第二十章重积分 §1重积分的概念 1.证明性质(4),性质(6). 2.证明有界闭区域上的连续函数必可积 3.设是可度量的平面图形或空间立体,∫,g在Ω上连续,证明 ()若在9上f(P)2≥0,且(P)不恒等于0,则f(P)d>0 (2)若在Ω的任何部分区域gcΩ上,有 f(P)dQ=.g(P)dQ2 则在Ω2上有∫(P)≡g(P) 4.设∫(x)在[ab可积,g(y)在cd可积,则f(x)g(y)在矩形区域D=[ab]×[c,d] 上可积,且 f(x)g()dxdy=f(x)[g()dy 5.若f(xy)在D上可积,那么f(x,y)在D上是否可积?考察函数 f(xp-I 若x,y是有理数, -1,若x,y至少有一个是无理数, 在0,1×[0,1上的积分 6.设D=[0x[Q ∫1x是有理数, f(x,y)=10.x是无理数, 证明∫(x,y)在D上不可积 §2重积分化累次积分
第二十章 重积分 §1 重积分的概念 1．证明性质（4），性质（6）． 2．证明有界闭区域上的连续函数必可积． 3．设 是可度量的平面图形或空间立体， f g, 在 上连续，证明： (1) 若在 上 f P( ) 0，且 f P( ) 不恒等于 0，则 f P d ( ) 0 ； (2) 若在 的任何部分区域 ' 上，有 ' ' f P d g P d ( ) ( ) = ， 则在 上有 f P g P ( ) ( ) ． 4．设 f x( ) 在[a,b]可积， g y( ) 在[c,d]可积，则 f x g y ( ) ( ) 在矩形区域 D ＝[a,b]×[c,d] 上可积，且 ( ) ( ) ( ) ( ) b d a c D f x g y dxdy f x dx g y dy = ． 5．若 f x y ( , ) 在 D 上可积，那么 f x y ( , ) 在 D 上是否可积？考察函数 1, ( , ) 1, x y f x y x y = − 若 ， 是有理数, 若 ， 至少有一个是无理数, 在[0,1]×[0,1]上的积分． 6．设 D = 0,1 0,1 ， 1, ( , ) 0, x f x y x = 是有理数， 是无理数， 证明 f x y ( , ) 在 D 上不可积． §2 重积分化累次积分
1.计算下列二重积分: ()(y-2x)d,D=[35[2 )jfo+y,D号小 (3)eye"+ dxdy, D=[a,b]x[c, d] 1+ dd,D=[]([o 2.将二重积分f(xydh化为不同顺序的累次积分 (1)D由x轴与x2+y2=r2(y>0)所围成 (2)D由y=x,x=2及y=-(x>0)所围成 (3)D由y=x3,y=2x,y=1和y=2围成 (4)D={(x,y)+s 3.改变下列累次积分的次序 (1)d[2f(x,y)x (2). dxf(x, y)dy 3)4(xy)+”(xy 4.设∫(x,y)在所积分的区域D上连续,证明 dx f(x, y)dy= dy f(x,y)dx 5.计算下列二重积分: ()』 x"y'dxdy(mk>0)D是由y=2p(p>0)x=2围成的区域: (2)』xodD是由y=0y=sinx,x=0和x=√z围成的区域 ∫ydD: (』dodD:x2+y2a2 (5)∫(x+y)odD由y=C,y=1x=0.x=1所围成
1． 计算下列二重积分： (1) ( 2 ) D y x dxdy − ， D = 3,5 1,2 ； (2) cos( ) D x y dxdy + ， 0, 0, 2 D = ； (3) 2 2 x y D xye dxdy + ， D a b c d = , , ； (4) 1 D x dxdy + xy ， D = 0,1 0,1 ． 2． 将二重积分 ( , ) D f x y dxdy 化为不同顺序的累次积分： (1) D 由 x 轴与 2 2 2 x y r y + = ( 0) 所围成； (2) D 由 y x x = = , 2 及 1 y x( 0) x = 所围成； (3) D 由 3 3 y x y x y = = = , 2 , 1 和 y = 2 围成； (4) D x y x y = + ( , ) 1 ． 3． 改变下列累次积分的次序： (1) 2 2 3 0 ( , ) y y dy f x y dx ； (2) 2 2 1 ( , ) x dx f x y dy ； (3) 2 1 1 3 (3 ) 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy − + ． 4． 