微分方程的基本概念 在许多科技领域里,常会遇到这样的问题 某个函数是怎样的并不知道,但根据科技领域的普遍规律,却可以知道这个未知函数及其导数 与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子 例题:已知一条曲线过点(1,2),且在该直线上任意点P(xy)处的切线斜率为2x,求这条曲线方 解答:设所求曲线的方程为y=(x),我们根据导数的几何意义,可知y=y(x)应满足方程: 中 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程 在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻 从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数(它要在某区间上连 续)称为微分方程的解,微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解 满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解,这种特解通常是满足一定的附 加条件的解 通常,微分方程的一般解里,含有一些任意常数,其个数与微分方程的阶数相同,因此用来确 定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同 可分离变量的微分方程与齐次方程 下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。 并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解,只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积 分法求解,并且解法也各不相同。因此,我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法 可分高变量的微分方程 这种方程的形式为:y=f(x)g( 我们往往会以为将上式两端积分即可求解。其实是不对的。因为两端积分后,得 -f(x)g,右端是什么也求不出的,所以求不出y来 其正确解法为:设y=y(x)为所求的解,于是当y=y(x)时,有 中=pax=f(x)g()ax,mg( 中=f(x)g(x 这一步把y的函数及dy与x的函数及dx分开了,称为分离变量,这是求解的关键的一步,下 步我们就可由不定积分换元法进行求解了 例题:求方程=2的通解 解答:这是一个可分离变量的方程,分离变量后得
微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数 与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点 P(x,y)处的切线斜率为 2x，求这条曲线方 程 解答：设所求曲线的方程为 y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知 y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数 y 的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻 烦。 从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数（它要在某区间上连 续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解. 满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附 加条件的解。 通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确 定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同. 可分离变量的微分方程与齐次方程 下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。 并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解，只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积 分法求解，并且解法也各不相同。因此，我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。 可分离变量的微分方程 这种方程的形式为： 我们 往往 会以 为将上 式两 端积 分即 可求 解。其 实是 不对 的。 因为两 端积 分后 ，得 ，右端是什么也求不出的，所以求不出 y 来。 其正确解法为：设 y=y(x)为所求的解，于是当 y=y(x)时，有 ，即 这一步把 y 的函数及 dy 与 x 的函数及 dx 分开了，称为分离变量，这是求解的关键的一步，下 一步我们就可由不定积分换元法进行求解了。 例题：求方程 的通解。 解答：这是一个可分离变量的方程，分离变量后得
