第六章微分中值定理及其应用 习题 §1拉格朗日定理和函数的单调性 1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点5,使∫(2)=0: (1)f(x)= xSn-0O。 6、确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=3x-x2 (2)f(x)=2x2-hx; (3)f(x)=y2x (4)f(x)= 7、应用函数的单调性证明下列不等式 (1)tanx>x-,x∈(0,) (2)一<snx<x,x∈(0,) (3)x--<l(1+x)<x 2(1+x)
1 第六章 微分中值定理及其应用 习题 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点 ，使 f ( ) = 0 ： （1） = = 0, 0; , 1 ,0 1 sin ( ) x x x x f x （2）f（x）=|x|，-1≤x≤1。 2、证明：（1）方程 3 0 3 x − x + c = （这里 c 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不 同的实根； （2）方程 x + px + q = 0 n （n 为正整数，p、q 为实数）当 n 为偶数时至多有两个实 根；当 n 为奇数时至多有三个实根。 3、证明定理 6、2 推论 2。 4、证明（1）若函数 f 在[a，b]上可导，且 f (x) m ，则 f（b）≥f（a）+ m（b - a）； （2）若函数 f 在[a，b]上可导，且 | f (x) | M ，则 |f（b）- f（a）|≤M（b-a）； （3）对任意实数 1 x ， 2 x ，都有 |sin sin | | | 1 2 2 1 x − x x − x 。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） a b a a b b b a − − ln ，其中 00。 6、确定下列函数的单调区间： （1）f（x）= 2 3x − x ； （2）f（x）= 2x ln x 2 − ； （3）f（x）= 2 2x − x ； （4）f（x）= x x 1 2 − 。 7、应用函数的单调性证明下列不等式： （1） ) 3 , (0, 3 tan 3 − x x x x ； （2） ) 2 sin , (0, 2 x x x x ； （3） , 0 2(1 ) ln(1 ) 2 2 2 + − + − x x x x x x x
8、以s(x)记由(a,f(a),(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积,试 对s(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。 9、设f为a,b]上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈(a,b)使得f(c)>0。 证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫"(2)0。证明方程x3+ax+b=0不存在正根 tan x 14、证明: x∈ 15、证明:若函数f,g在区间[a,b上可导,且f'(x)>g'(x),f(a)=g(a),则在(a, b]内有f(x))g(x) §2柯西中值定理和不定式极限 1、试问函数f(x)=x2,g(x)=x3在区间-1,1上能否应用柯西中值定理得到相应的 结论,为什么? 2、设函数f在a,b]上可导。证明:存在ξ∈(a,b),使得 Lf(b)-f(a)=(b2-a2)f(2)。 3、设函数f在点a处具有连续的二阶导数。证明 lim f(a+h)+(a-h)-2/(a) =f"(a) 4、设0<a<B<。证明存在O∈(a,B),使得 B cot e cos B-cosa 5、求下列不定式极限 (1)lm (2)lin sIn x or coS 3x In(1+x)-x tanx-x (3)lim (4)
2 8、以 s（x）记由（a，f（a）），（b，f（b）），（x，f（x））三点组成的三角形面积，试 对 s（x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。 9、设 f 为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点 c (a,b) 使得 f（c）>0。 证明至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( ) 0。 10、设函数 f 在（a，b）内可导，且 f 单调。证明 f 在（a，b）内连续。 11、设 p（x）为多项式， 为 p（x）=0 的 r 重实根。证明 必定是 p (x) 的 r – 1 重 实根。 12、证明：设f 为n阶可导函数，若方程（f x）=0有n+1个相异的实根，则方程 ( ) 0 ( ) f x = n 至少有一个实根。 