第四章函数的连续性 习题 §1连续性概念 1.按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f()=1 (2)f(x)= 2.指出下列函数的间断点并说明其类型: (1)f(x)=x+ (2)f(x)= sIn x (3)f(x)=cos x] (4)f(x)=思gx; (5)f(x)=sgn(cos x) x,x为有理数 (6)f(x -x,x为无理数 x+7 (7)f(x) x,-7≤x≤1 (x-1sin 1<x<+∞ 3.延拓下列函数,使其在R上连续: (1)f(x)=x-8 (2)f(x)= OSx (3)(x)=xcos 4.证明:若∫在点x连续,则与尸2也在点x连续。又问:若/与f2在/上连续, 那么∫在上是否必连续? 5.设当x≠0时f(x)=g(x,而f(0)≠g(0)。证明:f与g两者中至多有一个在x=0 连续 6.设∫为区间/上的单调函数。证明:若x∈为∫的间断点,则x0必是∫的第一类间 断点 7.设∫只有可去间断点,定义g(x)=lmf(),证明:g为连续函数 8.设∫为R上的单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明:g在R上每一点都右连续 举出定义在[]上分别符合下述要求的函数
1 第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） ( ) x f x 1 = ； （2） f (x) = x 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1） ( ) x f x x 1 = + ； （2） ( ) x x f x sin = ； （3） f (x) = cos x ； （4） f (x) = sgn x ； （5） f (x) = sgn(cos x) ； （6） ( ) − = 为无理数； 为有理数， x x x x f x , , （7） ( ) ( ) + − − − − − + = x x x x x x x f x ,1 1 1 1 sin , 7 1 , 7 7 1 3． 延拓下列函数，使其在 R 上连续： （1） ( ) 2 8 3 − − = x x f x ； （2） ( ) 2 1 cos x x f x − = ； （3） ( ) x f x x 1 = cos . 4． 证明：若 f 在点 0 x 连续，则 f 与 2 f 也在点 0 x 连续。又问：若 f 与 2 f 在 I 上连续， 那么 f 在 I 上是否必连续？ 5． 设当 x 0 时 f (x) g(x) ，而 f (0) g(0) 。证明： f 与 g 两者中至多有一个在 x = 0 连续 6． 设 f 为区间 I 上的单调函数。证明：若 x I 0 为 f 的间断点，则 0 x 必是 f 的第一类间 断点 7． 设 f 只有可去间断点，定义 g(x) f (y) y→x = lim ，证明： g 为连续函数 8． 设 f 为 R 上的单调函数，定义 g(x) = f (x + 0) ，证明： g 在 R 上每一点都右连续 9． 举出定义在 0,1 上分别符合下述要求的函数：
(1)只在11 三点不连续的函数;(2)只在111 三点连续的函数 (3)只在(n=1,2…)上间断的函数;4)只在x=0右连续,而在其他点都不连续的函数 §2连续函数的性质 论复合函数∫。g与go∫的连续性,设 (1)f(x)=sgnx,g(x)=1+x2;(2)y(x)=gx,g(x)=(-x2kx 2.设∫,g在点x0连续,证明 (1)若/(x0)>g{x),则存在U(x,),使在其内有f(x)>g(x) (2)若在某U(x)内有f(x)>g(x),则∫(x)>g(x) 设∫,g在区间/连续,记F(x)=mx{(x)g(x)G(x)=mmn{f(x)g(x).证明: F,G也在/上连续 4.设∫为R上连续函数,常数c>0.记 若f(x F(x)={f(x)若/(x)≤c c,若f(x)>c 证明:F在R上连续 5设/()2=smx8(x)={x-x,x≤0 证明:复合函数∫°g在x=0连续,但g在x=0 不连续 6.设∫在+∞)上连续,且mf(x)存在证明:∫在[a+∞)上有界又问在[a+∞)上 必有最大值或最小值吗 7若对任何充分小的E>0,f在{a+Eb-上连续,能否由此推出∫在(ab)内连续 8.求极限: (1)lim(T-x)tanx (2)m1+2x x+1 9证明:若∫在[ab]上连续,且对任何x∈[ab]f(x)≠0,则∫在[ab]上恒正或恒负 10.证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根
