第四章微商与微分 §1微商概念及其计算 1.求抛物线y=x2在A(1,1)点和B(-2,4)点的切线方程和法线方程 2.若S=vt (1)在t=1,t=1+△t之间的平均速度(设△t=1,0.1,0.01) (2)在t=1的瞬时速度 3.试确定曲线y=lnx在哪些点的切线平行于下列直线 ≥3 设f(x) lax+b,x<3, 试确定a,b的值,使f(x)在x=3处可导 5.求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程 (1)y=,P(2,1); (2)y=cosx,P(0,1) 6.求下列函数的导函数 (1)f(x) x+1,x≥0 (2)f(x)= 1,x<0; x sIn 设函数f(x) (m为正整数 试问:(1)m等于何值时,f(x)在x=0连续; (2)m等于何值时,f(x)在x=0可导; (3)m等于何值时,f(x)在x=0连续
第四章 微商与微分 §1 微商概念及其计算 1．求抛物线 2 y x = 在 A(1,1) 点和 B( 2,4) − 点的切线方程和法线方程． 2．若 1 2 2 S vt gt = − ，求 （1）在 t t t = = + 1, 1 之间的平均速度（设 =t 1,0.1,0.01 ）； （2）在 =t 1 的瞬时速度． 3．试确定曲线 y x = ln 在哪些点的切线平行于下列直线： （1） y x = −1 ； （2） y x = − 2 3． 4．设 2 , 3 ( ) , 3, x x f x ax b x = + 试确定 a b, 的值，使 f x( ) 在 x = 3 处可导． 5．求下列曲线在指定点 P 的切线方程和法线方程： （1） 2 , (2,1) 4 x y P = ； （2） y x P = cos , (0,1) ． 6．求下列函数的导函数. （1） 3 f x x ( ) = ； （2） 1 0, ( ) 1 0; x x f x x + = 7．设函数 1 sin , 0 ( ) 0 , 0 m x x f x x x = = （m 为正整数）． 试问：（1）m 等于何值时， f x( ) 在 x = 0 连续； （2）m 等于何值时， f x( ) 在 x = 0 可导； （3）m 等于何值时， f x'( ) 在 x = 0 连续．
设B(0)=g(0)=0,f(x)=8(x)sin-,x≠0 x=0 求∫(O) 9.证明:若f(x0)存在,则 f(x0+△x)-f(x0-△x) 10.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且对任意x1,x2∈(-∞,+∞),有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2) 若∫(0)=1,证明任意x∈(-∞,+∞),有∫(x)=f(x) 1l.设f(x)是偶函数,且f(0)存在,证明:f(0)=0 设f(x)是奇函数,且 3,求f( 13.用定义证明:可导的偶函数的导函数是奇函数,可导的奇函数的导函数是偶函数 14.求下列函数的导函数 (1)y=x sin x: (2)y=xcosx+3x: (3)y=xtanx-7x+6 e sin x-7cosx+5 (5)y=4x+--2x3 6)y=3x+5√x+ (8)y“1+x+x2: (9 (1-x)(2-x)
8．设 g g (0) '(0) 0 = = ， 1 ( )sin 0, ( ) 0 0. g x x f x x x = = 求 f '(0)． 9．证明：若 0 f x'( ) 存在，则 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x 2 f x x f x x f x → x + − − = ． 10．设 f x( ) 是定义在 − + ( , ) 上的函数，且对任意 1 2 x x, ( , ) − + ，有 1 2 1 2 f x x f x f x ( ) ( ) ( ) + = . 若 f '(0) 1 = ，证明任意 x − + ( , ) ，有 f x f x '( ) ( ) = ． 11．设 f x( ) 是偶函数，且 f '(0) 存在，证明： f '(0) 0 = ． 12．设 f x( ) 是奇函数，且 0 f x'( ) 3 = ，求 0 f x '( ) − . 13．用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数． 14．求下列函数的导函数： （1） 2 y x x = sin ； （2） 2 y x x x = + cos 3 ； （3） y x x x = − + tan 7 6 ； （4） 2 sin 7cos 5 x y e x x x = − + ； （5） 1 3 y x x 4 2 x = + − ； （6） 3 7 y x x 3 5 x = + + ； （7） 2 2 1 1 x y x + = − ； （8） 2 1 1 y x x = + + ； （9） (1 )(2 ) x y x x = − − ；
(10) √x1 1+√x (12)y-3√x (13) y=x'Inx--x COS x (14)y= (15)y=(x+-)lnx; x cosx-In x (16)y +1 (17)y= x+ cos x xsin x+ coS x (18)y xsinx- cosx (19) sInx (20)y=xsin xInx 15.求下列复合函数的导函数: (1)y=(x32-4) (2)y=x(a2+x2)la2-x2 (3) (5) y=In(Inx): (6)y=In/a+x/ (7)y=lhx+≌a2+x)