13、设 a，b>0。证明方程 x + ax + b 3 =0 不存在正根。 14、证明： ) 2 , (0, sin tan x x x x x 。 15、证明：若函数 f，g 在区间[a，b]上可导，且 f (x) g (x), f (a) = g(a) ，则在（a， b]内有 f（x）>g（x）。 §2 柯西中值定理和不定式极限 1、试问函数 2 3 f (x) = x , g(x) = x 在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的 结论，为什么？ 2、设函数 f 在[a，b]上可导。证明：存在 (a,b) ，使得 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 f b − f a = b − a f 。 3、设函数 f 在点 a 处具有连续的二阶导数。证明： ( ) ( ) ( ) 2 ( ) lim 2 0 f a h f a h f a h f a h = + + − − → 。 4、设 2 0 。证明存在 (,) ，使得 cot cos cos sin sin = − − 。 5、求下列不定式极限 （1） 0 lim x→ x e x sin −1 ； （2） x x x cos3 1 2sin lim 6 − → ； （3） 0 lim x→ cos 1 ln(1 ) − + − x x x ； （4） 0 lim x→ x x x x sin tan − − ；
an xx (5)lim (6) lim →Secx+ (7)Im(tan x)inr (8)lim x (9)im(1+x2)x; (10)im sin xIn x: (11)lm(-- (12)lm( 6、设函数f在点a的某个邻域具有二阶导数。证明:对充分小的h,存在0,0<0<1 使得 f(a+h)+f(a-h)-2f(a) f(a+ th)+f(a-B) h 2 7、求下列不定式极限 (1) lim In cos(x-D) (2)Iim (T-2 arctan x)In x (3)lm x (4)lim(tan x)an In(1+x) (5)lim (6)lim (cotx-): (7)li +x) (8)lin arctan x 2 8、设f(0)=0,∫在原点的某邻域内连续,且∫(0)≠0。证明 lim x f(x) 9、证明定理6、6中limf(x)=0,img(x)=0情形时的洛必达法则。 10、证明:f(x)=x3e-为有界函数 3泰勒公式 1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式: (1)f(x)= x (2)f(x)= arctan到含x的项
3 （5） sec 5 tan 6 lim 2 + − → x x x ； （6） 0 lim x→ ) 1 1 1 ( − − x x e ； （7） 0 lim x→ x x sin (tan ) ； （8） x x x − → 1 1 1 lim ； （9） 0 lim x→ x x 1 2 (1+ ) ； （10） x x x lim sin ln 0 → + ； （11） 0 lim x→ ) sin 1 1 ( 2 2 x x − ； （12） 0 lim x→ 2 1 ) tan ( x x x 。 6、设函数 f 在点 a 的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的 h，存在 ,0 1， 使得 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 f a h f a h h f a h f a h f a + + − = + + − − 。 7、求下列不定式极限： （1） 2 1 sin ln cos( 1) lim 1 x x x − − → ； （2） x x x lim ( − 2arctan )ln →+ ； （3） x x x sin 0 lim → + ； （4） x x x tan 2 4 lim (tan ) → ； （5） 0 lim x→ − + + x x x x ln(1 ) 1 2 (1 ) ； （6） 0 lim x→ ) 1 (cot x x − ； （7） 0 lim x→ x x e x + − 1 (1 ) ； （8） − →+ x x arctan 2 lim 。 8、设 f（0）=0， f 在原点的某邻域内连续，且 f (0) 0 。证明： lim 1 ( ) 0 = → + f x x x 。 9、证明定理 6、6 中 lim ( ) = 0, lim ( ) = 0 →+ →+ f x g x x x 情形时的洛必达法则。 10、证明： 2 3 ( ) x f x x e − = 为有界函数。 §3 泰勒公式 1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式： （1）f（x）= 1+ x 1 ； （2）f（x）= arctanx 到含 5 x 的项；
