第八章函数 §1泰勒公式 1.写出下列函数在x=0的带佩亚诺余项的泰勒展开式 (2) coSx (3)ln(1-x) +x x3+2x+1 (6) sinx (8)In 2.写出下列函数在x=0的泰勒公式至所指的阶数 (2) In cos x,(x°) 3.求下列函数在x=1的泰勒展开式 1)In (2)a (3)P(x)=x3-2x2+3x+5 4.确定常数a,b,使x→0时 (1)f(x)=(a+ bcos x)sinx-x为x的5阶无穷小
第八章 函数 §1 泰勒公式 1． 写出下列函数在 x = 0 的带佩亚诺余项的泰勒展开式： (1) 2 x e ； (2) 2 cos x ； (3) ln(1 ) − x ； (4) 2 1 (1 ) + x ； (5) 3 2 1 1 x x x + + − ； (6) 3 sin x ； (7) 2 2 1 x x x + − ； (8) 1 ln 1 2 x x + − ； 2． 写出下列函数在 x = 0 的泰勒公式至所指的阶数： (1) sin 3 ,( ) x e x ； (2) 6 ln cos ,( ) x x ； (3) 4 ,( ) sin x x x ； (4) 2 4 2 ,( ) 1 x x − +x x ； 3． 求下列函数在 x =1 的泰勒展开式： (1) ln x ； (2) x a ； (3) 3 2 P x x x x ( ) 2 3 5 = − + + ； 4． 确定常数 a，b ，使 x →0 时， (1) f x a b x x x ( ) ( cos )sin = + − 为 x 的 5 阶无穷小；
(2)f(x)=e1+ax 为x的3阶无穷小 5.利用泰勒公式求极限 (1)lim-- →( x sInx (2) lim sin 2x (3) lim/n+In1+ n (4) lim x→22ln(1+x2) (5)lim( 6.设f(x)在原点的邻域二次可导,且 lim sin 3x_ f(x) 0 (1)f(0),f(0)2f"(0); (2) 1.f(x) 7.设∫(x)在实轴上任意次可导,令F(x)=f(x2),求证: 2n+ <(2m0)f(0) (2m)! 8.设P(x)为一n次多项式, (1)P(a),P(a)…,P(a)皆为正数,证明P(x)在(a,+∞)上无根 (2)P(a),P(a)…,P"(a)正负号相间,证明P(x)在(-∞,a)上无根: 9.求证: (1)e=1+1+-+… (0<6<1); n!(n+1)! (2)e是无理数 0.设f(x)在[a,b]上有二阶导数,且∫(a)=∫(b)=0,则存在c∈(an,b),使
(2) 1 ( ) 1 x ax f x e bx + = − + 为 x 的 3 阶无穷小； 5． 利用泰勒公式求极限： (1) 1 1 lim x→ x x sin − ； (2) 3 3 6 1 lim sin 2 x x e x → x − − ； (3) 1 1 lim ln 1 n 2 n → n + + ； (4) 2 1 cos(sin ) lim 2ln(1 ) x x → x − + ； (5) 3 3 2 lim( 3 2 ) x x x x x → + − − ； 6． 设 f x( ) 在原点的邻域二次可导，且 3 2 sin 3 ( ) lim 0 x x f x → x x + = (1) f f f (0), '(0), ''(0) ； (2) 2 2 0 1 ( ) lim x f x → x x + ； 7． 设 f x( ) 在实轴上任意次可导，令 2 F x f x ( ) ( ) = ，求证： (2 ) ( ) (2 1) (0) (0) (0) 0, (2 )! ! n n n F f F n n + = = . 8． 设 P x( ) 为一 n 次多项式， (1) ( ) ( ), '( ), , ( ) n P a P a P a 皆为正数，证明 P x( ) 在 ( , ) a + 上无根； (2) ( ) ( ), '( ), , ( ) n P a P a P a 正负号相间，证明 P x( ) 在 ( , ) − a 上无根； 9． 求证： (1) 1 1 1 1 (0 1) 2! ! ( 1)! e e n n = + + + + + ； (2) e 是无理数； 10． 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上有二阶导数，且 f a f b '( ) '( ) 0 = = ，则存在 c a b ( , ) ，使