（10） 1 1 1 1 y x x = − + − ； （11） 1 1 x y x + = − ； （12） 1 3 3 y x x = + ； （13） 3 1 ln n y x x x n = − ； （14） 4 cos 1 ln x y x x = ； （15） 1 y x x ( )ln x = + ； （16） cos ln 1 x x x y x − = + ； （17） 1 cos y x x = + ； （18） sin cos sin cos x x x y x x x + = − ； （19） 1 sin x xe y x − = ； （20） y x x x = sin ln ． 15．求下列复合函数的导函数： （1） 3 3 y x = − ( 4) ； （2） 2 2 2 2 y x a x a x = + − ( ) ； （3） 2 2 x y a x = − ； （4） 3 3 3 1 1 x y x + = − ； （5） y x = ln(ln ) ； （6） 1 ln 2 a x y a x + = − ； （7） 2 2 y x a x = + + ln( ) ；
(8)y=In tan- (9)y=cos(cos√x) (10)y=cos'x-cos 3x: (12) y= arcsin(sin x cos x) (13) y=arctan 2 3 (14)y=e 15)y x+1 (16) y=e sin 3x+ (17)y (k,o为常数) 1+x (18)y=xa2-x2+x (19)y=sin"xcosnx x (20) 16.用对数求导法求下列函数的导函数 (1)y=x 1+x (2) 1-xV1+x+x' (3)y=(x+√1+x2) (4)y=x2,(x>0); (x>0);
（8） ln tan 2 x y = ； （9） y x = cos(cos ) ； （10） 3 y x x = − cos cos3 ； （11） 2 1 3 2 x y e − = ； （12） y x x = arcsin(sin cos ) ； （13） 2 2 arctan 1 x y x = − ； （14） 2 x x 2 y e − + = ； （15） ( 2)( 3) ln 1 x x y x + + = + ； （16） 2 2 sin 3 2 x x y e x = + ； （17） sin ( , ) 1 kx e x y k x − = + 为常数 ； （18） 2 2 2 2 x y x a x a x = − + − ； （19） sin cos n y x nx = ； （20） 1 1 ln 1 1 x x y x x + − − = + + − ． 16．用对数求导法求下列函数的导函数： （1） 1 1 x y x x − = + ； （2） 2 2 1 1 1 x x y x x x + = − + + ； （3） 2 ( 1 )n y x x = + + ； （4） ( 0) x y x x = ； （5） ln ( 0) x y x x = ；
(6)y > (7)y=x,(x>0); (8)y=amx,(a>0) 17.设∫(x)是对x可导的函数,求 (3)y=f(f(f(x)) 18.设o(x)和v(x)是对x可求导的函数,求 (1)y=√o2(x)+v2(x) (2)y=arctan) (v(x)≠0) y(x) (3)y=wy(x)((x)>0ox)≠0) (4)y= logor, y(x)(v(x)>0,(x)>0.(x)≠1) 19.求下列函数的导函数: (1)y=e(cos bx+sin bx) (2)y=arctan x-In(1+x') 2 (3)y=arctan + arctan (4)y=arctan(tan x): (-)°(-)(a,b>0) (6)y= arcsin a>0) y=a2+ In x+
（6） 1 (1 ) ( 0) x y x x = + ； （7） tan ( 0) x y x x = ； （8） sin ( 0) x y a a = ． 17．设 f x( ) 是对 x 可导的函数，求 dy dx ： （1） 2 y f x = ( ) ； （2） ( ) ( ) x f x y f e e = ； （3） y f f f x = ( ( ( ))) ． 18．设 ( ) x 和 ( ) x 是对 x 可求导的函数，求 dy dx ： （1） 2 2 y x x = + ( ) ( ) ； （2） ( ) arctan ( ( ) 0) ( ) x y x x = ； （3） ( ) ( ) ( ( ) 0, ( ) 0) x y x x x = ； （4） ( ) log ( ) ( ( ) 0, ( ) 0, ( ) ) x y x x x x = ． 19．求下列函数的导函数： （1） (cos sin ) ax y e bx bx = + ； （2） 1 2 arctan ln(1 ) 2 y x x x = − + ； （3） 2 2 1 1 2 arctan arctan 1 x x y x x − − = + − ； （4） 2 y x = arctan(tan ) ； （5） ( ) ( ) ( ) ( , 0) a b x x a b y a b b x a = ； （6） 2 2 2 arcsin ( 0) 2 2 x a x y a x a a = − + ； （7） 2 2 2 2 2 ln ( 0) 2 2 x a y a x x a x a = + + + + ；
