第十一章广义积分 §1无穷限广义积分 1.求下列无穷积分的值: d x dx(a>0); (4) e"sin bxdx(a>0 (5) dx (P,q>0) (x2+p)(x2+q 2.讨论下列积分的收敛性 斗x4+1 x arctan 1+x sin x I d 1+x2 sin 2 x dx(n,m>0); x dx x+-x2+1
第十一章 广义积分 §1 无穷限广义积分 1．求下列无穷积分的值: (1) 2 2 1 ; 1 dx x + − (2) 2 1 ; (1 ) dx x x + + (3) 2 0 ax xe dx + − ( 0); a (4) 0 sin ax e bxdx + − ( 0); a (5) 2 0 ; 1 x dx x + + (6) 2 2 0 ( )( ) dx x p x q + + + ( , 0). p q 2．讨论下列积分的收敛性: (1) 0 3 4 ; 1 dx x + + (2) 3 1 arctan ; 1 x x dx x + + (3) 2 1 1 sin ; dx x + (4) 0 ; 1 | sin | dx x x + + (5) 2 2 0 ; 1 sin x dx x x + + (6) 0 1 m n x dx x + + ( , 0); n m (7) 2 4 2 0 ; 1 x dx x x + − + (8) 1 3 2 ; 1 dx x x + +
(9)xe-dtr,(p≥0) (10 1)g2a(是正整数 (12) cos ax (14)[n(1+-)-,]d (15) In(cos-+sin -)d (16) n(1 3.讨论下列无穷积分的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛) cOs x cos x CoS x x+100 ≠ InIn xsinxdx 4.设x)x)5g(x)ax<+2(x)在任意有限区间,4可积又”f(x)dx 和厂g(x)k收敛求证。h(xk收敛 5.证明定理112,并举例说明其逆是不成立的 6.若f(x)在[a+∞)上单调下降且积分f(x)t收敛求证:1mxf(x)=0 7.设f(x)在[Q+∞)上一致连续并且积分f(x)x收敛证明imf(x)=0.如果 仅仅知道积分「。f(x)d收敛,以及f(x)在[a,+∞)连续,f(x)≥0,是否仍有 lim f(x)=0?
(9) 0 ; p x x e dx + − ( 0); p (10) 1 ln ; p x dx x + (11) 2 1 lnn x dx x + ( ); n是正整数 (12) 2 0 sin ; x dx x + (13) 0 cos ; 1 n ax dx x + + (14) 1 1 1 [ln(1 ) ] ; 1 dx x x + + − + (15) 1 1 1 ln(cos sin ) ; dx x x + + (16) 2 1 2 0 1 sin ln(1 ) . 2 x dx x + − − 3．讨论下列无穷积分的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛): (1) 2 1 cos ; x dx x + (2) 1 cos ; x dx x + (3) 1 cos ; p x dx x + (4) 0 cos ; 100 x x dx x + + (5) 2 ln ln sin . ln x xdx x + 4．设 f x h x g x a x h x ( ) ( ) ( ), , ( ) + 在任意有限区间 [ , ] a A 可积,又 ( ) a f x dx + 和 ( ) a g x dx + 收敛,求证 ( ) a h x dx + 收敛. 5．证明定理 11.2,并举例说明其逆是不成立的. 6．若 f x( ) 在 [ , ) a + 上单调下降,且积分 ( ) a f x dx + 收敛,求证: lim ( ) 0. x xf x →+ = 7．设 f x( ) 在 [0, ) + 上一致连续,并且积分 0 f x dx ( ) + 收敛,证明 lim ( ) 0 x f x →+ = .如果 仅 仅 知 道 积 分 0 f x dx ( ) + 收 敛 , 以 及 f x( ) 在 [ , ) a + 连 续 , f x( ) 0 , 是 否 仍 有 lim ( ) 0 x f x →+ = ?