4 f"c)≥a (b- = 5(b)-f(a) 1l.设∫(x)在a点附近二次可导,且∫"(a)≠0,由微分中值定理: f(a+h)-f(a)=f(a+bh)h,0<6<1 求证:limb 12.证明:若函数∫(x)在区间[a,b]上恒有∫"(x)≥0,则在[a,b]内任意两点x,x2 都有 (x)+/(x)≥f(西士五 2微积分在几何与物理中的应用 1,求下列各曲线所围成的图形面积 (1)y2=4(x+1),y2=4(1-x) (2)y=lnxl,y=0(0.1≤x≤10) (3)y=x,y=x+sinx(0≤x≤丌) =2x,x=5; (5)y=x2,y=x+5 2.求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积: (1)双纽线r2=a2cos2o, (2)三叶玫瑰线r=asin3q (3)蚌线r= acos+b(b≥a) 3.求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积: (2)摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2丌)及x轴 (3)圆的渐开线x=a(cost+ tsin t),y=a(sint-tcos1),(0≤t≤2丌),及半直线
2 4 ''( ) ( ) ( ) ( ) f c f b f a b a − − 11． 设 f x( ) 在 a 点附近二次可导，且 f a ''( ) 0 ，由微分中值定理： f a h f a f a h h ( ) ( ) '( ) , 0 1 + − = + 求证： 0 1 lim h 2 → = 12． 证明：若函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上恒有 f x ''( ) 0 ，则在 [ , ] a b 内任意两点 1 2 x x, ， 都有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 f x f x x x f + + . §2 微积分在几何与物理中的应用 1，求下列各曲线所围成的图形面积： (1) 2 2 y x y x = + = − 4( 1), 4(1 ); (2) y x y x = = | ln |, 0 (0.1 10); (3) 2 y x y x x x = = + , sin (0 ); (4) 2 y x x = = 2 , 5; (5) 2 y x y x = = + , 5; (6) 2 2 2 3 3 3 x y a + = ; 2．求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积： (1) 双纽线 2 2 r a = cos2 ; (2) 三叶玫瑰线 r a = sin 3 ; (3) 蚌线 r a b b a = + cos ( ). 3．求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积： (1) 2 2 3 x t t y t t = − = − 2 , 2 ; (2) 摆线 x a t t y a t t = − = − ( sin ), (1 cos ) (0 2 ) 及 x 轴； (3) 圆的渐开线 x a t t t y a t t t t = + = − (cos sin ), (sin cos ), (0 2 ) ，及半直线
x=a(y≤0),其中a>0 4.直线y=x把椭圆x2+3y2=6y的面积分成两部分A(小的一块)和 B(的一块),之值 5,求r=3c056和r=1+cos所围的公共部分的面积 6,求下列旋转体的体积: (1)椭圆 4b≈1绕x轴 (2)y=sinx,y=0(0≤x≤丌) ()绕x轴,(i)绕y轴 (3)旋轮线x=a(t-sint),y=a(1-co)(0≤t≤2丌),y=0 (i)绕x轴,(i)绕y轴,(i绕直线y=2a (4)双曲线-=1与直线x=±h所围的图形绕x轴旋转, 7.求由下列各曲面所围成的几何体的体积 s(1)求截锥体的体积,其上,下底皆为椭圆,椭圆的轴长分别等于A,B和 b,而高为h; (2)正圆台:其上下底分别是半径为a、b的圆,而其间的距离为h 8.已知球半径为R,试求高为h的球冠体积(h≤R) 9求下列曲线的弧长: (1)y=x2,0≤x≤1 (2)y=e2,l≤x≤2 (3)√x+√= (4)星形线x=acos3ty=asin3t(0≤t≤2丌) (5)圆的渐开线x=a(cost+ tsin t),y=a(sint- t cost),a>0,0≤t≤2r (6)r=asin3÷(a>0) (7)心脏线r=a(1+cosb),0≤6≤2r,a>0. 0.求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径 (1)xy=4在点(2
