第五章微分中值定理及应用 §1微分中值定理 1.证明:(1)方程x3-3x+c=0(c是常数)在区间[,1内不可能有两个不同的实 根 (2)方程x"+px+q=0(n为正整数,p,q为实数)当n为偶数时至多有两个实 根;当n为奇数时至多有三个实根 2.设f(x)=x"(1-x)”,m,n为正整数,x∈[0,1],则存在ξ∈(0,1),使 3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 (1)|sinx-inys|x-yxy∈(-0+∞) )anxx∈(-22)等号成立当且仅当x=0 (3)ex>1+x.x≠0 (4) 0. 4.设函数在点a具有连续的二阶导数,证明 li f(a+h)+f(a-h)-2f(a)=f(a) h 5.设lmf(x)=a,求证:任意T>0,有 x→+ lim [ f(x+r)-f(x)= Ta 6.函数∫(x)在[a,b可导,其中a≥0,证明:存在5∈(a,b),使得 5f(b)-f(a)=(b2-a2)f() 7.设f(x)在(a,+∞)上可导,且limf(x)=limf(x)=A。求证:存在∈(a,+∞) 使∫(5)=0。 8.设∫(x)可导,求证:f(x)在两零点之间一定有∫(x)+∫(x)的零点
第五章 微分中值定理及应用 §1 微分中值定理 1．证明：（1）方程 3 x x c − + = 3 0 （ c 是常数）在区间 [0,1] 内不可能有两个不同的实 根； （2）方程 n x 0 + + = px q （ n 为正整数， p q, 为实数）当 n 为偶数时至多有两个实 根；当 n 为奇数时至多有三个实根。 2．设 ( ) (1 ) , , m n f x x x m n = − 为正整数， x [0,1] ，则存在 (0,1) ，使 1 m n = − 3．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） sin sin , , ( , ); x y x y x y − − − + （2） tan , ( , ), 2 2 x x x − 等号成立当且仅当 x = 0 ； （3） 1 , 0; x e x x + （4） ln ,0 ; y x y y x x y y x x − − （5） 2 arctan , 0. 1 x x x x x + 4．设函数在点 a 具有连续的二阶导数，证明 '' 2 0 ( ) ( ) 2 ( ) lim ( ). h f a h f a h f a f a → h + + − − = 5．设 ' lim ( ) x f x a →+ = ，求证：任意 T 0 ，有 lim [ ( ) ( )] . x f x T f x Ta →+ + − = 6． 函数 f x( ) 在 [ , ] a b 可导，其中 a 0 ，证明：存在 ( , ) a b ，使得 2 2 ' 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ). f b f a b a f − = − 7．设 f x( ) 在 ( , ) a + 上可导，且 lim ( ) lim ( ) x a x f x f x A → + → = = 。求证：存在 + ( , ) a ， 使 ' f ( ) 0 = 。 8．设 f x( ) 可导，求证： f x( ) 在两零点之间一定有 ' f x f x ( ) ( ) + 的零点
9.设函数∫(x)在x附近连续,除x点外可导,且limf(x)=A,求证:f(x0)存 在,且∫(x)=A 10.若∫(x)在[a,b可导,且∫(a)≠∫(b),k为介于f∫(a)和∫(b)之间的任一实 数,则至少存在一点∈(a,b),使∫(2)=k 1l.设函数∫(x)在(a,b)内可导,且∫(x)单调,证明∫(x)在(a,b)连续 12.若函数f(x),g(x)和h(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,证明存在∈(a,b) 使得 f(a g(a) h(a) ∫(b)g(b)h(b)=0 f(5)g(5)h(5 13.设∫(x)在(-∞,+∞)连续,且Iimf(x)=+∞,证明:f(x)在(-∞,+∞)上取到 X→土 它的最小值 14.设f(x)在[a,b)连续,limf(x)=B (1)若存在x1∈[a,b),使f(x)>B,则f(x)在[a,b)上达到最大值; (2)如果存在x1∈[a,b),使∫(x1)=B,能否断言f(x)在[a,b)上达到最大值? 15.设f(x)在[a,+∞)有界,f(x)存在,且limf(x)=b.求证b=0 16.求证: arcsin x+ arccos x=x(≤1) §2微分中值定理及其应用 1.求下列待定型的极限: (1)Iim tan c x→0 sin bx 1-coS x (2) lim sIn x (3)Im(1+x)-x (4)lin tan x-x x→0x-Sinx