8.设。f(x)与f(x收敛求证 9.设∫(x)单调下降趋于零,∫(x)在[O,+∞)连续求证 f'(x)sin xdx 收敛 0.设f(x)和g(x)是定义在[a,+∞)上的函数,且在任何有限区间[a,上可积证明: 若∫f(x)与”g(x收敛则”[(x)+g(x与「(x)g(x)也收敛 1l.证明:(1)设f(x)在[0,+∞)连续,且limf(x)=k,则 f(ax-f(bx) dx=[f(0)-k]ln-(b>a>0) ()若上述条件mf()=k改为厂 ∞f(x) dx存在(a>0),则 f(ax)-f(bx) f(0)ln-(b>a>0) §2瑕积分 1.下列积分是否收敛?若收敛求其值 (2) In xd 2.讨论下列积分的收敛性 I sin x 2(1 dx
8．设 ( ) a f x dx + 与 '( ) a f x dx + 收敛,求证: lim ( ) 0 x f x →+ = . 9．设 f x( ) 单调下降趋于零, f x'( ) 在 [0, ) + 连续.求证: 2 0 f x xdx '( )sin + 收敛. 10．设 f x( ) 和 g x( ) 是定义在 [ , ) a + 上的函数,且在任何有限区间 [ , ] a A 上可积,证明: 若 2 ( ) a f x dx + 与 2 ( ) a g x dx + 收敛,则 2 [ ( ) ( )] a f x g x dx + + 与 ( ) ( ) a f x g x dx + 也收敛. 11．证明: (1) 设 f x( ) 在 [0, ) + 连续,且 lim ( ) x f x k →+ = ,则 0 ( ) ( ) [ (0) ]ln f ax f bx b dx f k x a + − = − ( 0). b a (2) 若上述条件 lim ( ) x f x k →+ = 改为 ( ) a f x dx x + 存在 ( 0) a ,则 0 ( ) ( ) (0)ln f ax f bx b dx f x a + − = ( 0). b a §2 瑕积分 1．下列积分是否收敛?若收敛求其值. (1) 1 2 0 cot ; xdx (2) 1 0 ln : xdx (3) 0 ; a dx a x − (4) 1 0 . 1 x dx − x 2．讨论下列积分的收敛性: (1) 1 3 0 2 sin ; x dx x (2) 1 0 3 2 ; (1 ) dx x x − (3) 1 2 0 ln ; 1 x dx − x
sin xcos2 x (5)JIInxpdx 1-cosx (8) In x (9)x In xdx P-1_ (11) tan xdx (12)2 cos x In sin xdx 3.判别收敛性 ()/oo(arctan x)% (5) d x(x-1)2(x-2) (8)eIn|xIx 4.讨论下列积分的收敛性与绝对收敛性 sInx
(4) 2 2 2 0 ; sin cos dx x x (5) 1 0 | ln | ; p x dx (6) 2 0 1 cos ; m x dx x − (7) 1 0 ; ln dx x (8) 0 ; sin dx x (9) 1 0 x xdx ln ; (10) 1 1 1 0 ; ln p q x x dx x − − − (11) 2 0 tan ; xdx (12) 2 0 cos ln sin . x xdx 3．判别收敛性: (1) 1 2 1 1 ln(1 ) ; dx x + − − (2) 1 0 ; p x x e dx + − − (3) 0 (arctan ) ; q p x dx x + (4) 0 ln(1 ) ; p x dx x + + (5) 1 ; ln p q dx x x + (6) 0 ; p q dx x x + + (7) 0 3 2 ; ( 1) ( 2) dx x x x + − − (8) 0 ln | | . x e x dx − 4．讨论下列积分的收敛性与绝对收敛性: (1) 2 0 sin ; x dx +
d + x dx(q≥0) sin(x+-) dh 5.计算下列瑕积分的值 (1)(nx)a 6.证明积分A=2lm(sinx)dx收敛并求其值 7.利用上题结果,证明 (1)OIn(sine)de=--In 2 esin e d0=2T In 2 l-cos日 (3)2sin20In(sin 0 )de=6-In 2) I In(1+x) dx=-In 2 8.证明不等式 e dx<1+
(2) 0 sin ; p q x dx x + (3) 0 sin 1 p q x x dx x + + ( 0); q (4) 0 1 sin( ) . n x x dx x + + 5．计算下列瑕积分的值: (1) 1 0 (ln ) ; n x dx (2) 1 0 . 1 n x dx − x 6．证明积分 2 0 A x dx ln(sin ) = 收敛,并求其值. 7．利用上题结果，证明: (1) 2 0 ln(sin ) ln 2; 2 d − = (2) 0 sin 2 ln 2; 1 cos d = − (3) 2 2 0 1 sin ln(sin ) ( ln 2); 4 2 d = − (4) 1 2 0 ln(1 ) ln 2. 1 8 x dx x + = + 8．证明不等式: (1) 2 0 1 1 1 (1 ) 1 ; 2 2 x e dx e e + − − + (2) 1 0 4 . 2 2 1 2 dx x −