x a y = ( 0) ，其中 a 0． 4．直线 y x = 把椭圆 2 2 x y y + = 3 6 的面积分成两部分 A(小的一块)和 B(的一块)， A B 之值． 5，求 r = 3cos 和 r = +1 cos 所围的公共部分的面积． 6，求下列旋转体的体积： (1) 椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 绕 x 轴； (2) y x y x = = sin , 0 (0 ) (i)绕 x 轴， (ii)绕 y 轴； (3) 旋轮线 x a t t y a t t y = − = − = ( sin ), (1 cos ) (0 2 ), 0 (i)绕 x 轴， (ii)绕 y 轴， (iii)绕直线 y a = 2 ; (4) 双曲线 2 2 2 2 1 y x b a − = 与直线 x h = 所围的图形绕 x 轴旋转， 7．求由下列各曲面所围成的几何体的体积： (1)求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等于 A，B 和 a，b，而高为 h； (2)正圆台：其上下底分别是半径为 a、b 的圆，而其间的距离为 h． 8．已知球半径为 R，试求高为 h 的球冠体积(h≤R)． 9-求下列曲线的弧长： (1) 2 y x x = , 0 1; (2) 2 y e x = ,1 2; (3) x y + =1; (4) 星形线 3 3 x a t y a t t = = cos sin (0 2 ); (5) 圆的渐开线 x a t t t y a t t t a t = + = − (cos sin ), (sin cos ), 0, 0 2 ; (6) 3 sin ( 0); 3 r a a = (7) 心脏线 r a a = + (1 cos ), 0 2 , 0. 10．求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径： (1) xy = 4 在点(2，2)；
(2)y=lnx在点(1,0) 11.求下列曲线的曲率与曲率半径: (1)抛物线y2=2px(p>0) (2)双曲线 l; (3)星形线x3+y3=a3 12.求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径: (1)旋轮线x=a(t-sinD),y=a(1-cost)(a>0) (2)椭圆x= a cos t,y= bint(a,b>0) (3)圆的渐开线x=a(cost+ tsint),y=a(sint- t cos t) 13.求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径: (1)心脏线r=a(1+cosO)(a>0 (2)双纽线r2=2a2cos20(a>0) (3)对数螺线r=ae(>0) 14.设曲线是用极坐标方程r=r(0)给出,且二阶可导,证明它在点O处 曲率为 r2+2 十r 15.证明抛物线y=ax2+bx+C在顶点处的曲率半径为最小 6.求曲线y=2(x-1)2的最小曲率半径 17.求曲线y=e上曲率最大的点 18.求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积: 0≤x≤丌绕x轴 (2)x=a(t-sint),y=a(1-cos),a>0,0≤t≤2n绕直线y=2a; 1(a>b)绕x轴
(2) y x = ln 在点(1，0)． 11．求下列曲线的曲率与曲率半径： (1) 抛物线 2 y px p = 2 ( 0); (2) 双曲线 2 2 2 2 1; x y a b − = (3) 星形线 2 2 2 3 3 3 x y a + = ; 12．求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径： (1) 旋轮线 x a t t y a t a = − = − ( sin ), (1 cos ) ( 0); (2) 椭圆 x a t y b t a b = = cos , sin ( , 0); (3) 圆的渐开线 x a t t t y a t t t = + = − (cos sin ), (sin cos ). 13．求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径： (1) 心脏线 r a a = + (1 cos ) ( 0); (2) 双纽线 2 2 r a a = 2 cos 2 ( 0); (3) 对数螺线 r ae ( 0). = 14．设曲线是用极坐标方程 r r = ( ) 给出，且二阶可导，证明它在点 处 曲率为 2 2 3 2 2 2 | 2 ' '' | . ( ' ) r r rr K r r + − = + 15．证明抛物线 2 y ax bx c = + + 在顶点处的曲率半径为最小． 16．求曲线 2 y x = − 2( 1) 的最小曲率半径． 17．求曲线 x y e = 上曲率最大的点． 18．求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积： (1) y x x = sin , 0 绕 x 轴； (2) x a t t y a t a t = − = − ( sin ), (1 cos ), 0, 0 2 绕直线 y a = 2 ; (3) 2 2 2 2 1 ( ) x y a b a b + = 绕 x 轴；
