第十四章傅里叶级数 §1三角级数与傅里叶级数 证明 (1)sinx, sin 2x, sinn,…是[0,]上的正交系 (2) sinx, sin 3x sin(2n+1)x,…是[O,]上的正交系 (3)1,cosx,cos2x,…,cosn,…是[0,x]上的正交系; (4)1,sinx,sin2x,…, sinn,…不是[,]上的正交系 2.求下列周期为2x的函数的傅里叶级数: (1)三角多项式P(x)=∑(acsx+ b sin ix) (2)f(x)=x3(-z<x<z) (4)f(x)=e"(-z<x<丌) (5)f()=(sinx(-I<x<T) (6)f(x)=xcosx (T (7)f(x) 0.0≤x<z f(x)=n2-x2 (-z<x<z) 9)f(x)=sgn cosx (0)(x)=x-x(0<x<2z) 3.设∫(x)以2丌为周期,在[-丌,x]绝对可积,证明: (1)如果函数f(x)在[,]满足f(x+x)=f(x),则
第十四章 傅里叶级数 §1 三角级数与傅里叶级数 1．证明 (1) sin x ，sin 2x， ， sinnx ， 是 [0, ] 上的正交系； (2) sin x ，sin3x， ， sin 2 1 ( n x + ) ， 是 [0, ] 2 上的正交系； (3) 1， cos x，cos2x ， ，cosnx ， 是 [0, ] 上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x， ， sinnx ， 不是 [0, ] 上的正交系； 2．求下列周期为 2 的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式 ( ) ( ) 0 cos sin n n i i i P x a ix b ix = = + ； (2) ( ) ( ) 3 f x x x = − ； (3) ( ) cos 2 x f x = ； (4) ( ) ( ) ax f x e x = − ； (5) f x x x ( ) = − sin ( ) ； (6) f x x x x ( ) = − cos ( ) ； (7) ( ) , 0 0, 0 x x f x x − = ； (8) ( ) ( ) 2 2 f x x x = − − ； (9) f x x ( ) = sgn cos ； (10) ( ) 0 2 ( ) 2 x f x x − = . 3．设 f x( ) 以 2 为周期，在 [ , ] − 绝对可积，证明： (1) 如果函数 f x( ) 在 [ , ] − 满足 f x f x ( + = ) ( ) ，则 2 1 2 1 0, 1,2, m m a b m − − = = = ；
(2)如果函数f(x)在-兀,1满足∫(x+x)=-f(x),则 bn=0, §2傅里叶级数的收敛性 1.将下列函数展成傅里叶级数,并讨论收敛性: (1)f(r)=sinx xe[-,T (2)f(x)={1 x2,x∈[0,z 2.由展开式 丌(a cos nx+b sin nx 中的系数an,b满足关系 maxn3anl,mn3b}≤M, M为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数
(2) 如果函数 f x( ) 在 [ , ] − 满足 f x f x ( + = − ) ( ) ，则 2 2 0, 1,2, m m a b m = = = . §2 傅里叶级数的收敛性 1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) f x x x x ( ) = − sin [ , ] ； (2) ( ) 2 , [0, ] 1, [ ,0) x x f x x = − ； 2．由展开式 ( ) 1 1 sin 2 ( 1) n n nx x x n + = = − − ， (1) 用逐项积分法求 2 x ， 3 x ， 4 x 在 ( , ) − 中的傅里叶展开式； (2) 求级数 ( ) 1 4 1 1 n n n + = − ， 4 1 1 n n = 的和. 3． (1) 在 ( , ) − 内，求 ( ) x f x e = 的傅里叶展开式； (2) 求级数 2 1 1 n 1 n = + 的和. 4．设 f x( ) 在 [ , ] − 上逐段可微，且 f f (− = ) ( ). n a ， n b 为 f x( ) 的傅里叶系数， ' n a ， ' n b 是 f x( ) 的导函数 f x'( ) 的傅里叶系数，证明： 0 a ' 0 = ， ' n n a nb = ， ' n n b na = − ( n 1, 2, ) = . 5．证明：若三角级数 ( ) 0 1 cos sin 2 n n n a a nx b nx = + + 中的系数 n a ， n b 满足关系 3 3 max , n n n a n b M ， M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数
6.设T(x)=+∑( a, cos kx+ b sin kx),求证: sinl n+ T,(x)=T(x+1) 设∫(x)以2z为周期,在(O,2x)上单调递减,且有界,求证:bn≥0(m>0) 8.设∫(x)以2为周期,在(0,2丌)上导数f∫(x)单调上升有界.求证 ≥0(n>0) 9.证明:若f(x)在x点满足a阶的利普希茨条件,则∫(x)在x点连续给出一个表 明这论断的逆命题不成立的例子 10.设f(x)是以2r为周期的函数,在[-r,刀]绝对可积,又设Sn(x)是f(x)的傅里 叶级数的前n项部分和 S, (x (ak coskx+bE sin kx) S,(x)= 4门2∫(x+2)+f( 21)p.(21 其中D2()是狄利克雷核 1.设f(x)是以2丌为周期,在(一0,∞)连续,它的傅里叶级数在x点收敛求证: 12.设∫(x)是以2x为周期、连续,其傅里叶系数全为0,则f(x)=0 13.设f(x)是以2为周期,在[-x,x]绝对可积.又设x0∈(-丌,)满足 lim f(x+1)+f(x0-) L 2 存在证明lima(x)=L.进一步,若f(x)在x点连续,则Iman、(x)=f(x),其中 an(x)=∑S(x)