9．设函数 f x( ) 在 0 x 附近连续，除 0 x 点外可导，且 0 ' lim ( ) x x f x A → = ，求证： ' 0 f x( ) 存 在，且 ' 0 f x A ( ) = . 10．若 f x( ) 在 [ , ] a b 可导，且 ' ' f a f b ( ) ( ) ，k 为介于 ' f a( ) 和 ' f b( ) 之间的任一实 数，则至少存在一点 ( , ) a b ，使 ' f k ( ) = . 11．设函数 f x( ) 在 ( , ) a b 内可导，且 ' f x( ) 单调，证明 ' f x( ) 在 ( , ) a b 连续. 12．若函数 f x( ) ， g x( ) 和 h x( ) 在 [ , ] a b 连续，在 ( , ) a b 可导，证明存在 ( , ) a b ， 使得 ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) f a g a h a f b g b h b f g h = . 13．设 f x( ) 在 ( , ) − + 连续，且 lim ( ) x f x → = + ，证明： f x( ) 在 ( , ) − + 上取到 它的最小值. 14．设 f x( ) 在 [ , ) a b 连续， lim ( ) x b f x B → − = . （1）若存在 1 x a b [ , ) ，使 1 f x B ( ) ，则 f x( ) 在 [ , ) a b 上达到最大值； （2）如果存在 1 x a b [ , ) ，使 1 f x B ( ) = ，能否断言 f x( ) 在 [ , ) a b 上达到最大值？ 15．设 f x( ) 在 [ , ) a + 有界， ' f x( ) 存在，且 ' lim ( ) x f x b →+ = .求证 b = 0 . 16．求证： arcsin arccos ( 1) 2 x x x + . §2 微分中值定理及其应用 1．求下列待定型的极限： （1） 0 tan lim ; x sin ax → bx （2） 2 3 0 1 cos lim ; x sin x → x x − （3） 0 ln(1 ) lim ; x cos 1 x x → x + − − （4） 0 tan lim ; x sin x x → x x − −
(5) In cos ax (6) lim x→0 COS an x (7) lim secx十 (8) (9) lim(T-x)tan (10) lim xl-r (11) lim - (a, 6>0); arctan x (12) lim sIn ln° (14) lim xInx(b, c>0) -2sinx (15) lim cos 3x (16)lim n x→0cotx (17)lim 1+x=e (18)lim x (19) lim In (20) lim tan x
（5） 0 1 1 lim ; 1 x x→ x e − − （6） 0 ln cos lim ; ln cos x ax → bx （7） 2 tan 6 lim ; x sec 5 x x → − + （8） 1 1 1 lim ; x→ ln 1 x x − − （9） lim( ) tan ; x 2 x x → − （10） 1 1 1 lim ; x x x − → （11） lim ( , 0); b ax x x a b →+ e （12） arctan 2 lim ; 1 sin x x x →+ − （13） ln lim (b,c>0); c b x x →+ x （14） 0 lim ln (b,c>0); b c x x x → + （15） 6 1 2sin lim ; x cos3 x x → − （16） 0 ln lim ; cot x x x → + （17） 1 0 (1 ) lim ; x x x e → x + − （18） sin 0 lim ; x x x → + （19） 0 1 lim ln ; x x x → + （20） 2 1 0 tan lim ; x x x → x
(21) lim 22) lim sin Inx 2.对函数f(x)在[0,x]上应用拉格朗日中值定理有 f(x)-f(0)=f(x)x,O∈(0,1) 试证对下列函数有limb (2)f(x)=ex 3.设f(x)二阶可导,求证: lm(x+2h)-2/(x+b)+x=f(x) 4.下列函数不能用洛必达法则求极限: (1) lim x→0Sinx (2)im x+sin x 2x+sin 2x I-o(2x+sin x)e (4)lim(x-1)sinx In 1+sin -x 3函数的升降、凸性和函数作图 1.应用函数的单调性证明下列不等式 (1)x0
（21） 2 2 0 1 1 lim ; x→ x x sin − （22） 0 lim sin ln . x x x → + 2．对函数 f x( ) 在 [0, ] x 上应用拉格朗日中值定理有 ' f x f f x x ( ) (0) ( ) , (0,1). − = 试证对下列函数有 0 1 lim x 2 → = ： （1） f x x ( ) ln(1 ); = + （2） ( ) . x f x e = 3．设 f x( ) 二阶可导，求证： '' 2 0 ( 2 ) 2 ( ) ( ) lim ( ). h f x h f x h f x f x → h + − + + = 4．下列函数不能用洛必达法则求极限： （1） 2 0 1 sin 2 lim ; x sin x → x （2） sin lim ; cos x x x → x x + − （3） sin 2 sin 2 lim ; (2 sin ) x x x x → x x e + + （4） 2 1 ( 1)sin lim . ln 1 sin 2 x x x x → − + §3 函数的升降、凸性和函数作图 1．应用函数的单调性证明下列不等式： （1） 2 sin , (0, ); 2 x x x x （2） 3 sin , 0; 6 x x x x x − （3） 2 ln(1 ) , 0; 2 x x x x x − +