(3)f(x)=tanx到含x5的项 2、按例4的方法求下列极限: (1)li sin x-x(1+x) (2)lim x-x2In 1+ (3)lim COLX 3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式: (1)f(x)=x3+4x2+5,在x=1处; (2)f(x) ,在ⅹ=0处 1+x 4、估计下列近似公式的绝对误差: (1)sn ,当x≤ (2)√1+x≈1+ x x x∈[0,1] 5、计算:(1)数e准确到10-9; (2)1g1l准确到10-3 §4函数的极值与最大(小)值 1、求下列函数的极值: (1)f(x)=2x2-x+; (2)f(x)= (3)f(x)= )2 (4)f(x)=arctan=In(1+x) 0,x=0 (1)证明:x=0是极小值点 (2)说明f的极小值点ⅹ=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件 3、证明:若函数f在点x0处有∫(x0)0),厂(x0)>0(<0),则x0为f的极大 (小)值点。 4、求下列函数在给定区间上的最大最小值 (1)y=x-5x+5x2+1,[-1,2];
4 （3）f（x）= tanx 到含 5 x 的项。 2、按例 4 的方法求下列极限： （1） 0 lim x→ 3 sin (1 ) x e x x x x − + ； （2） − + → x x x x 1 lim ln 1 2 ； （3） 0 lim x→ − x x x cot 1 1 。 3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）f（x）= 4 5 3 2 x + x + ，在 x = 1 处； （2）f（x）= 1+ x 1 ，在 x = 0 处。 4、估计下列近似公式的绝对误差： （1） 6 sin 3 x x x − ，当|x|≤ 2 1 ； （2） , [0,1] 2 8 1 1 2 + + − x x x x 。 5、计算：（1）数 e 准确到 9 10 − ； （2）lg11 准确到 5 10 − 。 §4 函数的极值与最大（小）值 1、求下列函数的极值： （1）f（x）= 3 4 2x − x ； （2）f（x）= 2 1 2 x x + ； （3）f（x）= x x 2 (ln ) ； （4）f（x）= ln(1 ) 2 1 arctan 2 x − + x 。 2、设 f（x）= = 0, 0. , 0, 1 sin 4 2 x x x x （1）证明：x = 0 是极小值点； （2）说明 f 的极小值点 x = 0 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。 3、证明：若函数 f 在点 0 x 处有 ( ) 0( 0), ( ) 0( 0) f + x0 f − x0 ，则 0 x 为 f 的极大 （小）值点。 4、求下列函数在给定区间上的最大最小值： （1）y = 5 5 1,[ 1,2] 5 4 3 x − x + x + − ；
(2)y=2 tanx-tanx, 0, (3)y=√xhx(0.+∞)。 5、设f(x)在区间I上连续,并且在I上仅有唯一的极值点xa。证明:若x0是f的 极大(小)值点,则x。必是f(x)在I上的最大(小)值点 6、把长为1的线段截为两段,问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最 ? 7、有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V时,要使容器的表面积为最小,问底 的半径与容器高的比例应该怎样? 8、设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2…an。问以怎样的数值x表 达所要测量的真值,才能使它与这n个数之差的平方和为最小 9、求一正数a,使它与其倒数之和最小 10、求下列函数的极值 (1)f(x)=|x(x2-1)| (2)f(x)= x(x2+1) x4-x2+1 (3)f(x)=(x-1)(x+1) 11、设f(x)=ahx+bx2+x在x1=L,x2=2处都取得极值,试求a与b;并问这 时f在x,与x,是取得极大值还是极小值? 12、在抛物线y2=2px哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。 13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=akm的B城,轮船运费的单价 是a元km,火车运费的单价是β元/km(B>a),试求运河边上的一点M,修建铁路MB 使总运费最省 §5函数的凸性与拐点 1、确定下列函数的凸性区间与拐点: (1)y=2x3-3x2-36x+25 (2)y=x+ (3)y=x2+ (4)y=lh(x2+1) (5) 、问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax+bx2的拐点?
