第二节 二重积分的计算法
第二节 二重积分的计算法
利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为:a≤x≤b,9(x)≤y≤g2(x) 其中函数(x)、g(x)在区间ab上连续 y=p2(x) y=φ2( D y=o,(r) y=p,(x) X型区域的特点:穿过区域且平行于轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点
如果积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 x y 2 x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] 一、利用直角坐标系计算二重积分 ［X－型］ ( ) 2 y = x a b D ( ) 1 y = x D a b ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点
(x,y)d的值等于以D为底,以曲面z= D f(x,y)为曲顶柱体的体积 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法 b 得f(x,y)do dx pa(t) f(x, y)d 1(x)
为曲顶柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D = 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, a 0 x b z y x ( ) 0 A x z = f (x, y) ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy 得
如果积分区域为:c≤y≤d,9(y)≤x≤(y) Y一型 x=q1( x=o() D D x=2() x=20) Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点 q2(y) f(x, y)do=l dyl f(x, y)dx q1(y) D
( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D d c y y f x y d dy f x y dx 如果积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y ［Y－型］ ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点
若区域既不是X型区域又不是Y型区域(如图), 则必须对图形作分割 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 ∫=」∫+∫+∫
若区域既不是X型区域又不是Y型区域（如图）， D3 D2 D1 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 . 1 2 3 = + + D D D D 则必须对图形作分割
具体计算的步骤: 1。按题意画出积分区域的草图; 判定积分区域是X型,Y型或必须分块处理 3。将二重积分化为二次积分(即两个定积分); 值得关注的两点: 1。是否需要改变积分次序?(要掌握改变积分次序的方法) 2。是否能用对称性简化计算?(要掌握用对称性简化计算的 方法
具体计算的步骤： 1。按题意画出积分区域的草图； 2。判定积分区域是X型，Y型或必须分块处理； 3。将二重积分化为二次积分（即两个定积分）； 值得关注的两点： 1。是否需要改变积分次序？（要掌握改变积分次序的方法） 2。是否能用对称性简化计算？（要掌握用对称性简化计算的 方法）
例1改变积分f(x,)小的次序 解积分区域如图 1-x 0L20,40.60,81 原式=dyf(x,y)dx 0
y = 1− x 例 1 改变积分 − x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序. 原式 − = y dy f x y dx 1 0 1 0 ( , ) . 解 积分区域如图
例2改变积分 d 2 f(xy)+f(x,y)小的次序,一 解积分区域如图 2 =√2x 2 原式=的y y f(x, y)dx
y = 2 − x 2 y = 2x − x 例 2 改变积分 − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 原式 − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 解 积分区域如图
例3改变积分2=f(x,y)(a>0) 的次序 解 y=wax y=y2ax-x2→x=a±a2-y 2 原式=小(x, 2 2a 2a 2a +a(x,)+/(x,p)在
例 3 改变积分 ( , ) ( 0) 2 0 2 2 2 − dx f x y dy a a a x a x x 的次序. y = 2ax 解 = a a− a − y a y dy f x y dx 0 2 2 2 原式 2 ( , ) + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) ( , ) . 2 2 2 2 + a a a a dy y f x y dx 2 y = 2ax − x 2 2 x = a a − y a 2a 2a a
例4求(x2+y)d,其中D是由抛物线 D y=x2和x=y2所围平面闭区域 解两曲线的交点 2 y=r →(0,0),(1,1) ∫(x2+y)kd=52(x2+yp 33 Ix(x-x)+-(x-x)ldx 2 140
例 4 求 + D (x y)dxdy 2 ，其中D 是由抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点(0,0) , (1,1), 2 2 = = x y y x + D (x y)dxdy 2 = + 1 0 2 2 ( ) x x dx x y dy x x x (x x )]dx 2 1 [ ( ) 2 4 1 0 2 = − + − . 140 33 = 2 y = x 2 x = y 2 y = x 2 x = y