第二十一章曲线积分与曲面积分 §1第一型曲线积分与曲面积分 1.对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质 2.计算下列第一型曲线积分 (1)(x2+y2)ds,其中L是以(o,0),(2,0),(0,1)为顶点三角形; ()JVx+yds,其中L是圆周x2+y2=ar (3)[xzs,其中L为螺线x= a cost,y= asin t,=b(0<a<b)0≤1≤2z (4)[(x2+y2+2)ds,其中L与(3)相同 J(x2+y5)d,其中L为内摆线x5+y2=a (Jya,其中L为摆线的一拱x=a(-sin)y=-s0s1≤2r 「xzd,其中L为球面x2+y2+=2=a2与平面x+y+=0的交线 (8)(x+y+x)ds,其中L同(7 (9),xzds,其中L是曲线x=1,yf1 t2(0≤t≤1) 了√2y+d,其中L是x2+y2+2=a2与x=y相交的圆周 3.计算下列第一型曲面积分: ()jx2+y),其中S是立体√x+y2:1的边界曲面 其中S为柱面x2+y2=R2被平面二=0和z=H所截取的部分 (3)j1xy=4△s,其中S为曲面z=x2+y2被二=1割下的部分 (4)J=2s,其中S为螺旋面的一部分: x=cosv,y= uSIny,z=v(0≤u≤a,0≤v≤2) (5)J(x2+y2)dS,S是球面x2+y2+2=R2 4.设曲线L的方程为 x=e'cost,y=e'sin,z=e(0≤t≤l0)
第二十一章 曲线积分与曲面积分 §1 第一型曲线积分与曲面积分 1．对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质． 2．计算下列第一型曲线积分： (1) 2 2 ( ) L x y ds + ，其中 L 是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形； (2) 2 2 L x y ds + ，其中 L 是圆周 2 2 x y ax + = ； (3) L xyzds ，其中 L 为螺线 x a t y a t = = cos , sin , (0 ),0 2 z bt a b t = ； (4) 2 2 2 ( ) L x y z ds + + ，其中 L 与(3)相同； (5) 4 4 3 3 ( ) L x y ds + ，其中 L 为内摆线 2 2 2 3 3 3 x y a + = ； (6) 2 L y ds ，其中 L 为摆线的一拱 x a t t y a t t = − = − ( sin ), (1 cos ),0 2 ； (7) L xyds ，其中 L 为球面 2 2 2 2 x y z a + + = 与平面 x y z + + = 0 的交线； (8) ( ) L xy yz zx ds + + ，其中 L 同(7)； (9) L xyzds ，其中 L 是曲线 2 1 3 2 , 2 , (0 1) 3 2 x t y t z t t = = = ； (10) 2 2 2 L y z ds + ，其中 L 是 2 2 2 2 x y z a + + = 与 x y = 相交的圆周． 3．计算下列第一型曲面积分： (1) 2 2 ( ) S x y dS + ，其中 S 是立体 2 2 x y z + 1 的边界曲面； (2) 2 2 S dS x y + ，其中 S 为柱面 2 2 2 x y R + = 被平面 z = 0 和 z H= 所截取的部分； (3) 3 2 | | S x y z dS ，其中 S 为曲面 2 2 z x y = + 被 z =1 割下的部分； (4) 2 S z dS ，其中 S 为螺旋面的一部分： x u v y u v z v = = = cos , sin , (0 ,0 2 ) u a v ； (5) 2 2 ( ) S x y dS + ， S 是球面 2 2 2 2 x y z R + + = ． 4．设曲线 L 的方程为 cos , sin , t t t x e t y e t z e = = = 0 (0 ) t t
它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比,且在点(1,0,1)处为1,求它的质量 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧x= rcos 6,y=rsin(0≤0≤m),其线密度 p=a0(a为常数),求它对原点(0,0)处质量为m的质点的引力 6.求螺线的一支L:x=acos1,y= asin,==7-1(0≤1≤2n)对x轴的转动惯量 2丌 1=「(y2+=2)ks.设此螺线的线密度是均匀的 7.求抛物面壳二=(x2+y2),0≤2≤1的质量.设此壳的密度p=z. 8.计算球面三角形x2+y2+z2=a2,x>0,y>0,z>0的围线的重心坐标,设线密 度p=1 9.求均匀球壳x2+y2+2=a2(≥0)对z轴的转动惯量 10.求均匀球面:=a-x-y2(x≥0,y≥0x+y≤a)的重心坐标 l.若曲线以极坐标给出:p=p(O)(1s0≤B),试给出计算∫(xy)d的公式 并用此公式计算下列曲线积分: ()Je”d,其中L是曲线p=a0≤0≤) (2)[xd,其中L是对数螺线p=ae(k>0)在圆r=a内的部分 12.求密度p=P0的截圆锥面x= rcos p,y= rsIn g,=r(0≤q≤2r,00时,结果如何 13.计算F()=f(x,y,=)dS,其中S是一平面x+y+=t,而 f(x,少1-~:当x2+y2+2s1, 当x2+y2+2>1 §2第二型曲线积分与曲面积分 1.计算下列第二型曲线积分: (1)(2a-y)d+c,其中L为摆线x=a(t-sint),y=a(1-cos1)(0≤t≤2)沿t