5 （2）y = − 2 2 tan tan , 0, 2 x x ； （3）y = x ln x,(0,+) 。 5、设 f（x）在区间 I 上连续，并且在 I 上仅有唯一的极值点 0 x 。证明：若 0 x 是 f 的 极大（小）值点，则 0 x 必是 f（x）在 I 上的最大（小）值点。 6、把长为 l 的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最 大？ 7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为 V 时，要使容器的表面积为最小，问底 的半径与容器高的比例应该怎样？ 8、设用某仪器进行测量时，读得 n 次实验数据为 a a an , , 1 2 。问以怎样的数值 x 表 达所要测量的真值，才能使它与这 n 个数之差的平方和为最小。 9、求一正数 a，使它与其倒数之和最小。 10、求下列函数的极值： （1）f（x）=| ( 1) | 2 x x − ； （2）f（x）= 1 ( 1) 4 2 2 − + + x x x x ； （3）f（x）= 2 3 (x −1) (x +1) 。 11、设 f（x）= a x + bx + x 2 ln 在 x1 =1, x2 = 2 处都取得极值，试求 a 与 b；并问这 时 f 在 1 x 与 2 x 是取得极大值还是极小值？ 12、在抛物线 y 2px 2 = 哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。 13、要把货物从运河边上 A 城运往与运河相距为 BC= a km 的 B 城，轮船运费的单价 是 元/km，火车运费的单价是 元/km（ > ），试求运河边上的一点 M，修建铁路 MB， 使总运费最省。 §5 函数的凸性与拐点 1、确定下列函数的凸性区间与拐点： （1）y = 2 3 36 25 3 2 x − x − x + ； （2）y = x x 1 + ； （3）y = x x 2 1 + ； （4）y = ln( 1) 2 x + ； （5）y = 2 1 1 + x 。 2、问 a 和 b 为何值时，点（1，3）为曲线 y = 3 2 ax + bx 的拐点？
3、证明: (1)若f为凸函数,λ为非负实数,则Af为凸函数 (2)若f,g均为凸函数,则f+g为凸函数 (3)若f为区间I上凸函数,g为J=f(1)上凸增函数,则g·f为I上凸函数 4、设f为区间I上严格凸函数。证明:若x0∈为f的极小值点,则x为f在I上唯 的极小值点。 5、应用凸函数概念证明如下不等式 (1)对任意实数a,b,有e2≤ (2)对任何非负实数a,b,有2acap/+ barcan a+ arctan b 6、证明:若f,g均为区间I上凸函数,则F(x)=max{f(x),g(x)}也是I上凸 函数 7、证明:(1)f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点x10 8、应用詹森不等式证明: (1)设a1>O(=1,2,…,n),有 ≤va1a2…a.0(=1,2,…,n),有 b 其中p>0>Q+1 §6函数图象的讨论 按函数作图步骤,作下列函数图象 (1)y=x3+6x2-15x-2 2(1+x) (3) (4) 6
6 3、证明： （1）若 f 为凸函数， 为非负实数，则 f 为凸函数； （2）若 f，g 均为凸函数，则 f+g 为凸函数； （3）若 f 为区间 I 上凸函数，g 为 J f（I）上凸增函数，则 g·f 为 I 上凸函数。 4、设 f 为区间 I 上严格凸函数。证明：若 0 x I 为 f 的极小值点，则 0 x 为 f 在 I 上唯 一的极小值点。 5、应用凸函数概念证明如下不等式： （1）对任意实数 a，b，有 ( ) 2 1 2 a b a b e e + e + ； （2）对任何非负实数 a，b，有 a b a b arctan arctan 2 2arctan + + 。 6、证明：若 f，g 均为区间 I 上凸函数，则 F（x）= max{f（x），g（x）}也是 I 上凸 函数。 7、证明：（1）f 为区间 I 上凸函数的充要条件是对 I 上任意三点 1 2 3 x x x ，恒有 0 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3 2 2 1 1 = x f x x f x x f x ； （2）f 为严格凸函数的充要条件是Δ>0。 