第十三章幂级数 §1幂级数的收敛半径与收敛区域 1.求下列各幂级数的收敛域 (2x) (2) > n(n+D) n+1 n+1 +(-1 n (6) (-2) (x+1) 2(2n+1x
第十三章 幂级数 §1 幂级数的收敛半径与收敛区域 1． 求下列各幂级数的收敛域. ⑴ 1 (2 ) ; ! n n x n = ⑵ 1 1 ln( 1) ; 1 n n n x n + = + + ⑶ 1 1 ; n n n n x n = + ⑷ 2 1 ; 2 n n n x = ⑸ 1 3 ( 1) ; n n n n x n = + − ⑹ 1 3 ( 2) ( 1) ; n n n n x n = + − + ⑺ 1 (2 )!! ; (2 1)!! n n n x n = + ⑻ 2 1 1 1 ; n n n x n − = + ⑼ 1 ( 1) ; n n n n x n n = − ⑽ 1 ; 5 7 n n n n x = + ⑾ 2 1 ( !) ; (2 )! n n n x n = ⑿ 1 1 1 1 ; 2 n n x n = + + + ⒀ 1 ; n n nx =
(2n-1) nal n 2.设幂级数∑anx的收敛半径为R,∑bx”的收敛半径为Q,讨论下列级数的 收敛半径: (2)∑(an+bx" 3.设|∑ax2|≤M(n=01…;x>0),求证:当0<x<x时,有 anx"|≤M §2幂级数的性质 1.设f(x)=∑ax当1x|<r时收敛,那么当∑“,r收敛时有 (xk=∑,r, 不论∑ax当x=r时是否收敛
⒁ 2 1 1 ( 2) ; (2 1)! n n x n − = − − ⒂ 2 1 (0 < <1); n n n a x a = ⒃ 1 . n p n x n = 2．设幂级数 0 n n n a x = 的收敛半径为 R ， 0 n n n b x = 的收敛半径为 Q ，讨论下列级数的 收敛半径： ⑴ 2 1 n n n a x = ； ⑵ 1 ( ) n n n n a b x = + ； ⑶ 1 n n n n a b x = . 3．设︱ 1 0 n k k k a x = ︱≤M 1 = ( 0,1, 0 ) n x ，求证：当 0＜ x ＜ 1 x 时，有 ⑴ 0 n n n a x = 收敛； ⑵ 0 n n n a x M = . §2 幂级数的性质 1．设 0 ( ) n n n f x a x = = 当︱ x ︱＜ r 时收敛，那么当 1 0 1 n n n a r n + = + 收敛时有 1 0 0 ( ) 1 r n n n a f x dx r n + = = + ， 不论 0 n n n a x = 当 = x r 时是否收敛
2.利用上题证明 In(1-x) 3.用逐项微分或逐项积分求下列级数的和: (2)nx (3)∑n(n+1) n(2n-1) (-1)”n f(n+1)! 4n-1 n十 4.求下列级数的和 (1) n(2n+1) 5.证明 ∑满足方程y
2． 利用上题证明 1 2 0 1 1 (1 ) 1 n n x dx x n = − = − . 3． 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和： ⑴ 1 n n x n = ; ⑵ 1 n n nx = ; ⑶ 1 ( 1) n n n n x = + ; ⑷ 1 2 1 ( 1) (2 1) n n n x n n − = − − ; ⑸ 2 1 1 !2 n n n n x n = + ; ⑹ 3 1 ( 1) ( 1)! n n n n x n = − + ; ⑺ 4 1 0 4 1 n n x n − = + ; ⑻ 1 0 (2 1) n n n x + = − ; ⑼ 2 1 1 n n n x − = ; ⑽ 2 2 1 1 (2 1) ! n n n x n + = + . 4． 求下列级数的和： ⑴ 1 2 1 2 n n n = − ; ⑵ 1 1 n n n (2 1) = + . 5． 证明： ⑴ 4 0 (4 )! n n x n = 满足方程 (4) y y = ；