(8)y=In(arccos-) (9)y=x2+a2+a"(a>0) (10) 1,(x+1)2,1 y +-arctan 6 √3 §2微分概念及其计算 求下列函数在指定点的微分 (1)y=anx"+an1x"+…+a1x+a,求d(0),d(1); (2)y=secx+tanx,求d(0),d()和dv(丌); (3)y=-arctan-, k dyo) dy(a) (4) 1+1,求d0D,d01 2.求下列函数的微分: (2)y=xInx-x (3)y +Inx- (4)y=arcsin Vi-x (6)y=In/tan ( 3.设a,v是x的可微函数,求d (1)y=arctan (2)y=ln√2+y2 (3) y=Insin(u +v):
（8） 1 y ln(arccos ) x = ； （9） ( 0) a a x a x a y x a a a = + + ； （10） 2 2 1 ( 1) 1 2 1 ln arctan 6 1 3 3 x x y x x + − = + − + ． §2 微分概念及其计算 1．求下列函数在指定点的微分： （1） 1 1 1 0 n n n n y a x a x a x a − = + + + + − … ，求 dy dy (0), () ； （2） y x x = + sec tan ，求 (0), ( ) 4 dy dy 和 dy( ) ； （3） 1 arctan x y a a = ，求 dy dy a (0) ( ) ； （4） 2 1 1 y x x = + ，求 dy dy (0.1) (0.01) ． 2．求下列函数的微分： （1） 2 1 x y x = − ； （2） y x x x = − ln ； （3） 1 y x x ln x = + − ； （4） 2 y x = − arcsin 1 ； （5） 2 sin x y e = ； （6） ln tan( ) 2 4 x y = + ． 3．设 u v, 是 x 的可微函数，求 dy ： （1） arctan u y v = ； （2） 2 2 y u v = + ln ； （3） y u v = + ln sin( ) ；
√m2+y2 4.求下列函数的微分dy (1)y=sin t, t=In(3x+1): (2)y=In(3t+1),=sin x (4)y=arctan, u=(nn), t=1+x -cot x §3隐函数与参数方程微分法 1求下列隐函数的导数 dy (1)+2=1(ab为常数) (2)y2=2px(p为常数) (3)x2+xy+y2=a2(a为常数) y (6)x3+y3=a3(a为常数) (7)y=cos(x+y): (8)y=x+ arctan y In(x+y)+e 2.求下列参数方程的导数
（4） 2 2 1 y u v = + ． 4．求下列函数的微分 dy ： （1） 2 y t t x = = + sin , ln(3 1) ； （2） 2 y t t x = + = ln(3 1), sin ； （3） 3 3 1 , ln , 2 5 2 u y e u t t x x = = = − + ； （4） 2 2 y u u t t x x = = = + − arctan , (ln ) , 1 cot ． §3 隐函数与参数方程微分法 1.求下列隐函数的导数 dy dx ： （1） 2 2 2 2 1 ( , ) x y a b a b + = 为常数 ； （2） 2 y px p = 2 ( ) 为常数 ； （3） 2 2 2 x xy y a a + + = ( ) 为常数 ； （4） 3 3 x y xy + − = 0 ； （5） 1 sin 2 y x y = + ； （6） 2 2 2 3 3 3 x y a a + = ( ) 为常数 ； （7） y x y = + cos( ) ； （8） y x y = + arctan ； （9） 1 ln( ) y y x y e = − + + ； （10） 2 2 arctan ln y x y x = + ． 2．求下列参数方程的导数： （1） 1 1 1 t x t t y t = + − = + ；
Ix=Sint (2) y=e sin- I x= a(In tan -+cost) y=asin 3.求函数y=y(x)在指定点的导数: (1)y=cosx+sin y, (,0) (2)ye2+lny=1,(0,1); x=t-sint (3) 处 y=l-cost, (4) 在t 处 4.一个圆锥型容器,深度为10m,上面的顶圆半径为4m (1)灌入水时,求水的体积V对水面高度h的变化率 (2)求体积V对容器截面圆半径R的变化率 5. i x=acos't,y=asin't (1)求y(1); (2)证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数 x=a(cost+t sint) 6.证明:曲线 上任一点的法线到原点的距离恒等于a y=a(sint-t cost) §4高阶微商与高阶微分 1求下列函数在指定点的高阶导数: (1)f(x)=3x+4x2-5x-9,求f"1),f"(1),f“(1) (2)f(x)= ,求∫"(0),f"(U),f"(-1) 2.求下列函数的高阶导数 (1)y=xlnx,求y":