中 =2xdx,(y≠D 两端分别积分,得 lp=x2+(,即=±2+(1 这就是该方程的通解。 齐次微分方程 这种微分方程的形式为: 它也不能由两端积分求解。其求解步骤为 2= 则y y的微分方程就化成了u的微分方程 f()- x+=了()即: 这就化成了可分离变量的微分方程,再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。 满足 例题:求方程4x 的特解 解答:这是一个齐次方程。令y=ux代入,得 分离变量后,得 两端分别积分,得 2=+G 其中C=±e-q 代回uyx,得原方程的通解为少c20 将初始条件y0)=1代入,得C=1 所以满足初始条件的特解为 线性微分方程
两端分别积分，得 令 ，得 这就是该方程的通解。 齐次微分方程 这种微分方程的形式为： 它也不能由两端积分求解。其求解步骤为： 令 ，则 ，y 的微分方程就化成了 u 的微分方程 即： 这就化成了可分离变量的微分方程，再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。 例题：求方程 的特解。 解答：这是一个齐次方程。令 y=ux 代入，得 分离变量后，得 两端分别积分，得 或 其中 代回 u=y/x，得原方程的通解为 将初始条件 y(0)=1 代入，得 C=1. 所以满足初始条件的特解为 线性微分方程
线性微分方程 这种微分方程的形式为:+P=,其中,pq与y无关,但可以与x有关它对y与y而 言是一次的,故被称之为一阶线性微分方程 当q=0时称为齐次线性微分方程;当q0时称为非齐次线性微分方程 齐次线性微分方程的解法 齐次线性微分方程的形式为:y+P=0 此方程是可分离变量的微分方程,分离变量后,得:y ,这就可以由我们前面所学 的方法进行求解 例题:求x 的一般解。 解答:由此方程可得y dx .In(cv)=In(x 因此该方程的一般解为:=a(x+1)1 非齐次线性微分方程的解法 非齐次线性微分方程的形式为,y+P 这种方程的解法为:先求出其对应的齐次线性微分方程y+py=0的一般解-,然后把 c看作x的函数,再代到非齐次线性微分方程中来决定c,使它能满足非齐次微分方程 =c中把c作为x的函数求导数比c作为常数求导数要多处一项:ce),所以=c7 c作为x的函数代入微分方程就得到P+pP=c()+ce+pce=cP=q 所以只要C=9 94女就可使非齐次线性微分方程得到满足,即y=7Jax为所 求的一般解。 上面我们说学的这种解法被称为 Lagrange常数变易法 y 例题:求解 +1 解答:相应齐次线性微分方程 x+1 的一般解为:=c(x+1) c(x+1)+]+c(x+1-]+( 把c看成x的函数代入得 x+/(x+1-1=c(r+D-=x 因此:c=x(x+1) x-+一x-十 1 故 就是非齐次线性微分方程的一般解
线性微分方程 这种微分方程的形式为： ，其中，p,q 与 y,y'无关，但可以与 x 有关.它对 y 与 y'而 言是一次的，故被称之为一阶线性微分方程。 当 q=0 时称为齐次线性微分方程；当 q≠0 时称为非齐次线性微分方程。 齐次线性微分方程的解法 齐次线性微分方程的形式为： 此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得： ，这就可以由我们前面所学 的方法进行求解。 例题：求 的一般解。 解答：由此方程可得 ，故 因此该方程的一般解为： 非齐次线性微分方程的解法 非齐次线性微分方程的形式为： 这种方程的解法为：先求出其对应的齐次线性微分方程 的一般解 ，然后把 c 看作 x 的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定 c，使它能满足非齐次微分方程。 中把 c 作为 x 的函数求导数比 c 作为常数求导数要多处一项： ，所以 中 c 作为 x 的函数代入微分方程就得到 . 所以只要 ，即 就可使非齐次线性微分方程得到满足，即 为所 求的一般解。 上面我们说学的这种解法被称为 Lagrange 常数变易法。 例题：求解 解答：相应齐次线性微分方程 的一般解为： 把 c 看成 x 的函数代入得： 因此：c'=x(x+1) ∴ 故： 就是非齐次线性微分方程的一般解