满足方程xy+y-y=0 (m)2 6.设f(x)是幂级数∑ax”在(-RR)上的和函数,若f(x)为奇函数,则级数中仅 出现奇次幂的项;若∫(x)为偶函数,则级数中仅出现偶次幂的项 7.设∫(x)= (1)求证:f(x)在[-,连续,f(x)在(-1,1)内连续; (2)求证:f(x)在点x=-1可导; (3)求证:limf(x)=+o ()求证:f(x)在点x=1不可导 §3函数的幂级数展开 1.利用基本初等函数的展式,将下列函数展开为麦克劳林级数,并说明收敛区间 a≠0 (1+x) (7)(1+x)e-x; (8)1n(x+ )
⑵ 2 0 ( !) n n x n = 满足方程 '' ' xy y y + − = 0. 6．设 f x( ) 是幂级数 0 n n n a x = 在 ( , ) −R R 上的和函数，若 f x( ) 为奇函数，则级数中仅 出现奇次幂的项；若 f x( ) 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项. 7．设 2 1 ( ) 1 (1 ) n n x f x n n n = = + . ⑴ 求证： f x( ) 在 [ 1,1] − 连续， ' f x( ) 在 ( 1,1) − 内连续； ⑵ 求证： f x( ) 在点 x =−1 可导； ⑶ 求证： 1 lim '( ) x f x → − = + ； ⑷ 求证： f x( ) 在点 x =1 不可导. §3 函数的幂级数展开 1． 利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并说明收敛区间. ⑴ 1 , 0 a a x − ; ⑵ 2 1 ; (1 ) + x ⑶ 3 1 ; (1 ) + x ⑷ 2 cos x ; ⑸ 3 sin x ; ⑹ ; 1 3 x − x ⑺ (1 ) x x e − + ; ⑻ 2 1 ( 1 ); n x x + +
arcsin x D1n(1+x+x2) (2 arctan x-In 1+x r sin t (4cost'dt 2.利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式 () In(+x) +x (2)(arctan x) (3)n(1-x) 3.将下列函数在指定点x展开为泰勒级数: ,x0=b(≠a) (2)1n 2+2x+x2 (3)inx,x0=2 (4)e,x0=1 4.展开 )为x的幂级数,并推出1=∑ n (n+1)! 5.试将f(x)=lnx展开成—,的幂级数 6.设函数f(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在M>0,对一切x∈(a,b), 有 f"(x)≤M,n=1,2, 证明:对(a,b)内任意点x与x,有 f(x)=∑ x (x-x0)
⑼ 2 1 ; 1 3 2 − +x x ⑽ arcsin x ; ⑾ 2 1 (1 ); n x x + + ⑿ 2 x x x arctan ln 1 ; − + ⒀ 0 sin ; x t dt t ⒁ 2 0 cos . x t dt 2．利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式： ⑴ 1 (1 ) ; 1 n x x + + ⑵ 2 (arctan ) x ; ⑶ 2 1 (1 ). n x − 3．将下列函数在指定点 0 x 展开为泰勒级数： ⑴ 0 1 , ( ); x b a a x = − ⑵ 2 0 1 1 , 1; 2 2 n x x x = − + + ⑶ 0 ln , 2 = x x ; ⑷ 0 , 1. x e x = 4．展开 1 ( ) x d e dx x − 为 x 的幂级数，并推出 1 1 . n ( 1)! n n = = + 5．试将 f x x ( ) ln = 展开成 1 1 x x − + 的幂级数. 6．设函数 f x( ) 在区间 ( , ) a b 内的各阶导数一致有界，即存在 M ＞0，对一切 x a b ( , ) ， 有 ( ) | ( ) | , 1, 2, n f x M n = , 证明：对 ( , ) a b 内任意点 x 与 0 x ，有 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . ! n n n f x f x x x n = = −