e − ；（6） 4 ；
2(8)e+1;(9)2-2;(10)2;(1)a/22 8.J(2m,2n)= (2n-1)1(2m-1),z 10. f(x)-f();1-cos.x 12.,13.提示:使用积分第二中值定理 1.提示:F()=(0M,对广()g(进行分部积分 总练习题 1.提示:f凸,f(x)2/(x)+f(xXx-x)x=Mx=o(0,并积分之 3提示:1/0b=0k+后M,并考察右边两项的极限 4.提示:x=四+x,00(E0,使得当
（7） 1 2 − ；（8） +1 2 1 2 e ；（9） e 2 2 − ；（10）2；（11） − 3 2 4 3 a ；（12） 4 8． ( ) ( ) ( ) 2 ( )! 2 2 1 !! 2 1 !! 2 ,2 • + − − = + m n n m J m n m n 10． f (x)− f (a) ； 1−cos x. 12．，13.提示：使用积分第二中值定理. 15．提示： ( ) ( ) = x a F x f t dt ，对 ( ) ( ) b a f x g x dx 进行分部积分. 总练习题 1．提示： f 凸， ( ) ( ) ( )( ) (t)dt x (t) a f x f x f x x x x a + − = = , 1 , 0 0 0 0 / 0 ，并积分之. 3．提示： ( ) ( ) ( ) = + x x x x f t dt x f t dt x f t dt x 1 1 1 0 0 ，并考察右边两项的极限. 4．提示： x = np + x x p * * ,0 ，利用周期函数的性质. 8．提示：与第 1 题类似，但需注意 ln u 为凹函数. 9．提示：证明 an 递减，有下界. 典型习题解答 1．（§2 第 3 题）证明：若 f 在 a,b 上可积， F 在 a,b 上连续，且除有限个点外有 F (x) = f (x) / ，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = − . 证明：设 x x x a b n , , , , 1 2 ，且 F (x) f (x), x a,b x1 , x2 , , xn / = − ，对 a,b 的任 一分割 T . 记 T1 = T x1 , x2 , , xn 也是 a,b 的一个分割. 在属于 T1 的每个小区间 i i x , x −1 上对 F(x) 使用拉格朗日中值定理，则分别存在 i (xi−1 , xi ),i =1,2, n ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = − = − − = = n i i i n i i i n i i i F b F a F x F x F x f x 1 1 / 1 1 因为 f 在 a,b 上可积，所以 f (x)dx f ( ) x F(b) F(a) n i i i T b a = = − = → 1 0 lim . 2．（§3 第 4 题）设 f 在 a,b 上有界， a a b a c n n n = → , ,lim .证明：若 f 在 a,b 上只有 a (n =1,2, ) n 为其间断点，则 f 在 a,b 上可积. 证明：不妨设 c = a ，由于 a c n n = → lim ，故 0( 2(M − m)(b − a)),N 0 ，使得当
n>N时,有a0.证明: (1)da+b f(xbox (2)又若(x)s0x∈,则又有/()2b!/ 证明:(1)由f“(x)>0可知,()(a+b+八(2x-2 a+b a+b 从而 f(x)dx> 即 ()n∈(ab.,由秦勒公式知,/()=/0)+y(Xx-0+f()(x-n,x∈E 5位于x与1之间因为∫()>0,所以∫(x)≥f()+f((x-),两边关于t积分,得 (x)b-a)2/()+f((x- f()-[b-x)/( ofla)] (-(x)b-a)2(M
n N 时，有 (M m) a an a − + 2 ，从而 f 在 ( ) − + b M m a , 2 上只有有限个间断点， 因 此 f 在 ( ) − + b M m a , 2 上可积，于是存在对 ( ) − + b M m a , 2 的某一分割 T1 = 1 ,2 , ,n−1 ，使得 2 1 T i i x . 令 ( ) − = + M m n a a 2 , ， 则 T = 1 , ,n−1 ,n 是对 a,b 的一个分割，记 f 在 ( ) − + M m a a 2 , 上的振幅为 0 ， 则 ( ) + + = − = • 2 2 2 1 0 T i i T i i x M m x ，即 f 在 a,b 上可积. 3．