它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为 1，求它的质量． 5．设有一质量分布不均匀的半圆弧 x r y r = = cos , sin (0 ) ，其线密度 = a ( a 为常数)，求它对原点(0，0)处质量为 m 的质点的引力． 6．求螺线的一支 L ： cos , sin , (0 2 ) 2 h x a t y a t z t t = = = 对 x 轴的转动惯量 2 2 ( ) L I y z ds = + ．设此螺线的线密度是均匀的． 7．求抛物面壳 1 2 2 ( ) 2 z x y = + ，0 1 z 的质量．设此壳的密度 = z ． 8．计算球面三角形 2 2 2 2 x y z a + + = ， x y z 0, 0, 0 的围线的重心坐标．设线密 度 =1． 9．求均匀球壳 2 2 2 2 x y z a + + = ( 0) z 对 z 轴的转动惯量． 10．求均匀球面 2 2 2 z a x y = − − ( 0, 0, ) x y x y a + 的重心坐标． 11．若曲线以极坐标给出： = ( ) 1 2 ( ) ，试给出计算 ( , ) L f x y ds 的公式， 并用此公式计算下列曲线积分： (1) 2 2 x y L e ds + ，其中 L 是曲线 (0 ) 4 a = ； (2) L xds ，其中 L 是对数螺线 ( 0) k ae k = 在圆 r a = 内的部分． 12．求密度 = 0 的截圆锥面 x r y r z r b r a = = = cos , sin , (0 2 ,0 ) 对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当 b →0 时，结果如何？ 13．计算 ( ) ( , , ) S F t f x y z dS = ，其中 S 是一平面 x y z t + + = ，而 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1, ( , , ) 0, 1. x y z x y z f x y z x y z − − − + + = + + 当 当 . §2 第二型曲线积分与曲面积分 1．计算下列第二型曲线积分： (1) (2 ) L a y dx dy − + ，其中 L 为摆线 x a t t y a t t = − = − ( sin ), (1 cos ),(0 2 ) 沿 t
增加的方向 x+y,其中L为圆周x2+y2=a2依逆时针方向 (3)「xd+yz+zd,其中L为从(11)到(2,3.4)的直线段 (4(2-20)+(y2-29),L为y=x2从(1到(1) (5)Jyx-xb+(x2+y2),L为曲线x=e,y=e1,=at从(11)到ee1,a) 6J(x2+y)+(x2-y2),L为以4(0)B20.C(2,1,D1)为顶点的正方 形沿逆时针方向 2.计算曲线积分 「(2-2)k+(2-x)h+(x2-y) (1)L为球面三角形x2+y2+z2=1,x≥0,y≥0,z≥0的边界线,从球的外测看去, L的方向为逆时针方向 (2)L是球面x2+y2+2=a2和柱面x2+y2=ax(a>0)的交线位于Oxy平面上方 的部分,从x轴上(b,0,0)(b>a)点看去,L是顺时针方向 3.求闭曲线L上的第二型曲线积分 ydx-xdy x +3 (1)L为圆x2+y2=a2,逆时针方向 (2)L为椭圆+=1,顺时针方向: (3)L为以(0,0)为中心,边长为a,对边平行于坐标轴的正方形,顺时针方向 (4)L是以(-1,-1),(1,-1),(0,1)为顶点的三角形,顺时针方向 4.求力场F对运动的单位质点所作的功,此质点沿曲线L从A点运动到B点: (1)F=(x-2x2,y-2x2y),L为平面曲线y=x2,A(0,0),B(1,1) (2)F=(x+y,xy),L为平面曲线y=1-|1-x|,A(0,0),B(2,O); (3)F=(x-y,y-x,z-x),L的矢量形式为r()=1+t2j+tk,A0,0,0),B(1,1,1) (4)F=(y2,z2,x2),L的参数式为x= a cos t,y= Bint,z=yt(a,B,y为正数), A(a,0,0),B(a,0,2m)
增加的方向； (2) 2 2 L xdx ydy ds x y − + + ，其中 L 为圆周 2 2 2 x y a + = 依逆时针方向； (3) L xdx ydy zdz + + ，其中 L 为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段； (4) 2 2 ( 2 ) ( 2 ) L x xy dx y xy dy − + − ， L 为 2 y x = 从(1,1)到(-1,1)； (5) 2 2 ( ) L ydx xdy x y dz − + + ， L 为曲线 , , t t x e y e z at − = = = 从(1,1,0)到 1 ( , , ) e e a − ； (6) 2 2 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + + − ， L 为以 A B C D (1,0), (2,0), (2,1), (1,1) 为顶点的正方 形沿逆时针方向． 2．计算曲线积分 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) L y z dx z x dy x y dz − + − + − ． (1) L 为球面三角形 2 2 2 x y z + + =1， x y z 0, 0, 0 的边界线，从球的外测看去， L 的方向为逆时针方向； (2) L 是球面 2 2 2 2 x y z a + + = 和柱面 2 2 x y ax + = ( 0) a 的交线位于 Oxy 平面上方 的部分，从 x 轴上 ( ,0,0) b ( ) b a 点看去， L 是顺时针方向． 3．