第六节 傅里叶级数
第六节 傅里叶级数
、问题的提出 非正弦周期函数:矩形波m(0)=1,当-≤<0 1,当0≤t<兀 可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加 41 4 sint sin 3t sin 5t sin 7t T 丌3 丌5 T
一、问题的提出 非正弦周期函数:矩形波 o t u − 1 −1 − − = t t u t 1, 0 1, 0 ( ) 当 当 可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加 sin7 , 7 4 1 sin5 , 5 4 1 sin3 , 3 4 1 sin , 4 t t t t
叠加过程如下: u= sint T
叠加过程如下： u sint 4 =
(sint sin 3t) 3
sin3 ) 3 1 (sin 4 u t + t =
u=-(sint+sin 3t+=sin 5t) 3 5 0.5 t 2 1
sin5 ) 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t =
u=-(sint sin 3t+sin 5t+-sin7t) 3 5 7 0.5 1
sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t =
u=(sint+ sin 3t+sin 5t+sin 7t+ sin 9t) 3 5 u(t)=(sint +sin 3t sin 5t+=sin 7t+.) 3 (一π<t<π,t≠0) 它的物理意义是很明确的:可以把一个比较复杂的周期运动 看成是许多不同频率的简谐振动的叠加
sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 ( ) + + + + u t = t t t t (− t ,t 0) sin9 ) 9 1 sin7 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t + t = 它的物理意义是很明确的：可以把一个比较复杂的周期运动 看成是许多不同频率的简谐振动的叠加
二、三角级数三角函数系的正交性 1.三角级数 f(1)=A+∑ A. sin(mot+qn)这种展开称谐波分析 Ao+2(A sin (, cos not+ A, cOS (P, sin not) n=1 A 0=Ao, (n= A, sin p m, b,= A, cos (n, ot=x, 2 +∑(anc0snx+ b sinn) 2 n=1 这是三角级数的实用形式
二、三角级数 三角函数系的正交性 = + + =1 0 ( ) sin( ) n n n f t A A n t 1.三角级数 这种展开称谐波分析 = + + =1 0 ( sin cos cos sin ) n n n n n A A n t A n t + + =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a , 2 0 0 A a 令 = sin , n An n a = cos , n An n b = t = x, 这是三角级数的实用形式
2.三角函数系的正交性 角函数系 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . cos nx, sin nx, 在区间[x,x]上正交。 其含义是三角函数糸中任何不同的两个函数的乘积在区间 x,x]上的积分等于零。即 cos ndx=0 sinned =o m≠nP sin mx sin ndx 心 cos mr cos ndx={0,m≠n n=n s =n sin mx cos ndx=0.(其中m,n=1,2,…) 注意:「12d=2x
2.三角函数系的正交性 1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, cos nx,sinnx, cos = 0, − nxdx sin = 0, − nxdx 三角函数系 在区间 [−, ] 上正交。 其含义是三角函数糸中任何不同的两个函数的乘积在区间 [−, ] 上的积分等于零。即 , , 0, sin sin = = − m n m n mx nxdx , , 0, cos cos = = − m n m n mx nxdx sin cos = 0. − mx nxdx (其中m,n = 1,2, ) 1 2 2 = − 注意： dx
三、函数展开成傅里叶级数 问题:1.若能展开,b是什么 2展开的条件是什么? 1.傅里叶系数 若有f(x)=0+∑( a cos kr+ b, sin k) 2 (1)求a0 L f(x)dx= dx+I2(ar cos h+bk sin kx )ldx a, cos lard b, sin krdx 2 ∑ ∫∑ 0.2π, f(x)dx 2
三、函数展开成傅里叶级数 问题: 1.若能展开, ai ,bi 是什么? 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数 = + + =1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k ak kx bk kx a 若有 f x (1) . 求a0 dx a kx b kx dx a f x dx k k k [ ( cos sin )] 2 ( ) 1 0 = + + − = − − dx a kxdx b kxdx a k k k k cos sin 2 1 1 0 − = − = − = + + 2 , 2 0 = a = − a f (x)dx 1 0