第二章函数 §1函数概念 1.证明下列不等式 (1)|x-y2|x-训: (2)x+x2+…x|sx|+||+…+xl (3)|x1+x2+…x+x|2|x|-(|x1|+x2|+…+|xn1 2.求证4+b|a 3.求证 max(a, b) a+b |a-bl min(a,)s a+b la-bl 4.已知三角形的两条边分别为a和b,它们之间的夹角为O,试求此三角形的面 s(O),并求其定义域 5.在半径为r的球内嵌入一内接圆柱,试将圆柱的体积表为其高的函数,并求此函数 的定义域 6.某公共汽车路线全长为20km,票价规定如下:乘坐5km以下(包括5km)者收费 1元:超过5km但在15km以下(包括15km)者收费2元;其余收费2元5角.试将 票价表为路程的函数,并作出函数的图形 7.一脉冲发生器产生一个三角波.若记它随时间t的变化规律为f(t),且三个角分别 有对应关系f(0)=0,f(10)=20,f(20)=0,求f(1)0≤t≤20),并作出函数的图形 8.判别下列函数的奇偶性 (1)f(x) (2) f(x)=x+ sinx: (3)f(x)=xe; 4)f(x)=lg(x+√h+x2) 9.判别下列函数是否是周期函数,若是,试求其周期: (1) f(x)=cos x: (2) f(x)=cos+2sin: fo (4)f(x)=√tanx
第二章 函数 §1 函数概念 1． 证明下列不等式： (1) x y x y − − ； (2) 1 2 1 2 n n x x x x x x + + + + + ； (3) 1 2 1 2 (| | | | | | n n + + + − + + + x x x x x x x x ）. 2．求证 | | | | | | 1 | | 1 | | 1 | | a b a b a b a b + + + + + + . 3．求证 | | max( , ) 2 2 a b a b a b + − = + ； | | min( , ) 2 2 a b a b a b + − = − . 4．已知三角形的两条边分别为 a 和 b ，它们之间的夹角为 ，试求此三角形的面 s( ) ，并求其定义域. 5．在半径为 r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数 的定义域. 6．某公共汽车路线全长为 20km，票价规定如下：乘坐 5km 以下（包括 5km）者收费 1 元；超过 5km 但在 15km 以下（包括 15km）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将 票价表为路程的函数，并作出函数的图形. 7．一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间 t 的变化规律为 f t() ，且三个角分别 有对应关系 = f (0) 0 ， = f (10) 20 ， = f (20) 0 ，求 ( ) f t t ( ) 20 ，并作出函数的图形. 8．判别下列函数的奇偶性： (1) 4 2 ( ) 1 2 x = + − f x x ； (2) = + f x x x ( ) sin ； (3) 2 2 ( ) x f x x e− = ； (4) 2 = + + f x x x ( ) lg( 1 ) . 9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： (1) 2 = f x x ( ) cos ； (2) ( ) cos sin 2 3 x x = + f x ； (3) f x x ( ) cos = ； (4) = f x x ( ) tan
0.证明f(x) 在(-∞,+∞)有界 1l用肯定语气叙述函数无界,并证明∫(x)=-在(,1)无界 12.试证两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,一个奇函数和一个 偶函数的乘积是奇函数 13.设f(x)为定义在(-∞,+∞)内的任何函数,证明f(x)可分解成奇函数和偶函数之 和 14.用肯定语气叙述:在(-∞,+∞)上 (1)f(x)不是奇函数; (2)f(x)不是单调上升函数 (3)f(x)无零点 (4)f(x)无上界 §2复合函数与反函数 设f(x)=1-x,求证f((x)=x 2.求下列函数的反函数及其定义域 (1)y=(x+-),10 求复合函数f(g(x),g(f(x)) 5.设f(x) 求(f°fo…°)(x) 设f(x)=11+x|-|1-x,试求(ff0…f)(x) 7.设f(x)=,1,求((x),f0(x),f() §3初等函数
10．证明 2 ( ) 1 x f x x = + 在 − + ( , ) 有界. 11．用肯定语气叙述函数无界，并证明 2 1 f x( ) x = 在 (0,1) 无界. 12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个 偶函数的乘积是奇函数. 13．设 f x( ) 为定义在 − + ( , ) 内的任何函数，证明 f x( ) 可分解成奇函数和偶函数之 和. 14．用肯定语气叙述：在 − + ( , ) 上 (1) f x( ) 不是奇函数； (2) f x( ) 不是单调上升函数； (3) f x( ) 无零点； (4) f x( ) 无上界. §2 复合函数与反函数 1． 设 ( ) 1 x f x x − = + ，求证 = f f x x ( ( )) . 2． 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 1 1 2 y x x x = ( + ) + ； (2) 1 2 x x y e e x − = ( − ) − + ； (3) 2 , 1, , 4, 2 , 4 . x x x y x x x − = + 3．设 f x( ) ， g x( ) 为实轴上单调函数，求证 f g x ( ( )) 也是实轴上的单调函数. 4．设 2 1, 0, , 0, ( ) ( ) , 0. , 0. x x x x f x g x x x x x − − = = − 求复合函数 f g x ( ( )) ， g f x ( ) ( ) . 5．设 2 ( ) x f x x = + ，求 n ( ) ( ) f f f x 次 . 6．设 + − − f x x x ( ) |1 | | | ＝ ，试求 n ( ) ( ) f f f x 次 . 7．设 1 f x( ) x = − ，求 f f x ( ( )) ， f f f x ( ( ( ))) ， 1 ( ) ( ) f f x . §3 初等函数
1.对下列函数分别讨论函数的定义域和值域,奇偶性,周期性,有界性,并作出函数 的图形: (1)y=|x (2)y=x-{x] (4)y=√x(2-x) (5) y=sinx: (6) y=lsin x|Icos 2.若已知函数y=f(x)的图形,作函数 y=f(x),y2=f(-x),y=-f(-x) 的图形,并说明y1,y2,y3的图形与y的图形的关系 3.若已知函数f(x),g(x)的图形,试作函数 =[f(x)+g(x)±f(x)-(x) 的图形,并说明y的图形与f(x)、g(x)图形的关系 4.作出下列函数的图形 y=xsin x y=sin 5.符号函数 试分别作出sgnx,sgn(2x),sgn(x-2)的图形 6.作出下列函数的图形: (1) y=sgn cosx: (2)y=x-2
1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数 的图形： (1) = y x| | ； (2) = − y x x[ ] ； (3) = y x tan | | ； (4) = − y x x (2 ) ； (5) 2 = y x sin ； (6) = + y x x sin cos . 2．若已知函数 = y f x( ) 的图形，作函数 1 = y f x( ) ， 2 = − y f x ( ) ， 3 = − − y f x ( ) 的图形，并说明 1 2 3 y y y 的图形与 y 的图形的关系. 3．若已知函数 f x g x ( ) , ( ) 的图形，试作函数 y f x g x f x g x [ ( ) ( ) ( ) ( ) = + − 的图形，并说明 y 的图形与 f x( ) 、 g x( ) 图形的关系. 4． 作出下列函数的图形： (1) = y x x sin ； (2) 1 y sin x = . 5．符号函数 0, 0 , 0, 1, 0, x y sgn x x x = = = − 试分别作出 sgn x ， ( sgn ) x ， − sgn( 2) x 的图形. 6．作出下列函数的图形： (1) = y sgn x cos ； (2) ] 2 2 x y x = −