2 （1）只在 4 1 , 3 1 , 2 1 三点不连续的函数； （2）只在 4 1 , 3 1 , 2 1 三点连续的函数； （3）只在 ( 1,2,) 1 n = n 上间断的函数；4）只在 x = 0 右连续，而在其他点都不连续的函数 §2 连续函数的性质 1． 论复合函数 f g 与 g f 的连续性，设 （1） f (x) = sgn x ， ( ) 2 g x =1+ x ；（2） f (x) = sgn x ， g(x) ( x )x 2 = 1− . 2. 设 f , g 在点 0 x 连续，证明： （1）若 ( ) ( ) 0 0 f x g x ，则存在 ( , ) 0 x ，使在其内有 f (x) g(x) ； （2）若在某 ( ) 0 0 x 内有 f (x) g(x) ，则 ( ) ( ) 0 0 f x g x 3. 设 f , g 在区间 I 连续.记 F(x) = maxf (x), g(x),G(x) = min f (x), g(x).证明： F,G 也在 I 上连续. 4. 设 f 为 R 上连续函数，常数 c 0 .记 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − = , , , , , , c f x c f x f x c c f x c F x 若 若 若 证明： F 在 R 上连续. 5.设 ( ) ( ) + − = = , 0. , 0, sin , x x x x f x x g x 证明：复合函数 f g 在 x = 0 连续，但 g 在 x = 0 不连续. 6.设 f 在 a,+) 上连续，且 f (x) x→+ lim 存在.证明： f 在 a,+) 上有界.又问 f 在 a,+) 上 必有最大值或最小值吗？ 7.若对任何充分小的 0， f 在 a +,b − 上连续，能否由此推出 f 在 (a,b) 内连续. 8.求极限： （1） ( x) x x lim tan 4 − → ； （2） 1 1 2 1 lim 2 1 + + − − → + x x x x x . 9.证明：若 f 在 a,b 上连续，且对任何 xa,b, f (x) 0 ，则 f 在 a,b 上恒正或恒负. 10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根
1l.试用一致连续的定义证明:若∫,g都在区间/上一致连续,则∫+g也在区间I上 致连续 12.证明:f(x)=√x在区间[+)上一致连续 13.证明:f(x)=x2在区间[ab]上一致连续,但在区间(,+)上不一致连续 14.设函数∫在区间上满足利普希芝条件,即存在常数L>0,使得对/上任意两点x,x 都有 )≤12-x,证明:在l上一致连续 15.证明:smx在(a+∞)上一致连续 16.设函数∫满足第6题的条件证明:∫在[a+∞)上一致连续 17.设∫在a]上连续,且f(0)=f(2a).证明:存在点x∈回2d],使得 f(xo)=f(xo+a 18.设∫为b上的增函数,其值域为[f(a)f(b)证明:f为[上连续 19.设∫为[叵b]上连续,x1,x2…xn∈[ab]证明:存在∈[a,使得 (x)=-[(x)+/(x2)+…+f(, 证明:f(x)=cos√x在[+∞)上一致连续 §3初等函数的连縷性 1.求下列极限: (1)lim e cosx+5 (2) linux+yx+√x-yx; (3)lm ox Vx vx x+yX+√X (4)lm (5)lim(1+sin x) +1 2.设lman=a>0,mbn=b.证明:lmab=a 总练习题 1.设函数∫在(anb)内连续,且/(a+0)与f(b-)为有限值证明:
3 11．试用一致连续的定义证明：若 f , g 都在区间 I 上一致连续，则 f + g 也在区间 I 上一 致连续. 12．证明： f (x) = x 在区间 0,+) 上一致连续. 13．证明： ( ) 2 f x = x 在区间 a,b 上一致连续，但在区间 (− ,+) 上不一致连续. 14．设函数 f 在区间 I 上满足利普希芝条件，即存在常数 L 0 ，使得对 I 上任意两点 / // x , x 都有 ( ) ( ) / // / // f x − f x L x − x .证明： f 在 I 上一致连续. 15．证明： sin x 在 (− ,+) 上一致连续. 16．设函数 f 满足第 6 题的条件.证明： f 在 a,+) 上一致连续. 17 ． 设 f 在 0,2a 上 连 续 ， 且 f (0) = f (2a) . 证 明 ： 存 在 点 x 0,2a 0 ，使得 f (x ) = f (x + a) 0 0 18．设 f 为 a,b 上的增函数，其值域为 f (a), f (b).证明： f 为 a,b 上连续. 19．设 f 为 a,b 上连续.， x x x a b n , , , , 1 2 .证明：存在 a,b ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) n f x f x f x n f x = 1 + 2 ++ 1 . 20．证明： f (x) = cos x 在 0,+) 上一致连续. §3 初等函数的连续性 1． 求下列极限： （1） x ( x) e x x x + + − + → 1 ln 1 cos 5 lim 2 0 ； （2） + + − →+ x x x x x lim ； （3） + + − − + → + x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 lim 0 ； （4） 1 lim + + + →+ x x x x x ； （5） ( ) x x x cot 0 lim 1+ sin → . 2． 设 a a bn b n n n = = → → lim 0,lim .证明： b b n n a a n = → lim . 总练习题 1． 设函数 f 在 (a,b) 内连续，且 f (a + 0) 与 f (b − 0) 为有限值.证明：
(1)f在(ab)内有界; (2)若存在∈(anb),使得f()≥mx{(a+0)f(b-0),则f在(ab)内能取到 最大值 2.设函数∫在(ab)内连续,且f(a+0)=f(b-0)=+∞证明:f在(ab)内能取到最小 3.设函数∫在区间/上连续,证明: (1)若对任何有理数r∈l有f(r)=0,则在上f(x)=0 (2)若对任意两个有理数r,2,<,有f()<f(2),则∫在上严格增 4.设a1,a2,a3为正数,1<2<λ3证明:方程 A1 在区间(1,2)与(λ2,A)内各有一个根 5.设∫在[]上连续,且对任何x∈[b,存在y∈叵b,使得 证明:存在∈[ab,使得f()=0 6.设∫在[ab]上连续,x1x2…xn∈[b,另有一组正数λ,2…n满足 λ1+2+…+n=1证明:存在一点5∈[ab],使得 f()=4/(x1)+2f(x2)+…+n/(xn) 7.设∫在+∞)上连续,满足0≤f(x)≤x,x∈[0+∞).设a1≥0,am=f(an) n=1,2,…证明 (1){an}为收敛数列 (2)设mnan=1,则有f()=t; (3)若条件改为0≤f(x)<x,x∈[0+∞),则t=0 8.设∫在上连续,f(0)=f()证明:对任何正整数n,存在占∈[],使得
4 （1） f 在 (a,b) 内有界； （2）若存在 (a,b) ，使得 f () maxf (a + 0), f (b − 0) ，则 f 在 (a,b) 内能取到 最大值. 2．设函数 f 在 (a,b) 内连续，且 f (a + 0) = f (b − 0) = +.证明： f 在 (a,b) 内能取到最小 值. 3．设函数 f 在区间 I 上连续，证明： （1）若对任何有理数 r I 有 f (r) = 0 ，则在 I 上 f (x) 0 ； （2）若对任意两个有理数 1 2 1 2 r ,r ,r r ，有 ( ) ( ) 1 2 f r f r ，则 f 在 I 上严格增. 4．设 1 2 3 a ,a ,a 为正数， 1 2 3 .证明：方程 0 3 3 2 2 1 1 = − + − + − x a x a x a 在区间 ( ) 1 2 , 与 ( ) 2 3 , 内各有一个根. 5．设 f 在 a,b 上连续，且对任何 xa,b ，存在 y a,b ，使得 f (y) f (x) 2 1 . 证明：存在 a,b ，使得 f ( ) = 0 . 6 ． 设 f 在 a,b 上连续， x x x a b n , , , , 1 2 ，另有一组正数 n , , , 1 2 满 足 1 + 2 ++ n =1.