可降阶的高阶方程 求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以 降阶的方程。 1右端仅合x的方程:y=f(x) 对这类方程,只须两端分别积分一次就可化为一阶方程 y'=」fx)k1 再次积分,即可求出方程得通解。 y=(x)+x+2 例题:求方程y"=cosx的通解。 解答:一次积分得: y'-cosxax-sinx+Cl 次积分即得到方程得通解: y=-cosx +CIx+C? 2右端不显含y的方程:y"=(xy") 我们为了把方程降阶,可令y=甲p,将p看作是新的未知函数,x仍是自变量,于是 代入原方程得 f(r, p) d 这就是一个一阶方程,然后即可由我们前面学的方法进行求解了。 例题:求方程x的通解 中 解答:令y甲p 代入方程,得 分离变量后,得 p x 积分,得 再积分,即得原方程的通解: 3右端不显含x的方程:y"=fy 我们为了把方程降阶,可令y=p,将p看作是自变量y的函数,有
可降阶的高阶方程 求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以 降阶的方程。 1.右端仅含 x 的方程：y"=f(x) 对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程 ， 再次积分，即可求出方程得通解。 例题：求方程 y"=cosx 的通解。 解答：一次积分得： 二次积分即得到方程得通解： 2.右端不显含 y 的方程：y"=f(x,y') 我们为了把方程降阶，可令 y'=p，将 p 看作是新的未知函数，x 仍是自变量，于是 ， 代入原方程得： 这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。 例题：求方程 的通解。 解答：令 y'=p. ，代入方程，得 分离变量后，得 积分，得 .即 再积分，即得原方程的通解： . 3.右端不显含 x 的方程：y"=f(y,y') 我们为了把方程降阶，可令 y'=p，将 p 看作是自变量 y 的函数，有
中中中 dx dy dx 代入原方程,得 中 fo, p 这是关于p的一阶方程,我们可由此解出通解,然后再代入原方程求解,即可 例题:求方程 的通解 中 解答:令 y=P吵代入原方程得: dp 0 它相当于两个方程 p=0 由第一个方程解得:y=C 第二个方程可用分离变量法解得 p=Cly 从而 y 由此再分离变量,解得: 这就是原方程的通解(解y=C包含在这个解中) 线性微分方程解的结构 我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构,当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。 二阶线性方程的一般形式为 y+Pxy+e(ry=f(x) 其中y"y'y都是一次的,否则称为二阶非线性方程 线性齐次方程解的结构 二阶线性齐次方程的形式为 y+P(xy+e(y=0
代入原方程，得 这是关于 p 的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。 例题：求方程 的通解 解答：令 代入原方程得： 它相当于两个方程： 由第一个方程解得：y=C; 第二个方程可用分离变量法解得 p =C1y 从而 由此再分离变量，解得： 这就是原方程的通解（解 y=C 包含在这个解中） 线性微分方程解的结构 我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。 二阶线性方程的一般形式为 其中 y",y',y 都是一次的，否则称为二阶非线性方程。 线性齐次方程解的结构 二阶线性齐次方程的形式为：
定理:如果函数1()与y2(x)均是方程y”+F(y+(Op=0的解,那末y=(x)+C2D2() 也是该方程的解,其中C1,C2为任意常数 线性齐次方程的这一性质,又称为解的叠和性 问题:我们所求得的解=Ci1(x)+C2P2()是不是方程的“+P(x)y+()y=0通解呢? 一般来说,这是不一定的,那么什么情况下它才是方程的通解呢?为此我们由引出了两个概念 线性相关与线性独立 f1(x) 定义:设)与2(x)是定义在区间的两个函数,如果小C(常数) ,那末称此 两函数在区间线性相关,否则,即1(x)与2(之比不恒等于一个常数,那末称此两函数线性 独立或线性无关。 为此我们有了关于线性齐次方程特解的定理 定理:如果()与5”2(是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解,那末 y=Ciy1(x)+C2y2(就是该方程的通解,其中C1C2为任意常数。 线性非齐次方程解的结构 阶线性非齐次方程的形式为 y+Pny+ery=f(r) 对于一阶线性非齐次方程我们知道,线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方 程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗? 答案是肯定的。