8、应用詹森不等式证明： （1）设 a 0(i 1,2, ,n) i = ，有 n a a a a a a a a a n n n n n + + + + + + 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ； （2）设 a ,b 0(i 1,2, ,n) i i = ，有 q n i q i p n i p i n i aibi a b 1 1 1 1 1 = = = ， 其中 1 1 1 0, 0, + = p q p q 。 §6 函数图象的讨论 按函数作图步骤，作下列函数图象： （1）y = 6 15 20 3 2 x + x − x − ； （2）y = 2 2 2(1 x) x + ； （3）y = x – 2arctanx； （4）y = x xe − ；
(5)y=3x3-5x3 (6)y=a-x2 (7)y=(x-1) (8)y=|x|13(x-2) 总练习题 证明:若f(x)在有限开区间(a,b)内可导,且lnf(x)=limf(x),则至少 存在一点ξ∈(a,b),使∫"()=0。 2、证明:若x>0,则 其中≤O(x)≤ 2√x+O(x) (2)lim6(x)=,lim6(x)=。 3、设函数f在[a,b上连续,在(a,b)内可导,且a·b>0。证明存在∈(a,b), 使得 b =f(2)-5(5)。 bf(a)f(b) 4、设f在[a,b上三阶可导,证明存在∈(a,b),使得 (b)=f(a)+(b-af(a)+f(b)-(b-a)3f"()。 5、对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理,试证:对x≥0有 0<1-1<1 In(1+x)x 6、设a12a2,…,an为n个正数,且 f(x)=a12+a2+…+0y 证明:(1)lmf( 1a2…an (2)imf(x)=max{a1,a2,…,an}。 求下列极限 (1)lm(1-x2)m= (2)lm
7 （5）y = 5 3 3x − 5x ； （6）y = 2 x e − ； （7）y = 3 2 (x −1)x ； （8）y = 3 2 2 | x | (x − 2) 。 总练习题 1、证明：若 f（x）在有限开区间（a，b）内可导，且 lim f (x) lim f (x) x a x b → + → − = ，则至少 存在一点 (a,b) ，使 f ( ) = 0 。 2、证明：若 x>0，则 （1） 2 ( ) 1 1 x x x x + + − = ，其中 2 1 ( ) 4 1 x ； （2） 2 1 , lim ( ) 4 1 lim ( ) 0 = = → →+ x x x x 。 3、设函数 f 在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且 a·b>0。证明存在 (a,b)， 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f f f a f b a b a b = − − 。 4、设 f 在[a，b]上三阶可导，证明存在 (a,b) ，使得 ( ) ( ) 12 1 ( )[ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( ) 3 f b = f a + b − a f a + f b − b − a f 。 5、对 f（x）=ln（1+x）应用拉格朗日中值定理，试证：对 x≥0 有 1 1 ln(1 ) 1 0 − + x x 。 6、设 a a an , , , 1 2 为 n 个正数，且 f（x）= x x n x x n a a a 1 1 2 + ++ 。 证明：（1） n n x f x a1a2a 0 lim ( ) = → ； （2） lim ( ) max{ , , , } 1 2 n x f x = a a a → 。 7、求下列极限： （1） 2 1/ ln(1 ) 1 lim (1 ) x x x − → − − ； （2） 2 0 ln(1 ) lim x xe x x x − + → ；