证明：存在一点 a,b ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f = f x + f x ++ f x 1 1 2 2 7．设 f 在 0,+) 上连续，满足 0 f (x) x, x0,+).设 0, ( ), 1 n 1 an a a = f + n = 1,2, .证明： （1） an 为收敛数列； （2）设 a t n n = → lim ，则有 f (t) = t ； （3）若条件改为 0 f (x) x, x0,+) ，则 t = 0. 8．设 f 在 0,1 上连续， f (0) = f (1).证明：对任何正整数 n ，存在 0,1 ，使得
f() 9.设∫在x=0连续,且对任何x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(U)证明 (1)f在R上连续;(2)f(x)=f()x 10设定义在R上的函数∫在0两点连续,且对任何x∈R有/(x2)=f(x)证明:∫为常 量函数 习题答案 §1连续性概念 2.(1)x=0,第二类间断点;(2)x=0,跳跃间断点; (3)x=nr(n=0±,±2,…),可去间断点;(4)x=0,可去间断点 (5)x=+kx(k=0±1±2,…),跳跃间断点;(6)除x=0外每一点都是跳跃间断点; (7)x=-7为第二类间断点,x=1为跳跃间断点 82连续函数的性质 1.(1)∫og处处连续,gof,x=0为可去间断点; (2)∫°g,x=-10,1为跳跃间断点,g。∫处处连续. 8.(1)-丌;(2) §3初等函数的连縷性 1.(1)6;(2)一;(3)1;(4)1;(5)e 典型习题解答 1.(§1第6题)设∫为区间I上的单调函数。证明:若x0∈I为∫的间断点,则x0必是 ∫的第一类间断点 证明;取UP(x)∈I,则∫在UP(x)上单调有界,从而∫(x+0)存在,又取∪(x0)c 则∫在∪P(x0)上单调有界,所以f(x-0)存在,但∫在点x不连续,因此x是∫的第 类间断点 2.(§1第7题)设∫只有可去间断点,定义g(x)=lmf(),证明:g为连续函数 证明:设x为∫的定义域内的任意点因为g(x)=lmf(),所以vE>0.豆61>0,使得
5 f ( ) n f = + 1 . 9．设 f 在 x = 0 连续，且对任何 x, y R 有 f (x + y) = f (x)+ f (y) .证明： （1） f 在 R 上连续； （2） f (x) = f (1)x . 10.设定义在 R 上的函数 f 在 0,1 两点连续，且对任何 xR 有 f (x ) = f (x) 2 .证明： f 为常 量函数. 习题答案 §1 连续性概念 2．（1） x = 0 ，第二类间断点；（2） x = 0 ，跳跃间断点； （3） x = n(n = 0,1,2, ) ，可去间断点；（4） x = 0 ，可去间断点； （5） ( 0, 1, 2,) 2 x = + k k = ，跳跃间断点；（6）除 x = 0 外每一点都是跳跃间断点； （7） x = −7 为第二类间断点， x =1 为跳跃间断点. §2 连续函数的性质 1．（1） f g 处处连续， g f ， x = 0 为可去间断点； （2） f g ， x = −1,0,1 为跳跃间断点， g f 处处连续. 8．（1） 4 3 ；（2） 2 3 . §3 初等函数的连续性 1．（1）6；（2） 2 1 ；（3）1；（4）1；（5） e . 典型习题解答 1．（§1 第 6 题）设 f 为区间 I 上的单调函数。证明：若 x I 0 为 f 的间断点，则 0 x 必是 f 的第一类间断点 证明；取 (x ) I + 0 0 ，则 f 在 ( ) 0 0 x + 上单调有界，从而 ( 0) f x0 + 存在，又取 (x ) I − 0 0 ， 则 f 在 ( ) 0 0 x − 上单调有界，所以 ( 0) f x0 − 存在，但 f 在点 0 x 不连续，因此 0 x 是 f 的第 一类间断点. 2．（§1 第 7 题）设 f 只有可去间断点，定义 g(x) f (y) y→x = lim ，证明： g 为连续函数 证明：设 0 x 为 f 的定义域内的任意点.因为 g(x) f (y) y→x = lim ，所以 0, 1 0 ，使得
当y∈U"(xo,)时,有/(y)-g(x)0,取6=E2,对vx,x"∈[+∞),只要x-x0,存在n,使得x-x=1<6,但 no 所以/(x)=x2在区间(-∞+∞)上不一致连续 5.(总练习题第8题)设∫在]上连续,f()=f(1)证明:对任何正整数n,存在 5∈0,使得 5+|=(5) 6