设 f x y ( , ) 在所积分的区域 D 上连续，证明 ( , ) ( , ) b x b b a a a y dx f x y dy dy f x y dx = ． 5． 计算下列二重积分： (1) m k D x y dxdy ( m k, 0 ), D 是由 2 2 ( 0), 2 p y px p x = = 围成的区域； (2) , D xdxdy D 是由 2 y y x x = = = 0, sin , 0 和 x = 围成的区域； (3) , D xdxdy D ： 2 2 x y x + ； (4) , D xy dxdy D ： 2 2 2 x y a + ； (5) ( ) , D x y dxdy D + 由 , 1, 0, 1 x y e y x x = = = = 所围成；
(6) Jx2ydxdy,D由x=y,x=0x=2,y=2+x所围成 (7)‖lea,D是以(2,2)(2,3)和(3,1)为顶点的三角形 (s) sin nxdxdy, D由y=x2,y=4x和y=4所围成 6.求下列二重积分: ()/=「∫d (2)I=dxl xe dy: (3)I=2 7.设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分D1和D2,证明: (1)若∫(x,y)关于x为奇函数,即f(-x,y)=-f(x,y),则 f(x, y)dxdy=0 (2)若∫(x,y)关于x为偶函数,即f(-x,y)=f(x,y),则 f(x, y)dxdy=2 f(x, y)dxdy=2f(x, y)dxdy 8.计算下列三重积分: (1)‖(x+y+) dxdydz,V:x2+y2+2≤a (2)川zxd,V由曲面z=x2+y2,2=1,z=2所围成 (3)「「(1+x)ddh,V由曲面x2=2+y2,x=2,x=4所围成: (4)「xy=ad,V是由曲面x2+y2+2=1x=0,y=0,z=0围成的位于第 一卦限的有界区域: (5)|xy2z2dxdh,V由曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成 (6)「 ncos(x+)ddb,V是由y=√k,y=0=2=0及x+=x所围成的区 9.改变下列累次积分的次序: (1)axd。f(x,y,-)d
(6) 2 2 , D x y dxdy D 由 2 x y x x y x = = = = + , 0, 2, 2 所围成； (7) , x y D e dxdy D + 是以 (2, 2),(2,3) 和 (3,1) 为顶点的三角形； (8) sin , D nxdxdy D 由 2 y x y x = = , 4 和 y = 4 所围成． 6． 求下列二重积分： (1) 1 1 2 0 y x I dx e dy − = ； (2) 1 1 2 2 0 y x I dx x e dy − = ； (3) 2 2 2 2 0 sin y I dy y x dx = ． 7． 设 y 轴将平面有界区域 D 分成对称的两部分 D1 和 D2 ，证明： (1) 若 f x y ( , ) 关于 x 为奇函数，即 f x y f x y ( , ) ( , ) − = − ，则 ( , ) 0 D f x y dxdy = ； (2) 若 f x y ( , ) 关于 x 为偶函数，即 f x y f x y ( , ) ( , ) − = ，则 1 2 ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy = = ． 8． 计算下列三重积分： (1) ( ) , V x y z dxdydz + + V ： 2 2 2 2 x y z a + + ； (2) , V zdxdydz V 由曲面 2 2 z x y z z = + = = , 1, 2 所围成； (3) 4 (1 ) , V + x dxdydz V 由曲面 2 2 2 x z y x x = + = = , 2, 4 所围成； (4) 3 , V x yzdxdydz V 是由曲面 2 2 2 x y z x y z + + = = = = 1, 0, 0, 0 围成的位于第 一卦限的有界区域； (5) 2 3 , V xy z dxdydz V 由曲面 z xy y x z x = = = = , , 0, 1 所围成； (6) cos( ) , V y x z dxdydz + V 是由 y x y z = = = , 0, 0 及 2 x z + = 所围成的区 域． 9． 改变下列累次积分的次序： (1) 1 1 0 0 0 ( , , ) x x y dx dy f x y z dz − + ；