(4)tanx>x+,x∈(0,) 2.确定下列函数的单调区间: (1)y 6 y y y (5)y=2x-sinx; (6)y=xe(n>0,x≥0) 3.求下列函数的极值: (1)y=x-ln(1+x) (3) 4+5 (4) (5)y=2x3-x4 (6) y=arctan x-In(1+x2) 4.设f(x)=/+s: 2X×0 (1)证明:X=0是函数的极小值点 (2)说明在∫的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 5.证明:若函数f(x)在点x处有f,(x)0,则x为∫的极大值点 6.设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1,x2=2处都取的极值,试定出a和b的值:并问
（4） 3 tan , (0, ); 3 2 x x x x + （5） 1 2 3 , 1. x x x − 2．确定下列函数的单调区间： （1） 3 y x x = − 6 ; （2） 2 y x x = − 2 ; （3） 2 y x x = − 2 ln ; （4） 2 1 ; x y x − = （5） 2 y x x = − 2 sin ; （6） ( 0, 0). n x y x e n x − = 3．求下列函数的极值： （1） y x x = − + ln(1 ); （2） 1 y x ; x = + （3） 2 1 3 ; 4 5 x y x + = + （4） 2 (ln ) ; x y x = （5） 3 4 y x x = − 2 ; （6） 1 2 arctan ln(1 ). 2 y x x = − + 4．设 4 2 1 sin , x 0, ( ) 2 0 , x 0. x f x = = （1）证明： x 0 = 是函数的极小值点； （2）说明在 f 的极小值点 x = 0 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 5．证明：若函数 f x( ) 在点 0 x 处有 ' ' 0 _ 0 f x f x ( ) 0, ( ) 0 + ，则 0 x 为 f 的极大值点. 6．设 2 f x a x bx x ( ) ln = + + 在 1 2 x x = = 1, 2 处都取的极值，试定出 a 和 b 的值；并问
这时∫在x和x2是取得极大值还是极小值: (1)求函数∫(x)=ax-lnx在x>0上的极值 (2)求方程ax=lnx有两个正实根的条件 8.设∫(x),g(x)在实轴上连续可微,且 f(x)g(x) f(x)g(x) 求证:f(x)=0的两实根之间一定有g(x)=0的根 9.确定下列函数的凸性区间与拐点: (1) 3x2-x3 (2)y=x2+ (3) (4)y=√h+x2 x+1 10.证明曲线y= 有位于同一直线上的三个拐点 x2+1 1l间问a,b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx2的拐点? 12.证明: (1)若f(x)为下凸函数,A为非负实数,则Af(x)为下凸函数; (2)若∫(x)、g(x)均为下凸函数,则f(x)+g(x)为下凸函数 (3)若f(x)为区间上的下凸函数,g(x)为J上的下凸递增函数,f(D)cJ,则 gf(x)为上的下凸函数 13.设f(x)为区间I上严格上凸函数,证明:若x0∈I为∫(x)的极小值点,则x为 ∫(x)在/上唯一的极小值点 14.应用下凸函数概念证明如下不等式 (1)对任意实数a,b,有 e2≤(e"+eb)
这时 f 在 1 x 和 2 x 是取得极大值还是极小值； (1) 求函数 f x ax x ( ) ln = − 在 x 0 上的极值； (2) 求方程 ax x = ln 有两个正实根的条件. 8.设 f x( ) ， g x( ) 在实轴上连续可微，且 ' ' ( ) ( ) 0. ( ) ( ) f x g x f x g x 求证： f x( ) 0 = 的两实根之间一定有 g x( ) 0 = 的根. 9.确定下列函数的凸性区间与拐点： （1） 2 3 y x x = − 3 ; （2） 2 1 y x ; x = + （3） 2 y x = + ln(1 ); （4） 2 y x = +1 . 10.证明曲线 2 1 1 x y x + = + 有位于同一直线上的三个拐点. 11.问 a，b 为何值时，点 (1,3) 为曲线 3 2 y ax bx = + 的拐点？ 12.证明： (1) 若 f x( ) 为下凸函数， 为非负实数，则 f x( ) 为下凸函数； (2) 若 f x( ) 、 g x( ) 均为下凸函数，则 f x g x ( ) ( ) + 为下凸函数； (3) 若 f x( ) 为区间 I 上的下凸函数， g x( ) 为 J 上的下凸递增函数， ( ) f I J ，则 g f x( ) 为 I 上的下凸函数. 13.设 f x( ) 为区间 I 上严格上凸函数，证明：若 0 x I 为 f x( ) 的极小值点，则 0 x 为 f x( ) 在 I 上唯一的极小值点. 14.应用下凸函数概念证明如下不等式： (1) 对任意实数 a b, , 有 2 1 ( ); 2 a b a b e e e + +