为此我们有下面的定理。 定理:设y是二阶线性非齐次方程P+xy+0y=(0的任一特解,Y是与该方程对应的 齐次线性方程的通解,那未y=+Y就是方程+对y+g(xy=f(”的通解。 我们为了以后的解题方便,又给出了一个定理,如下: 定理:设有线性非齐次方程y+Fy+g(xy=1()+12(如果1(2与2(分别是方程 y+Fy+g(xy=1)与方程+F+(xD=2(x 的解,那末1(x)+y2()就是原方程的解 二阶常系数齐次线性方程的解法 前面我们已经知道了,无论是线性齐次方程和非齐次方程,它们的通解结构虽然知道,但通解的 寻求却是建立在已知特解的基础上。但是,即使对二阶线性齐次方程,特解的寻求也没有一般的 方法。但是对于常系数的二阶线性齐次方程,它的通解可按一定的方法很容易求的。 二阶线性齐次方程的解法
定理：如果函数 均是方程 的解，那末 也是该方程的解，其中 C1,C2 为任意常数。 线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性。 问题：我们所求得的解 是不是方程的 通解呢？ 一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出了两个概念： 线性相关与线性独立。 定义：设 是定义在区间 I 的两个函数，如果 ，那末称此 两函数在区间 I 线性相关，否则，即 之比不恒等于一个常数，那末称此两函数线性 独立或线性无关。 为此我们有了关于线性齐次方程特解的定理。 定理： 如果 是二 阶线线 性齐次 方程 的任意 两个 线性独 立的特 解， 那末 就是该方程的通解，其中 C1,C2 为任意常数。 线性非齐次方程解的结构 二阶线性非齐次方程的形式为： 对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方 程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？ 答案是肯定的。为此我们有下面的定理。 定理：设 y 是二阶线性非齐次方程 的任一特解，Y 是与该方程对应的 齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程 的通解。 我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下： 定理：设有线性非齐次方程 .如果 分别是方程 与方程 的解，那末 就是原方程的解。 二阶常系数齐次线性方程的解法 前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的 寻求却是建立在已知特解的基础上。但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的 方法。但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。 二阶线性齐次方程的解法
二阶线性齐次方程的一般形式为:y+ay+a2”=0,其中a1,a2为实常数。 我们知道指数函数e求导后仍为指数函数。利用这个性质,可适当的选择常数p,使e满足 方程上面的方程。我们可令:y=“从而四叫y一p2e“,代入上面的方程得: 因为e0,所以 p2+ap+a2=0 这样,对于上面二次方程的每个根p,c就是方程y+ay+a2y=0的一个解。方程 p+ap+a2=0就被称为方程y“+ay+a2”=0的特征方程。根据这个代数方程的根的不同性 质,我们分三种不同的情况来讨论 1特征方程有两个不等的实根的情形 设此两实根为P,P2(≠2)。于是,e“是齐次方程y+ay+a2y=0的两个特解,由于 它们之比不等于常数,所以它们线性独立,因此,方程y+ay+a2=0的通解为: y=C,ed+cedA 其中c1,c2为实常数 2特征方程有重根的情形 此时特征方程的重根应为 ,于是只能得到y+ay+a2”=0的一个特解:乃1= 我们可根据常数变易法再求其另一个特解为:P2=x01,于是方程P+a1y+a2”=0的通解为 3特征方程有共轭复根的情形 设共轭复根为=a+2=a-1B,那末月1=0,2=80是方程y+ay+ay=0 的两个线性独立的解,但是这种复数形式的解使用不方便,为了得到实数形式的解,利用欧拉公 式:e2=c0sx+sinx,为此可以得到方程y+ay+a2y=0的通解 (C1 cosA+C2 sin A 由上面可知,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为 1对照方程+4y+ay-=0写出其特征方程:P+ap+a2=0:2求出特征方程的两个 e彡根据pp是不同实根,相同实根,共轭复根,分别利用上面的公式写出原方程的通解 例题:求方程y-2y-3=0的通解
