第三节 向量的坐标
第三节 向量的坐标
、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴,AB是轴u上的有向线段 如果数九满足=AB,且当AB与轴同 向时A是正的,当AB与u轴反向时是负的, 那末数元叫做轴u上有向线段AB的值,记作 AB,即=AB
一、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段. u A B AB AB. u AB AB u AB AB u = = ，即 那末数 叫做轴 上有向线段 的值，记作 向时 是正的，当 与 轴反向时 是负的， 如果数 满足 ，且当 与 轴同
设E是与u轴同方向的单位向量, B 则有AB=(4B)乙 设A,B,C是u轴上任意三点,不论这三点 的相互位置如何, 总有:AC=AB+BC Ep(AC)e=(AB)e+(BC)e=(AB+ BC)e ∴AC=AB+BC
o u A B 1 设 e 是与 u 轴同方向的单位向量， AB (AB)e. = 的相互位置如何， 设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点 AC e AB e BC e 即 ( ) = ( ) + ( ) (AB BC)e, = + AC = AB+ BC. AC = AB+ BC, e 则有 总有：
例1在轴上取定一点作为坐标原点.设A,B, 是轴上坐标依次为1,2的两个点是轴 同方向的单位向量,证明AB=(n2-1) 证O4= 故O4=2,同理,OB=2,于是 AB=0B-0A=m2e-uye =(u,-u1)e
证 , OA = u 1 例 1 在u 轴上取定一点o 作为坐标原点．设A, B , 是u轴上坐标依次为u1 , u2 的两个点，e 是与u 轴 同方向的单位向量，证明AB u u e ( ) = 2 − 1 . , 1 OA u e 故 = u e u e = 2 − 1 ( ) . 2 1 u u e = − o u A B 1 e u1 u2 , 2 OB u e 同理， = AB = OB −OA 于是
空间两向量的夹角的概念 d≠0,b≠0, 向量a与向量b的夹角 p=(a,b)=(b,a)(0≤p≤) 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定 它们的夹角可在0与之间任意取值
空间两向量的夹角的概念： 0, a 0, b a b 向量a 与向量b 的夹角 (a,b) = (b,a) = 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地， 当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. (0 )
空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直 平面,交点A即为点 A在轴上的投影
空间一点在轴上的投影 u •A A 过点A作轴u的垂直 平面，交点A即为点 A在轴u上的投影
空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点4和终点B在 轴u上的投影分别为A,B那 么轴上的有向线段AB的 值,称为向量在轴上的投影
空间一向量在轴上的投影 u A A B B 已知向量的起点A 和终点B 在 轴u上的投影分别为A , B那 么轴u上的有向线段AB的 值，称为向量在轴u 上的投影
向量AB在轴上的投影记为 PranAb=AB 关于向量的投影定理(1) 向量AB在轴n上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦: Pranab=AB|(cosg 证 PrAB=PrAB =AB cOS
向量AB在轴u上的投影记为 Pr j uAB = AB . 关于向量的投影定理（1） 向量AB在轴u 上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦： Pr j uAB =| AB| cos 证 u A B A B B Pr j uAB= Pr j uAB =| AB| cos u
定理1的说明: (1)0≤9<,投影为正; 2 (2)<9≤元投影为负; (3)q= 2 投影为零 (4)相等向量在同一轴上投影相等;
定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； u a b c (4) 相等向量在同一轴上投影相等； (1) 0 , 2 2 (2) , (3) = , 2
关于向量的投影定理(2) 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和(可推广到有限多个) Prj(a,+a2)=Prja,+ Pr ja
关于向量的投影定理（2） 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. Pr ( ) Pr Pr . 1 2 1 a2 j a a ja j + = + A A B B C C （可推广到有限多个） u 1 a 2 a