求闭曲线 L 上的第二型曲线积分 2 2 L ydx xdy x y − + ， (1) L 为圆 2 2 2 x y a + = ，逆时针方向； (2) L 为椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = ，顺时针方向； (3) L 为以(0,0)为中心，边长为 a ，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向； (4) L 是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)为顶点的三角形，顺时针方向． 4．求力场 F 对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线 L 从 A 点运动到 B 点： (1) 2 2 F x xy y x y = − − ( 2 , 2 ) ， L 为平面曲线 2 y x = ， A B (0,0), (1,1) ； (2) F x y xy = + ( , ) ， L 为平面曲线 y x = − − 1 |1 |， A B (0,0), (2,0) ； (3) F x y y z z x = − − − ( , , ) ，L 的矢量形式为 2 3 r t ti t j t k ( ) = + + ，A B (0,0,0), (1,1,1) ； (4) 2 2 2 F y z x = ( , , ) ， L 的参数式为 x t y t z t = = = cos , sin , （ , , 为正数）， A B ( ,0,0), ( ,0,2 ) ．
5.设P,Q,R在L上连续,L为光滑弧段,弧长为l,证明 j Pax+@dy +Rd=k Mi 其中M=max +O2+R 6.设光滑闭曲线L在光滑曲面S上,S的方程为z=f(x,y),曲线L在Oxy平面上的 投影曲线为,函数P(x,y,=)在L上连续,证明 重P(x,y)x=P(x,y,(xy) 么像公止,其中L:x2+y2+2=1与y=相交的圆,其方向按曲线依次 7.计算Ⅰ=「x 经过1,2,7,8卦阳 8.计算下列第二型曲面积分 ()Jy(x-0+xdk+(y2+x-)ady,其中S为x=y==0,x=y==a 六个平面所围的正立方体的外测 (2)J(x+y)d+(y+)ddk+(=+x)d,其中S是以原点为中心,边长为2的 正立方体表面的外测 (3)yatr,S为+2+=1的上半部分的上测 (4)d+xd+yd,S为柱面x2+y2=1被平面二=0及二=3所截部分的 外测 (5)∫gh+ydtd+xtoh,S是由平面x=y=2=0和x+y+=1所围的四 面体表面的外测; Jx+yddk+=doy,S为球面x2+y2+x2=a2的外测 (x+ydd+=2dd,S是球面(x-a)2+(y-b)2+(=-c)3=R2的外测 9.设某流体的流速为v=(k,y,0),求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球 面的流量 10.设流体的流速为v=(x3,0,=3x),求穿过柱面x2+y2=a2(-h≤z≤h)外测的流
5．设 P Q R , , 在 L 上连续， L 为光滑弧段，弧长为 l ，证明： | | L Pdx Qdy Rdz Ml + + ． 其中 2 2 2 ( , , ) max x y z L M P Q R = + + ． 6．设光滑闭曲线 L 在光滑曲面 S 上， S 的方程为 z f x y = ( , ) ，曲线 L 在 Oxy 平面上的 投影曲线为 l ，函数 P x y z ( , , ) 在 L 上连续，证明： ( , , ) ( , , ( , )) L l P x y z dx P x y f x y dx = ． 7．计算 L I xyzdz = ，其中 L ： 2 2 2 x y z + + =1 与 y z = 相交的圆，其方向按曲线依次 经过 1,2,7,8 卦限． 8．计算下列第二型曲面积分： (1) 2 2 ( ) ( ) S y x z dydz x dzdx y xz dxdy − + + + ，其中 S 为 x y z = = = 0，x y z a = = = 六个平面所围的正立方体的外测； (2) ( ) ( ) ( ) S x y dydz y z dzdx z x dxdy + + + + + ，其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的 正立方体表面的外测； (3) S yzdzdx ， S 为 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 的上半部分的上测； (4) S zdxdy xdydz ydzdx + + ， S 为柱面 2 2 x y + =1 被平面 z = 0 及 z = 3 所截部分的 外测； (5) S xydydz yzdzdx xzdxdy + + ， S 是由平面 x y z = = = 0 和 x y z + + =1 所围的四 面体表面的外测； (6) 3 3 3 S x dydz y dzdx z dxdy + + ， S 为球面 2 2 2 2 x y z a + + = 的外测； (7) 2 2 2 S x dydz y dzdx z dxdy + + ，S 是球面 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x a y b z c R − + − + − = 的外测． 9．设某流体的流速为 v k y = ( , ,0) ，求单位时间内从球面 2 2 2 x y z + + = 4 的内部流过球 面的流量． 10．设流体的流速为 5 5 ( ,0, )x v xy z x = ，求穿过柱面 2 2 2 x y a h z h + = − ( ) 外测的流 量．