6．设 ( ) ( ) 0 1 cos sin 2 n n k k k a T x a kx b kx = = + + ，求证： ( ) ( ) 1 sin 1 2 2 sin 2 n n n t T x T x t dt t − + = + . 7．设 f x( ) 以 2 为周期，在 (0, 2 ) 上单调递减，且有界，求证： b n n 0 0 ( ) . 8 ． 设 f x( ) 以 2 为周期，在 (0, 2 ) 上导数 f x'( ) 单调上升有界 . 求证： a n n 0 0 ( ). 9．证明：若 f x( ) 在 0 x 点满足 阶的利普希茨条件，则 f x( ) 在 0 x 点连续. 给出一个表 明这论断的逆命题不成立的例子. 10．设 f x( ) 是以 2 为周期的函数，在 [ , ] − 绝对可积，又设 S x n ( ) 是 f x( ) 的傅里 叶级数的前 n 项部分和 ( ) ( ) 0 1 cos sin 2 n n k k k a S x a kx b kx = = + + ， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 4 2 2 2 2 n n f x t f x t S x D t dt + + − = ， 其中 D t n ( ) 是狄利克雷核. 11．设 f x( ) 是以 2 为周期，在 (− , ) 连续，它的傅里叶级数在 0 x 点收敛. 求证： S x f x n n ( 0 0 ) → → + ( ) ( ). 12．设 f x( ) 是以 2 为周期、连续，其傅里叶系数全为 0，则 f x( ) 0 . 13．设 f x( ) 是以 2 为周期，在 [ , ] − 绝对可积. 又设 0 x −( , ) 满足 ( 0 0 ) ( ) 0 lim t 2 f x t f x t L → + + + − = 存在. 证明 lim n ( 0 ) n x L → = . 进一步，若 f x( ) 在 0 x 点连续，则 lim n ( 0 0 ) ( ) n x f x → = ，其中 ( ) ( ) 0 1 1 n n k k x S x n = = +
§3任意区间上的傅里叶级数 将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数,并讨论其收敛性 (1)在区间(0.,2)展开 <X< 0,l≤x<2 (2)f(x)=xco (3)f(x)=x,(02) 0≤x≤1, (4)f(x)={11<x<2, 2.求下列周期函数的傅里叶级数: 1)f(x)=cosx (2)f(x)=x- 3.把下列函数在指定区间上展开为余弦级数 (1)f(x)=sinx,0≤x≤丌; 0<x≤2, 3.2<x<4 4.把下列函数在指定区间上展开为正弦级数: (1)f(x)=cos=,0≤x≤丌 2)f(x)=x2,0≤x≤2 把函数f(x)=(x-1)在(0,1)上展开成余弦级数,并推出 6.将函数f(x)分别作奇延拓和偶延拓后,求函数的傅里叶级数,其中
§3 任意区间上的傅里叶级数 1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性： (1) 在区间 (0,2l) 展开 , 0 , ( ) 0, 2 ; A x l f x l x l = (2) ( ) cos , , 2 2 f x x x = − ； (3) f x x l ( ) , 0, = ( ) ； (4) , 0 1, ( ) 1, 1 2, 3 , 2 3. x x f x x x x = − 2．求下列周期函数的傅里叶级数： (1) f x x ( ) cos = ； (2) f x x x ( ) = − . 3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： (1) f x x x ( ) sin , 0 = ； (2) 1 , 0 2, ( ) 3, 2 4. x x f x x x − = − 4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1) ( ) cos , 0 2 x f x x = (2) 2 f x x x ( ) , 0 2 = . 5．把函数 ( ) 2 f x x ( ) 1 = − 在 (0,1) 上展开成余弦级数，并推出 2 2 2 1 1 6 1 2 3 = + + + . 6．将函数 f x( ) 分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中
f(x) 2 0,<x≤丌 7应当如何把给定在区间0.,的可积函数延拓到区间(x,x)内,使得它在() 中对应的傅里叶级数为: ()f(x)-∑ (2)f(x)-2b2m- sin(2n-1)x §4傅里叶级数的平均收敛性 1.若f(x),g(x)以2x为周期,在[-r,丌]平方可积, f(x)-+2(a, cos nx +b, sin nx) g(x)0+2(a, cos nx+Bn sin nx) 1∫(xg(x=4+(an+bB) 2.设∫(x)在[0,上平方可积,求证: ∫f=( a 其中 f(x)cos
1, 0 , 2 1 ( ) , , 2 2 0, . 2 x f x x x = = 7．应当如何把给定在区间 0, 2 的可积函数延拓到区间 (− , ) 内，使得它在 (− , ) 中对应的傅里叶级数为： (1) ( ) 2 1 ( ) 1 cos 2 1 n n f x a n x − = − ； (2) ( ) 2 1 ( ) 1 sin 2 1 n n f x b n x − = − . §4 傅里叶级数的平均收敛性 1．若 f x( ) , g x( ) 以 2 为周期，在 [ , ] − 平方可积， ( ) 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a f x a nx b nx = + + ， ( ) 0 1 ( ) cos sin 2 n n n g x nx nx = + + ， 则 ( ) 0 0 1 1 ( ) ( ) 2 n n n n n a f x g x dx a b − = = + + . 2．设 f x( ) 在 [0, ]l 上平方可积，求证： 2 2 2 0 0 1 2 1 ( ) 2 l n n f x dx a a l = = + ， 其中 0 2 ( )cos l n n x a f x dx l l =