(2)对任何非负函数a,b,有 a+b 2 arctan ≥ arctan a+ arctan b 15.如何选择参数h>0,方能使曲线 在x=±σ(σ>0为给定的常数)处有拐点 16.求y 的极值及拐点,并求拐点处的切线方程. 17.作出下列函数的图形 (1)y -6x (2)y=e(x-1)2 (3)y (4)y=In (5)y=y=x-2 x; (6)y=xe-2 (7) (8)y (x-1) (9)y= §4函数的最大值最小值问题 1.求下列函数在指定区间上的最大值与最小值 (1)y=x3-5x+5x3+1,[-1,2] (2)y=2 tan x,[0,-) inx,(O,+∞);
(2) 对任何非负函数 a b, , 有 2arctan arctan arctan 2 a b a b + + . 15.如何选择参数 h 0 ，方能使曲线 2 2 h h x y e − = 在 x = （ 0 为给定的常数）处有拐点. 16.求 2 2 1 x y x = + 的极值及拐点，并求拐点处的切线方程. 17.作出下列函数的图形： （1） 3 y x x = − 6 ; （2） 2 ( 1) ; x y e − − = （3） 2 1 ; 1 y x = − （4） 1 ln ; 1 x y x + = − （5） y y x x = = − 2arctan ; （6） ; x y xe − = （7） 2 2 2 3 ; 1 x x y x − − = + （8） 3 3 ( 1) ; ( 1) x y x − = + （9） 4 3 (1 ) x y x = + . §4 函数的最大值最小值问题 1．求下列函数在指定区间上的最大值与最小值 （1） 5 4 3 y x x x = − + + − 5 5 1, [ 1,2]; （2） 2 2 tan tan , [0, ); 2 y x x = − （3） y x x = + ln ,(0, );
(5) 2.给定长为l的线段,试把它分成两段,使以这两段为边所围成的矩形面积为最大 3.设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2…,an,问以怎样的数值x表达 所要测量的真值,才能使它与这n个数之差的平方和为最小 4求内接于椭圆+=1而边平行于坐标轴的面积最大的矩形 5点M(p,p)到抛物线y2=2px最短距离 做一个圆柱形锅炉,已知起容积为V,两端面材料的每单位面积价格为a元.侧材料 的每单位面积价格为b元,问锅炉的直径与高的比等于多少时,造价最省? 7.某村计划修建一条断面面积为4m2的梯形渠道,侧面的坡度为(即底边与斜高间 夹角θ满足tanθ=-),底边b与斜高l为多长时湿周最小.(根据经验,湿周最小时渠道 过水能力最大.) 8.设炮口的仰角为a,炮弹的初速为vm/s,炮口取作原点,发炮时间取作t=0,不 计空气阻力时,炮弹的运动方程为: x= fv cos a y=to sina--gt 若初速v不变,问如何调整炮口的仰角a,使炮弹射程最远
（4） 2 y x x = − + 3 2 , [-10,10]; （5） x-3 y=e , [-5,5]. 2．给定长为 l 的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大. 3.设用某仪器进行测量时，读得 n 次实验数据为 1 2 , , , , n a a a 问以怎样的数值 x 表达 所要测量的真值，才能使它与这 n 个数之差的平方和为最小. 4.求内接于椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 而边平行于坐标轴的面积最大的矩形. 5.点 M p p ( , ) 到抛物线 2 y px = 2 最短距离. 6.做一个圆柱形锅炉，已知起容积为 V ，两端面材料的每单位面积价格为 a 元.侧材料 的每单位面积价格为 b 元，问锅炉的直径与高的比等于多少时，造价最省？ 7.某村计划修建一条断面面积为 2 4m 的梯形渠道，侧面的坡度为 3 4 （即底边与斜高间 夹角 满足 3 tan 4 = ），底边 b 与斜高 l 为多长时湿周最小.（根据经验，湿周最小时渠道 过水能力最大.） 8.设炮口的仰角为 ，炮弹的初速为 0 v m s/ ，炮口取作原点，发炮时间取作 t = 0 ，不 计空气阻力时，炮弹的运动方程为： 0 2 0 cos 1 sin 2 x tv y tv gt = = − 若初速 0 v 不变，问如何调整炮口的仰角 ，使炮弹射程最远