二阶线性齐次方程的一般形式为： ，其中 a 1，a 2 为实常数。 我们知道指数函数 e ax 求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数 ρ，使 e ax 满足 方程上面的方程。我们可令： ，代入上面的方程得： 因为 e ax≠0，所以： 这样，对 于上面二次方程的每个 根 ρ ，e ax 就是方程 的一个解。方程 就被称为方程 的特征方程。根据这个代数方程的根的不同性 质，我们分三种不同的情况来讨论： 1.特征方程有两个不等的实根的情形 设此两实根为 。于是 是齐次方程 的两个特解，由于 它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程 的通解为： 其中 c1，c2 为实常数。 2.特征方程有重根的情形 此时特征方程的重根应为： ，于是只能得到 的一个特解： ， 我们可根据常数变易法再求其另一个特解为： .于是方程 的通解为: 3.特征方程有共轭复根的情形 设共轭复根为 ，那末 是方程 的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公 式： ，为此可以得到方程 的通解： 由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为： 1.对照方程 写出其特征方程： ； 2.求出特征方程的两个 根：ρ1，ρ2 3.根据 ρ1，ρ2 是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。 例题：求方程 的通解
解答:此方程的特征方程为 它有两个不相同的实根n1=-,=3,因此所求的通解为 阶常系数非齐次线性方程的解法 我们来学习二阶常系数线性非齐次方程y+ay+a2y=f()的求解方法由前面我们知道线性 非齐次方程的通解,等于它的任一特解与对应齐次方程的通解之和。前面我们已知道对应齐次方 程的通解的解法,现在的关键是怎样求得特解 二阶常系数非齐次线性方程的解法 常系数二阶线性非齐次方程的一般形式为 y+a,y+a2y=f(r) 下面我们根据f(x)具有下列特殊情形时,来给出求其特解的公式 (1):设 f(x)=x“,其中μ为一常数, 若从为零次多项式,此时 a)当μ不是特征方程的根时,可设)=Ae b)当μ是特征方程的单根时,可设=Axe c当μ是特征方程的重根时,可设=Ax2e4 f(n=p(r) 为一m次多项式,即:μ=0,此时 a)当a20即p=0不是特征方程的根时,可设歹一B+x+…+x b)当a2-,140时,即=0是特征方程的单根时,可设罗=xB+B下+…+mx2) c)当a2=0,a1=0时,即p=0是特征方程的重根时,可设=3(+B1x+…+Bmx) 例题:求方程P+4+3y=x-2的一个特解 解答:对应的特征方程为P+4p+3=0 原方程右端不出现e,但可以把它看作是 1(x-2e0x 因为μ=0不是特征方程的根,所以设特解为
解答：此方程的特征方程为： 它有两个不相同的实根 ，因此所求的通解为： 二阶常系数非齐次线性方程的解法 我们来学习二阶常系数线性非齐次方程 的求解方法.由前面我们知道线性 非齐次方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次方程的通解之和。前面我们已知道对应齐次方 程的通解的解法，现在的关键是怎样求得特解。 二阶常系数非齐次线性方程的解法 常系数二阶线性非齐次方程的一般形式为： 下面我们根据 f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式： （1）：设 ，其中 μ 为一常数， 若 为零次多项式，此时： a):当 μ 不是特征方程的根时，可设 b):当 μ 是特征方程的单根时，可设 c):当 μ 是特征方程的重根时，可设 若 为一 m 次多项式，即：μ=0，此时 a):当 a 2≠0 即 μ=0 不是特征方程的根时，可设 b):当 a 2=0，a 1≠0 时，即 μ=0 是特征方程的单根时，可设 c):当 a 2=0，a 1=0 时，即 μ=0 是特征方程的重根时，可设 例题：求方程 的一个特解 解答：对应的特征方程为 原方程右端不出现 ，但可以把它看作是 ，即 μ=0 因为 μ=0 不是特征方程的根，所以设特解为
F= Box+B 代入原方程,得 4B0+3E0x+3B1=x-2 于是 故所求的特解为 110 (2):设(x)=“9(x)0x或1(x)=“9()m以,其中a为常数。 此时的特解为:F=“(4c0sx+Bnx 例题:求方程y“+3y=sm2x 解答:显然可设特解为 A sin 2 代入原方程得 (4A+3A sin 由此得: 从而原方程的特解是
代入原方程，得 于是： 故所求的特解为： （2）：设 或 ，其中 a,μ,v 为常数。 此时的特解为： 例题：求方程 的特解 解答：显然可设特解为： 代入原方程得： 由此得： A=-1 从而原方程的特解是