(2).drl dy f(x,y,=)dz (3)f∫d”(xy:k 4 dardy f(x, y, a)dz 10.求下列立体之体积: (1)V由x2+y2+2≤r2,x2+y2+z2≤2rz所确定 (2)V由z≥x2+y2,y≥x2,z≤2所确定 (3)V是由坐标平面及x=2,y=3,x+y+z=4所围成的角柱体 §3重积分的变量代换 用极坐标变换将‖f(x,y)tdy化为累次积分: (1)D:半圆x2+y2≤a2,y≥0 (2)D:半环a≤ ≤b2x≥0 (4)D:正方形0≤x≤a,0≤y≤a 2.用极坐标变换计算下列二重积分 )jsny2+ydod,D:z2≤x2+y2≤4z2 (2)(x+y)dd,D是圆x2+y2≤x+y的内部 (3)(x2+y)t,D由双组线(x2+y2)2=a2(x2-y2)(x≥0)围成 (4)|xdd,D由阿基米德螺线r=和半射线b=x围成 (5)xaz,D由对数螺线r=e°和半射线O=0,0=围成 3.在下列积分中引入新变量u,v,将它们化为累次积分:
(2) 2 2 1 1 0 0 0 ( , , ) x y dx dy f x y z dz + ； (3) 2 1 0 1 0 1 ( , , ) x y dx dy f x y z dz − − ； (4) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , , ) x x x y dx dy f x y z dz − − − − + ． 10．求下列立体之体积： (1) V 由 2 2 2 2 2 2 2 x y z r x y z rz + + + + , 2 所确定； (2) V 由 2 2 2 z x y y x z + , , 2 所确定； (3) V 是由坐标平面及 x y x y z = = + + = 2, 3, 4 所围成的角柱体． §3 重积分的变量代换 1． 用极坐标变换将 ( , ) D f x y dxdy 化为累次积分： (1) D ：半圆 2 2 2 x y a y + , 0 ； (2) D ：半环 2 2 2 2 a x y b x + , 0 ； (3) D ：圆 2 2 x y ay + ( 0) a ； (4) D ：正方形 0 ,0 x a y a ． 2． 用极坐标变换计算下列二重积分： (1) 2 2 sin , D x y dxdy + D ： 2 2 2 2 + x y 4 ； (2) ( ) , D x y dxdy + D 是圆 2 2 x y x y + + 的内部； (3) 2 2 ( ) , D x y dxdy + D 由双纽线 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( 0) x y a x y x + = − 围成； (4) , D xdxdy D 由阿基米德螺线 r = 和半射线 = 围成； (5) , D xydxdy D 由对数螺线 r e = 和半射线 0, 2 = = 围成． 3． 在下列积分中引入新变量 u v, ，将它们化为累次积分：
(1)dx. f(x, y)dy, *u=x+y,v=x-y ∫d(xy)(00),若 4.作适当的变量代换,求下列积分 ()(x2+y2)b,D是由x+y2=1围成的区域 (2)(x+y)d,D由y=4x2,y=9x2x=4y,x=9y2围成: (3)‖xahd,D由xy=2,xy=4,y=x,y=2x围成 5.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积: (1)=xy,x+y= x2+y2,z=0,x2+y2=R (3)球面x2+y2+22=a2与圆柱面x2+y2=ax(a>0)的公共部分 (二>0) 49 (6) xty 6.求曲线一+ 所围成的面积 7.用柱坐标变换计算下列三重积分 ()J(x2+y2) ddds,由曲面z=x2+y2=4,=16围成: )j(2+y)d,由曲面x+y=9x+y2=12=x2+y:20 围成 8.用球坐标变换计算下列三重积分:
(1) 2 2 0 1 ( , ) , x x dx f x y dy − − 若 u x y v x y = + = − , ； (2) ( , ) b x a x dx f x y dy ( 0 ,0 a b )，若 , y u x v x = = ； (3) ( , ) D f x y dxdy ，其中 D ＝ ( x y x y a x y , , 0, 0 ) + ， 若 4 4 x u v y u v = = cos , sin ； (4) ( , ) D f x y dxdy ，其中 D ＝ ( x y x y a x y , , 0, 0 ) + ( a 0 ) ， 若 x y u y uv + = = , ． 4． 作适当的变量代换，求下列积分： (1) 2 2 ( ) , D x y dxdy + D 是由 4 4 x y + =1 围成的区域； (2) ( ) , D x y dxdy + D 由 2 2 2 2 y x y x x y x y = = = = 4 , 9 , 4 , 9 围成； (3) , D xydxdy D 由 xy xy y x y x = = = = 2, 4, , 2 围成． 5． 利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积： (1) 2 2 2 z xy x y a z = + = = , , 0 ； (2) 2 2 2 2 2 , 0, h z x y z x y R R = + = + = ； (3) 球面 2 2 2 2 x y z a + + = 与圆柱面 2 2 x y ax + = （ a 0 ）的公共部分； (4) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, x y z x y z a b c a b c + + = + = ( z 0 )； (5) 2 2 2 2 2 , 2 4 9 4 9 x y x y z z = + = + ； (6) 2 2 z x y z x y = + = + , ． 6． 求曲线 2 2 2 2 2 2 x y xy a b c + = 所围成的面积． 7． 用柱坐标变换计算下列三重积分： (1) 2 2 2 ( ) V x y dxdydz + ，V 由曲面 2 2 z x y z z = + = = , 4, 16 围成； (2) ( ) 3 2 2 V x y dxdydz + , V 由曲面 2 2 2 2 2 2 2 x y x y z x y z + = + = = + 9, 16, , 0 围成． 8． 用球坐标变换计算下列三重积分：
1)ex+y+=)dxdyd, V: x2+y2+220,00)围成 (4) ddd,V由++-=1围成 6)7 10.求下列各曲面所围立体之体积: (1)z=x2+y2,z=2(x2+y2),y=x,y=x2: =1(x≥0,y≥0,=≥0,a>0,b>0,c>0 §4曲面面积 1.求下列曲面的面积 (1)z=axy包含在圆柱x2+y2=a2内的部分 (2)锥面x2+y2=2与平面x+y+z=2a(a>0)所界部分的表面 (3)锥面z=√F2+y2被柱面x2=2x所截部分
(1) ( ) , V x y z dxdydz + + V ： 2 2 2 2 x y z + + R ； (2) ( ) 5 2 2 2 V x y z dxdydz + + , V 由 2 2 2 x y z z + + = 2 围成； (3) 2 V x dxdydz ，V 由 2 2 2 2 2 2 x y z x y z + = + + = , 8 围成． 9． 作适当的变量代换，求下列三重积分： (1) 2 2 V x y zdxdydz ，V 由 2 2 2 2 , , , , , x y x y z z xy c xy d y x y x a b + + = = = = = = 围成的立体，其中 0 ,0 a b ； (2) 2 V x yzdxdydz ，V 同(1)； (3) 4 V y dxdydz ， V 由 2 2 x az x bz = = , ( z a b 0,0 ) ， x y x y = = , ( 0 )以及 x h = ( 0) 围成； (4) 2 2 2 2 2 2 x y z a b c V e dxdydz + + ，V 由 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 围成； (5) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 x x y x y dx dy z dz − − − + ． 10．求下列各曲面所围立体之体积： (1) 2 2 2 2 2 z x y z x y y x y x = + = + = = , 2( ), , ； (2) 2 2 1 x y z a b c + + = ( x y z a b c 0, 0, 0, 0, 0, 0 )． §4 曲面面积 1． 求下列曲面的面积： (1) z axy = 包含在圆柱 2 2 2 x y a + = 内的部分； (2) 锥面 2 2 2 1 3 x y z + = 与平面 x y z a + + = 2 ( a 0 )所界部分的表面； (3) 锥面 2 2 z x y = + 被柱面 2 z x = 2 所截部分；