(4)x=acos3t,y=asin3t绕x轴 2a2cos2绕极轴 19.求下列曲线段的质心 (1)半径为r,弧长为专ma(a≤)的均匀圆弧 (2)对数螺线r=ae"(a>0,k>0)上由点(0,a)到点(O,n)的均匀弧段 (3)以A0,0),B(0,1),C2,1),D(2,0)为顶点的矩形周界,曲线上任一点的密度 等于该点到原点距离的2倍; (4)x=a(t-sint,y=a(1-cost)0≤t≤2丌,a>0,密度为常数 20,已知一抛物线段y=x2(-1≤x≤1),曲线段上任一点处的密度与该点到y轴的距 离成正比,x=1处密度为5,求此曲线段的质量. 21.轴长10m,密度分布为p(x)=(6+0.3x)kgm,其中x为距轴的一个端点的距离 求轴的质量 2.求半球0≤≤√R2-x2-y2的质 23求锥体√x2+y2≤z≤h的质心和绕:轴的转动惯量 24.求抛物体x2+y2≤z≤h的质心和绕z轴的转动惯量 §3微积分方程初步 求下列微分方程的通解: yIn y=0; (2)y′=,/~ (3)3x2+5x-5y=0 (4) xydx+(x+1)dy=0; (5)y-xy2=a(y2+y) (6)(y+3)dx+cot xdy=0 dx
(4) 3 3 x a t y a t = = cos , sin 绕 x 轴； (5) 2 2 r a = 2 cos 2 绕极轴． · 19．求下列曲线段的质心： (1) 半径为 r ，弧长为专 1 ( ) 2 的均匀圆弧； (2) 对数螺线 ( 0, 0) k r ae a k = 上由点 (0, ) a 到点 ( , ) r 的均匀弧段； (3) 以 A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)为顶点的矩形周界，曲线上任一点的密度 等于该点到原点距离的 2 倍； (4) x a t t y a t t a = − = − ( sin ), (1 cos ) 0 2 , ，密度为常数． 20，已知一抛物线段 2 y x x = − ( 1 1) ，曲线段上任一点处的密度与该点到 y 轴的距 离成正比， x =1 处密度为 5，求此曲线段的质量． 21．轴长 10m，密度分布为 ( ) (6 0.3 )kg/m x x = + ，其中 x 为距轴的一个端点的距离， 求轴的质量． 22．求半球 2 2 2 0 − − z R x y 的质心 23。求锥体 2 2 x y z h + 的质心和绕 z 轴的转动惯量． 24．求抛物体 2 2 x y z h + 的质心和绕 z 轴的转动惯量． §3 微积分方程初步 1．求下列微分方程的通解： (1) xy y y ' ln 0; − = (2) 2 2 1 ' ; 1 y y x − = − (3) 2 3 5 5 ' 0; x x y + − = (4) 2 xydx x dy + + = ( 1) 0; (5) 2 y xy a y y − = + ' ( '); (6) ( 3) cot 0; y dx xdy + + = (7) 10 ; dy x y dx + =
(8) xsec ydx+(+Ddy=0, (9)(e-e)d+(e+e)dh=0, (10) yIn xdx+xIn ydy=0 2,求已给微分方程满足初始条件的特解 dy sInx yIn y, e 1+y dy=0,y 3.质量为1g的质点受力作用作直线运动,这力和时间成正比,和质点运动的速度成反 比,在t=10s时,速度等于50cm/s,力为4×105N.问从运动开始经过了一分钟后的速 度是多少? 4.镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与镭所现存的量R成正比,由经验材料断定, 镭经过1600年后,只余原始量R。的一半,试求镭的量R与时间t的函数关系
(8) x ydx x dy sec ( 1) 0; + + = (9) ( ) ( ) 0; x y x x y y e e dx e e dy + + − + + = (10) y xdx x ydy ln ln 0. + = 2，求已给微分方程满足初始条件的特解： (1) 2 sin ln , ; | x dy x y y y e dx = = = (2) 2 0 ' , 0; | x y x y e y − = = = (3) 0 0, 1. 1 1 | x x y dx dy y y x = − = = + + 3．质量为 1g 的质点受力作用作直线运动，这力和时间成正比，和质点运动的速度成反 比，在 t =10s 时，速度等于 50cm／s，力为 4×10-5N．问从运动开始经过了一分钟后的速 度是多少? 4．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与镭所现存的量 R 成正比，由经验材料断定， 镭经过 1600 年后，只余原始量 R。的一半，试求镭的量 R 与时间 t 的函数关系．