x sin (3)lim 8、设h0,函数f在U(ah)内具有n+2阶连续导数,且fm2(a)≠0,f在U(a,h) 内的泰勒公式为 f(a+h=f(a)+f(a)h+ h"!00,试问k为何值时,方程 arctan-kx=0存在正实根 10、证明:对任一多项式p(x),一定存在x1与x2,使p(x)在(-∞,x1)与(x2, +∞)分别严格单调 11、讨论函数 f(x)={2 x≠0 0.x=0 (1)在x=0点是否可导? (2)是否存在x=0的一个邻域,使f在该邻域内单调? 12、设函数f在[a,b上二阶可导,f'(a)=f∫'(b)=0。证明存在一点5∈(a,b),使 f(5)P f(b)-f(a)。 13、设函数f在[0,司上具有二阶导数,且∫"(x)≤M,f在(0,a)内取得最大值 试证 f'(0)|+|f(a)M。 14、设f在[0,+∞)上可微,且0≤f'(x)≤f(x),f(0)=0。证明:在[0,+∞)上 f(x)≡0 15、设f(x)满足f"(x)+f(x)g(x)-f(x)=0,其中g(x)为任一函数。证明: 若f(x0)=f(x1)=0(x<x1),则f在[x0,x1]上恒等于0。 16、证明:定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加 17、证明:f为I上凸函数的充要条件是对任何x1,x2∈,函数 1)=f(x1+(1
8 （3） x x x x sin 1 sin lim 2 →0 。 8、设 h>0，函数 f 在 U (a;h) 内具有 n+2 阶连续导数，且 ( ) 0 ( 2) + f a n ，f 在 U (a;h) 内的泰勒公式为 ,0 1 ( 1)! ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1) + + + = + + + + + + n n n n h n f a h h n f a f a h f a f a h 。 证明： 2 1 lim 0 + = h→ n 。 9、设 k>0，试问 k 为何值时，方程 arctanx – kx = 0 存在正实根。 10、证明：对任一多项式 p（x），一定存在 1 x 与 2 x ，使 p（x）在（-∞， 1 x ）与（ 2 x ， +∞）分别严格单调。 11、讨论函数 = + = 0, 0, , 0, 1 sin 2 ( ) 2 x x x x x f x （1）在 x=0 点是否可导？ （2）是否存在 x=0 的一个邻域，使 f 在该邻域内单调？ 12、设函数 f 在[a，b]上二阶可导， f (a) = f (b) = 0 。证明存在一点 (a,b) ，使 得 | ( ) ( ) | ( ) 4 | ( ) | 2 f b f a b a f − − 。 13、设函数 f 在[0，a]上具有二阶导数，且 | f (x) M ，f 在（0，a）内取得最大值。 试证 | f (0) | + | f (a) | Ma 。 14、设 f 在[0，+∞）上可微，且 0 f (x) f (x), f (0) = 0 。证明：在[0，+∞）上 f（x）≡0。 15、设 f（x）满足 f (x) + f (x)g(x) − f (x) = 0 ，其中 g（x）为任一函数。证明： 若 ( ) ( ) 0( ) 0 1 0 1 f x = f x = x x ，则 f 在[ 0 x ， 1 x ]上恒等于 0。 16、证明：定圆内接正 n 边形面积将随 n 的增加而增加。 17、证明：f 为 I 上凸函数的充要条件是对任何 1 x ， x I 2 ，函数 ( ) ( (1 ) ) 1 2 = f x + − x
为[0,1上的凸函数 18、证明:(1)设f在(a,+∞)上可导,若lmf(x),lmf(x)都存在,则 imf(x)=0。 (2)设f在(a,+∞)上n阶可导,若mf(x)和mf(x)都存在,则 → imf((x)=0(k=1,2,…,n)。 19、设f为(-∞,+∞)上的二阶可导函数。若f在(-∞,+∞)上有界,则存在 5∈(-∞,+∞),使∫"(5)=0 习题答案 §2柯西中值定理和不定式极限 5、(1)1:(2)一;(3)1:(4)2:(5)1:(6):(7)1:(8) (9)1:(10)0;(11) ;(12)e 7、(1)-2:(2)0:(3)1:(4)e-;(5);(6)0:(7)-:(8)e 3泰勒公式 1、(1)f(x)=1-x2y+…+(-)(hNx”+o(x) (2)f(x)=x-x+x2+O(x3) (3)f(x)=x+x3+2x3+o(x3)。 2、(1);(2)-:(3) 3、(1)f(x)=10+(x-1)+7(x-1)2+(x-1)3 (2)f(x)=1 (-1) ,0<b<1 (1+)” 4、(1)|R4(x)k (2)|R2(x),。 5、(1)取n=12e≈2718281828: (2)104139 §4函数的极值与最大(小)值