(4)曲面二=√2x被平面x+y=1,x=1及y=1所截下的部分 螺旋面x= rcos gp,y= rsin gp,z=hq(00)所界的薄板 2.求下列密度均匀的物体的质心 (1)=≤1-x ≥0 (2)由坐标面及平面x+2y-=1所围成的四面体 (3)二=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,==0围成的立体; (4)2=x2+y2(≥0)和平面=h围成的立体 (5)半球壳a2≤x2+y2+2≤b2,z≥0 3.求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量: (1)边长为a和b,且夹角为q的平行四边形,关于底边b的转动惯量 (2)y=x2,y=1所围平面图形关于直线y=-1的转动惯量 4.求由下列曲面所界均匀体的转动惯量 (1)z=x2+y2,x+y=±1,x-y=±1,z=0关于z轴的转动惯量
(4) 曲面 z xy = 2 被平面 x y x + = = 1, 1 及 y = 1 所截下的部分． 2． 螺旋面 x r y r z h r a = = = cos , sin , (0 ,0 2 ) 的面积． 3． 求环面 x b a y b a z a = + = + = ( cos )cos , ( cos )sin , sin ( 0 a b )被两 条经线 1 2 = = , 和两条纬线 1 2 = = , 所围成部分的面积，并求出整个环面的面 积． §5 重积分的物理应用 1． 求下列均匀密度的平面薄板的质心： (1) 半椭圆 2 2 2 2 1, 0 x y y a b + ； (2) 高为 h ，底分别为 a 和 b 的等腰梯形； (3) r a = + (1 cos )(0 ) 所界的薄板； (4) 2 ay x x y a a = + = , 2 ( 0) 所界的薄板． 2． 求下列密度均匀的物体的质心： (1) 2 2 z x y z − − 1 , 0 ； (2) 由坐标面及平面 x y z + − = 2 1 所围成的四面体； (3) 2 2 z x y x y a x y z = + + = = = = , , 0, 0, 0 围成的立体； (4) 2 2 2 z x y z = + ( 0) 和平面 z h = 围成的立体； (5) 半球壳 2 2 2 2 2 a x y z b z + + , 0 ． 3． 求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量： (1) 边长为 a 和 b ，且夹角为 的平行四边形，关于底边 b 的转动惯量； (2) 2 y x y = = , 1 所围平面图形关于直线 y =−1 的转动惯量． 4． 求由下列曲面所界均匀体的转动惯量： (1) 2 2 z x y x y x y z = + + = − = = , 1, 1, 0 关于 z 轴的转动惯量；
(2)长方体关于它的一棱的转动惯量 (3)圆筒a2≤x2+y2≤b2,-h≤二≤h关于x轴和z轴的转动惯量 5.设球体x2+y2+2≤2x上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这球的质量 6.求均匀薄片x2+y2≤R2,z=0对z轴上一点(0,0,cc>0)处单位质点的引力 7.求均匀柱体x2+y2≤a2,0≤z≤h对于(0,0,c)(c>h)处单位质点的引力
(2) 长方体关于它的一棱的转动惯量； (3) 圆筒 2 2 2 2 a x y b + ， − h z h 关于 x 轴和 z 轴的转动惯量． 5． 设球体 2 2 2 x y z x + + 2 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量． 6． 求均匀薄片 2 2 2 x y z + = R , 0 对 z 轴上一点(0，0，c )( c >0)处单位质点的引力． 7． 求均匀柱体 2 2 2 x y a z h + , 0 对于(0，0，c ) ( c > h )处单位质点的引力．