（§4 第 11 题）设 f 在 a,b 上二阶可导，且 ( ) 0 // f x .证明： （1） ( ) − + b a f x dx b a a b f 1 2 ； （2）又若 f (x) 0, xa,b ，则又有 ( ) f (x)dx x a b b a f x b a , , 2 − 证明：（1）由 ( ) 0 // f x 可知， ( ) + − + + + 2 2 2 / a b x a b f a b f x f ，从而 ( ) ( ) (b a) a b dx f a b x a b b a f a b f x dx f b a b a − + = + − + − + + 2 2 2 2 / 即 ( ) − + b a f x dx b a a b f 1 2 （2） t (a,b) ，由泰勒公式知， ( ) ( ) ( )( ) ( ) (x t) x a b f f x f t f t x t , , 2! 2 / / / = + − + − ， 位于 x 与 t 之间.因为 ( ) 0 // f ,所以 f (x) f (t)+ f (t)(x − t) / ，两边关于 t 积分，得 ( )( ) ( ) ( )( ) − + − ab b a f x b a f t dt f t x t dt / ( ) ( ) ( ) ( ) = + − + b a b a b a f t dt x t f t f t dt f (t)dt (b x)f (b) (x a)f (a) b a = − − + − 2 ( ) ( )( ) ( ) − − b a b a 2 f t dt f x b a 2 f t dt 0
其中/(x)=m()即/()22[(kx∈E 4.(§4第12题)证明:(1)h(1+n)0有 g(x)=「,(=常数,x∈(0+) 则∫(x)=-,x∈(0,+∞),c为常数 证明:由题设知,g(x)=a(ax)-f(x)=0,x∈(0+∞),即a>0,有qf(ax)=f(x) 特别取a=1,x∈(0+∞),则()=1/0) 6.(5第18题)证明:当x>0时有不等式厂md-:>0 证明:令l=由积分第二中值定理,得 +c) sin u sint dt du sin udu 2 coS x -<l< 其中∈2
其中 f (x0 ) = maxf (a), f (b).即 ( ) f (x)dx x a b b a f x b a , , 2 − 4．（§4 第 12 题）证明：（1） ( ) n n n 1 ln 1 2 1 ln 1+ 1+ ++ + ； （2） 1 ln 1 2 1 1 lim = + + + → n n n . （1）证明：令 ( ) , 1, 1 1 = x n + x f x ，则 ( ) n dx x dx x dx x dx x n n n n 1 2 1 1 1 1 1 1 ln 1 3 1 2 2 1 1 1 + = = + + + + + + + + ( ) n dx x dx x dx x dx x n n n n 1 2 1 1 1 1 1 ln 1` 3 2 2 1 1 = = + + + + + − 从而 ( ) n n n 1 ln 1 2 1 ln 1+ 1+ ++ + . （2）由（1）知 ( ) 1 ln 1 ln 1 2 1 1 ln ln 1 + + + + + n n n n n ，因为 ( ) 1 1 1 1 lim ln ln 1 lim = + = + →+ →+ x x x x x x ， 所以 ( ) 1 ln ln 1 lim = + → n n n ，从而有 1 ln 1 2 1 1 lim = + + + → n n n 5．（§5 第 9 题）证明：若在 (0,+) 上 f 为连续函数，且对任何 a 0 有 ( ) = ( ) ax x g x f t dt 常数， x(0,+)， 则 ( ) = , x (0,+) x c f x ， c 为常数. 证明：由题设知， ( ) = ( )− ( ) 0, (0,+) / g x af ax f x x ，即 a 0 ，有 af (ax) f (x)， 特别取 = , (0,+) 1 x x a ，则 ( ) (1) 1 f x f x = . 6．（§5 第 13 题）证明：当 x 0 时有不等式 ( 0) 1 sin 2 + c x t dt x c x 证明：令 2 u = t .由积分第二中值定理，得 ( ) = = + + 2 2 2 sin 2 1 2 sin sin 2 x x c x x c x udu x du u u t dt ( ) x x x 1 cos cos 2 1 2 = − 其中 ( ) 2 2 x , x + c