6 当 ( ) 0 1 0 y x , 时，有 ( )− ( ) 0 f y g x （1） ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 2 0 0 1 0 x x , , x , x , ，当 ( ) 0 2 0 y x , 时，（1）成立，从而 ( )− ( ) → 0 0 lim f y g x y x 即 ( )− ( ) 0 g x g x 因此 g(x) 在点 0 x 连续，由 0 x 的任意性， g(x) 为连续函数. 3．（§2 第 12 题）证明： f (x) = x 在区间 0,+) 上一致连续. 证明：因为 , 0,+) / // x x ，有 ( ) / // / // / // 2 / // x − x x − x x + x = x − x 所以 0 ，取 2 = ，对 , 0,+) / // x x ，只要 − / // x x ，就有 − / // x x 因此 x 在区间 0,+) 上一致连续. 4．（§2 第 13 题）证明： ( ) 2 f x = x 在区间 a,b 上一致连续，但在区间 (− ,+) 上不一 致连续. 证明：由 ( ) 2 f x = x 在区间 a,b 上连续，故 ( ) 2 f x = x 在区间 a,b 上一致连续 下证 ( ) 2 f x = x 在区间 (− ,+) 上不一致连续. 取 0 = 1 ，取 n x n n xn n n 1 , / 2 // = + = + ，则 n x x n n / // 1 − = 于是 0 ，存在 0 n ，使得 − = 0 / // 1 0 0 n x x n n ，但 ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 2 0 0 / / / 1 3 2 2 1 0 0 = + = − + − = + n n n n f xn f xn n 所以 ( ) 2 f x = x 在区间 (− ,+) 上不一致连续. 5．（总练习题 第 8 题）设 f 在 0,1 上连续， f (0) = f (1).证明：对任何正整数 n ，存在 0,1 ，使得 f ( ) n f = + 1
证明:当n=1时,取5=0即可 当n>1时,考虑F(x)=fx1 -f(x),则有 :+ 于是-F(O)+ 由第6题,存在5∈[],使得 即5+|=八() 6.(总练习题第10题)设定义在R上的函数∫在01两点连续,且对任何x∈R有 f(x2)=f(x)证明:f为常量函数 证明:x∈R,有(x)=f(-x)=1(2)=f(),故厂为偶函数 只考虑∫在0+∞)上的情况 Vx>0,有f(x)=fx2|=fx2|=…=fx 所以()=lnf(x)=mfx2|=mx2|=0) 于是 /()=如m/()m/()=/() 所以f(x)=f(1)x∈R
7 证明：当 n =1 时，取 = 0 即可 当 n 1 时，考虑 ( ) f (x) n F x f x − = + 1 ，则有 ( ) 0 1 1 0 = − + + + n n F n F F 于是 ( ) 0 1 1 1 1 0 1 = − + + + n n F n n F n F n 由第 6 题，存在 0,1 ，使得 ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 1 = − + + = + n n F n n F n F n f 即 f ( ) n f = + 1 6．（总练习题 第 10 题）设定义在 R 上的函数 f 在 0,1 两点连续，且对任何 xR 有 f (x ) = f (x) 2 .证明： f 为常量函数. 证明：x R ，有 f (− x) = f ((− x) ) = f (x ) = f (x) 2 2 ，故 f 为偶函数. 只考虑 f 在 0,+) 上的情况 x 0 ，有 ( ) = = = = n f x f x f x f x 2 1 2 1 2 1 2 所以 ( ) lim ( ) lim lim (1) 2 1 2 1 f x f x f x f x f n n n n n = = = = → → → 于是 (0) lim ( ) lim (1) (1) 0 0 f f x f f x x = = = → + → + 所以 f (x) = f (1),xR