9 为[0，1]上的凸函数。 18、证明：（1）设 f 在（a，+∞）上可导，若 lim f (x), lim f (x) x x →+ →+ 都存在，则 lim ( ) = 0 →+ f x x 。 （2）设 f 在（a，+∞）上 n 阶可导，若 lim f (x) x→+ 和 lim ( ) ( ) f x n x→+ 都存在，则 lim ( ) 0( 1,2, , ) ( ) f x k n k x = = →+ 。 19、设 f 为 (−,+) 上的二阶可导函数。若 f 在 (−,+) 上有界，则存在 (−,+) ，使 f ( ) = 0。 习题答案 §2 柯西中值定理和不定式极限 5、（1）1；（2） 3 3 ；（3）1；（4）2；（5）1；（6） 2 1 ；（7）1；（8） e 1 ； （9）1；（10）0；（11） 3 1 − ；（12） 3 1 e ； 7、（1） 2 4 − ；（2）0；（3）1；（4） −1 e ；（5） 2 1 ；（6）0；（7） 2 e − ；（8） −1 e 。 §3 泰勒公式 1、（1）f（x）= ( ) !2 (2 1)!! ( 1) 2! 2 3 2 1 2 1 1 3 n n n n x x n n x x + − + + − − + ； （2）f（x）= ( ) 5 1 3 1 3 5 5 x − x + x + x ； （3）f（x）= ( ) 15 2 3 1 3 5 5 x + x + x + x 。 2、（1） 3 1 ；（2） 2 1 ；（3） 3 1 。 3、（1）f（x）= 2 3 10 +11(x −1) + 7(x −1) + (x −1) ； （2）f（x）= 1 1 2 3 1 (1 ) ( 1) 1 ( 1) + + − + − − + + + − + n n n n n x x x x x ，0 1。 4、（1） 2 5! 1 | ( ) | 4 5 R x ； （2） 16 1 | ( ) | R2 x 。 5、（1）取 n = 12,e 2.718281828 ； （2） 1.04139。 §4 函数的极值与最大（小）值
1、(1)极大值 (2)极小值f(-1)=-1,极大值f(1)=1 (3)极小值f(1)=0,极大值∫(e2)= (4)极大值f(1) ln2。 4 5、(1)最小值f(-1)=-10,最大值f(1)=2: (2)最小值=1,无最大值 (3)最小值/e-2) 2 6、边长为 7、半径与高之比为1:1。 a +a 8、取x 2+an。 9、取a=1 10、(1)极小值∫(O)=∫(±1)=0,极大值 √3)3√3 (2)极小值f(-1)=-2,极大值f(1)=2 (3)极小值r(1)=.极大值八(3=3125 ll、a=-,b=-,x1极小值点,x2极大值点 ±√2 aa 13 §5函数的凸性与拐点 1、(1)凹区间(-∞),凸区间,+∞|,拐点 (2)凹区间(-∞,0),凸区间(0,+∞) (3)凹区间(-1,0),凸区间(-∞,-1),(0,+∞),拐点(-1,0) (4)凹区间(-0,-1)(1+∞),凸区间(-1),拐点(士1n2)
10 1、（1）极大值 16 27 2 3 = f ；（2）极小值 f（-1）= -1，极大值 f（1）=1； （3）极小值 f（1）= 0，极大值 2 2 4 ( ) e f e = ； （4）极大值 f（1）= ln 2 2 1 4 − 。 5、（1）最小值 f（-1）= -10，最大值 f（1）=2； （2）最小值 1 4 = f ，无最大值； （3）最小值 ( ) e f e 2 2 = − − 。 6、边长为 2 l 。 7、半径与高之比为 1：1。 8、取 n a a a x + + n = 1 2 。 9、取 a=1。 10、（1）极小值 f (0) = f (1) = 0 ，极大值 3 3 2 3 1 = f ； （2）极小值 f（- 1）= - 2，极大值 f（1）=2； （3）极小值 f（1）=0，极大值 3125 3456 5 1 = f 。 11、 1 , 6 1 , 3 2 a = − b = − x 极小值点， 2 x 极大值点。 12、 ( p, 2 p) 。 13、 2 2 − a 。 §5 函数的凸性与拐点 1、（1）凹区间 ) 2 1 (−, ，凸区间 ,+ 2 1 ，拐点 2 13 , 2 1 ； （2）凹区间 (−,0) ，凸区间 (0,+) ； （3）凹区间 (−1,0) ，凸区间 (−,−1),(0,+) ，拐点 (−1,0) ； （4）凹区间 (−,−1),(1,+) ，凸区间 (−1,1) ，拐点 (1,ln 2) ；