（2） 2 2 sin cos x t y t = = ； （3） 2 2 2 2 cos sin t t x e t y e t = = ； （4） (ln tan cos ) 2 sin t x a t y a t = + = ． 3．求函数 y y x = ( ) 在指定点的导数： （1） 1 cos sin ,( ,0) 2 2 y x y = + ； （2） ln 1, (0,1) x ye y + = ； （3） sin , , 1 cos 2 x t t t y t = − = = − 在 处 ； （4） 2 3 1 , 2 3 , , 2 3 x t t y t t = − = = − 在 处 ． 4．一个圆锥型容器，深度为 10m，上面的顶圆半径为 4m. （1）灌入水时，求水的体积 V 对水面高度 h 的变化率； （2）求体积 V 对容器截面圆半径 R 的变化率． 5．设 3 3 x a t y a t = = cos , sin ． （1）求 y t '( ) ； （2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数． 6．证明：曲线 (cos sin ) (sin cos ) x a t t t y a t t t = + = − 上任一点的法线到原点的距离恒等于 a ． §4 高阶微商与高阶微分 1.求下列函数在指定点的高阶导数： （1） 3 2 f x x x x ( ) 3 4 5 9 = + − − ，求 (4) f f f ''(1) , '''(1), (1) ； （2） 2 ( ) , 1 x f x x = + 求 f f f ''(0), ''(1) , ''( 1) − ． 2．求下列函数的高阶导数： （1） y x x = ln ，求 y '' ；
求 y 求y arcsin x (4)y 求y (5)y=x5cosx,求y) (6)y=x 求y 3.求下列函数的n阶导数: (2)y=In 4.求下列函数的n阶导数 1) y 2) v=sin'x (3) (4)y (5)y=h++ (6)y=2ln 5.设∫(x)的各阶导数存在,求y"及y" (1)y=f(x2); (2)y=f(); (3)y=f(e-); (4)y=f(nx) (5)y=f(f(x))
（2） 2 x y e − = ，求 y ''' ； （3） 2 2 , x y x e = 求 ( ) n y ； （4） 2 arcsin 1 x y x = − ，求 ( ) n y ； （5） 5 y x x = cos ，求 (50) y ； （6） 3 2 x x e e y x − − = ，求 (30) y ． 3．求下列函数的 n 阶导数： （1） x y a = ； （2） y x = ln ． 4．求下列函数的 n 阶导数： （1） 1 (1 2 ) y x x = − ； （2） 2 y x = sin ； （3） 1 2 8 y x x = − − ； （4） x e y x = ； （5） 2 ln 1 x y x + = − ； （6） 2 ln x y x = ． 5．设 f x( ) 的各阶导数存在，求 y '' 及 y '''． （1） 2 y f x = ( ) ； （2） 1 y f ( ) x = ； （3） ( ) x y f e− = ； （4） y f x = (ln ) ； （5） y f f x = ( ( ))．
X≠ 明f(0)=0 求下列函数的二阶微分 (2)y=arctan (3)y=f(u)=e,l=0(x)=x2 求下列函数的三阶微分 (1)设l(x)=lnx,v(x)=e,求d(),d() (2)设(x)=e2,yv(x)=cos2x,求d(),d(") 9.求下列参数方程的二阶导数: 2t-t2 1) x= a cos t (2) y=asin (4) y=e x= a cos t (5) y=asin I x=f(1) (6) y=yf()-f(1) 10.求下列隐函数的二阶导数 (1)e (2)x3+y3-3ay=0 (3)y2+2ln =0
6．若 2 1 , 0 ( ) 0 , 0 x e x f x x − = = ，证明 ( ) (0) 0 n f = ． 7．求下列函数的二阶微分： （1） 1 y x = ； （2） y x x = arctan ； （3） 2 ( ) , ( ) u y f u e u x x = = = = ． 8．求下列函数的三阶微分： （1）设 ( ) ln , ( ) , x u x x v x e = = 求 3 3 ( ), ( ) u d uv d v ； （2）设 2 ( ) , ( ) cos 2 x u x e v x x = = ，求 3 ( ), ( ) u d uv d v ． 9．求下列参数方程的二阶导数： （1） 2 3 2 3 x t t y t t = − = − ； （2） cos sin x a t y a t = = ； （3） ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t = − = − ； （4） cos sin t t x e t y e t = = ； （5） 3 3 cos sin x a t y a t = = ； （6） '( ) '( ) ( ) x f t y tf t f t = = − ． 10．求下列隐函数的二阶导数 2 2 d y dx ： （1） 0 x y e xy + − = ； （2） 3 3 x y axy + − = 3 0 ； （3） 2 4 y y x + − = 2ln 0 ．